CIE 数学
CIE FM Further Mechanics Concept Map
19 个知识节点 · FM
1. Projectiles
Motion in the Vertical Plane（竖直平面运动）
📖 Definition抛体问题通过水平匀速与竖直匀加速分解，建立 x,y,v 随时间变化。
🔑 Keyx=u\cos\theta\,t, y=u\sin\theta\,t-\frac12gt^2。
v_x=u\cos\theta, v_y=u\sin\theta-gt。
🎯 Exam focusCIE 常把斜率条件、碰撞前速度、二段运动连接在一题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写参数式。
Step 2 \rightarrow 代题设条件（斜率/坐标/时间）。
Step 3 \rightarrow 联立解未知量。
CIE 9231/31/O/N/25 Q7(a)
Given gradient at point A, find coordinates of A.
由轨迹式求 \frac{dy}{dx} \rightarrow 代 -1 \rightarrow 解出 x_A \rightarrow 回代得 y_A。
[M1] 斜率表达正确。
[M1] 正确应用梯度条件。
[A1] x_A 正确。
[A1] y_A 正确。
CIE 9231/33/M/J/25 Q7(b)
Use projectile velocity-direction condition to form equation in U,T.
先写 v_x,v_y \rightarrow 代方向关系 \rightarrow 化为 U,T 方程。
[B1] 速度分量正确。
[M1] 方向条件代入正确。
[A1] 方程正确。
Trajectory Equation（抛体轨迹方程）
📖 Definition通过消去时间把 x-y-\theta-u 关系写成二次曲线形式，用于反求参数。
🔑 Keyx=u\cos\theta\,t, y=u\sin\theta\,t-\frac12gt^2。
消 t 得 y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2}\sec^2\theta。
🎯 Exam focus常见考法：由已过点求 \tan\theta 或判定两条弹道；把代数判别和物理区间结合。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写参数方程。
Step 2 \rightarrow 消去 t 得轨迹式。
Step 3 \rightarrow 代坐标形成关于 \tan\theta 的方程。
Step 4 \rightarrow 检查角度物理意义。
CIE 9231/34/M/J/25 Q3(a)(b)
Derive trajectory and hence find possible values of \tan\alpha for a given point.
先推导轨迹通式 \rightarrow 代 (x,y,u) 数值 \rightarrow 化成 \tan\alpha 二次方程 \rightarrow 得两根。
[M1] 轨迹式推导方法正确。
[A1] 轨迹式完整正确。
[M1] 正确代入数值并解方程。
[A1] \tan\alpha 值正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q7(a)
Using given trajectory gradient condition at point A, find coordinates of A.
先对轨迹式求 \frac{dy}{dx} \rightarrow 代切线斜率条件 \rightarrow 解出 x_A \rightarrow 回代得 y_A。
[M1] 正确微分轨迹式。
[M1] 斜率条件代入并求 x_A。
[A1] x_A 正确。
[A1] y_A 正确。
2. Equilibrium of a Rigid Body
Moment of a Force（力矩）
📖 Definition力矩衡量力的转动效应，核心是 M=Fd_\perp 与取矩平衡。
🔑 Key力矩：M=Fd_\perp。
平衡时顺时针矩和 = 逆时针矩和。
取矩点应优先消掉未知反力。
🎯 Exam focusCIE 常在复合体/临界翻倒题里给 DM1，要求取矩链条完整。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选取矩点。
Step 2 \rightarrow 写各力矩项。
Step 3 \rightarrow 建立矩平衡并解参数。
CIE 9231/33/M/J/25 Q4
Using moments about D, determine k.
列各部分对 D 力矩 \rightarrow 写三项矩方程 \rightarrow 解 k。
[M1] 矩方程维度正确。
[DM1] 依赖正确距离代入。
[A1] k 正确。
CIE 9231/34/O/N/25 Q3(a)
Take moments to obtain COM coordinates of a composite shape.
按两轴分别取矩 \rightarrow 代面积与力臂 \rightarrow 得 x,y。
[B1] 面积/力臂正确。
[M1] 取矩方程正确。
[A1] 坐标正确。
Composite Lamina COM（复合薄板质心）
📖 Definition用面积加权平均求复合图形质心，去掉部分视为负面积。
🔑 Key\bar x=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \bar y=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}。
挖空部分：A<0。
🎯 Exam focusCIE 常要求“AG shown convincingly”，意味着矩方程必须维度完整且项齐全。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 列每块面积和质心坐标。
Step 2 \rightarrow 选轴写矩方程。
Step 3 \rightarrow 解 \bar x,\bar y。
Step 4 \rightarrow 用几何范围检查结果。
CIE 9231/34/O/N/25 Q3(a)
Find coordinates of COM of a composite lamina with removed region.
建面积表 \rightarrow 对 AD 与 AB 分别取矩 \rightarrow 代负面积项 \rightarrow 得 (x,y)。
[B1] 面积与参考距离表正确。
[M1] 至少一轴矩方程维度正确。
[M1] 另一轴矩方程正确。
[A1] x,y 正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q5(a)
Coordinates of COM of polygon/triangle composite expressed in k,a,h.
先求各子图形质心 \rightarrow 套 \frac{\sum Ax}{\sum A},\frac{\sum Ay}{\sum A} \rightarrow 化简到题设形式。
[M1] 质心平均方法正确。
[A1] x 表达正确。
[B1] y 表达正确。
Objects in Equilibrium（刚体平衡）
📖 Definition刚体静力平衡需要同时满足 \Sigma F=0 与 \Sigma M=0。
🔑 Key\Sigma F_x=0, \Sigma F_y=0, \Sigma M=0。
顶翻临界时质心投影到支撑边界。
🎯 Exam focus高频是“是否 topple”与参数范围问题，本质是力矩不等式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 画受力图。
Step 2 \rightarrow 列合力与合矩方程。
Step 3 \rightarrow 写稳定条件并求参数区间。
CIE 9231/34/O/N/25 Q3(b)
Determine the range of h for which no toppling occurs.
由质心坐标施加稳定条件 \rightarrow 化成二次不等式 \rightarrow 解 h 范围。
[M1] 稳定条件正确。
[M1] 不等式求解正确。
[A1] 范围正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q5(b)(c)
Apply equilibrium/toppling condition then find limiting-case coordinates.
先由 x_{COM}\le ka 求 h 条件 \rightarrow 临界时取等号 \rightarrow 回代坐标。
[M1] 平衡条件模型正确。
[A1] 参数条件正确。
[B1] 临界坐标正确。
3. Circular Motion
Conical Motion（圆锥摆/水平圆周）
📖 Definition把张力（或支持力）分解为竖直平衡与水平向心两部分，求 \omega、T 等。
🔑 Key竖直：T\cos\theta=mg。
水平：T\sin\theta=m\omega^2r。
几何：r=l\sin\theta 或由装置给出半径。
🎯 Exam focus题目常在几何换元处设陷阱：r 不是绳长，而是水平圆半径。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 画力图并分竖直/水平。
Step 2 \rightarrow 写半径几何关系。
Step 3 \rightarrow 联立消 T 或 \theta。
Step 4 \rightarrow 给成 g,a,h 形式。
CIE 9231/33/M/J/25 Q1
Particle on string length a moves in horizontal circle with \tan\theta=\frac34. Find \omega.
写 T\cos\theta=mg, T\sin\theta=m\omega^2r \rightarrow 用 r=a\sin\theta \rightarrow 代 \tan\theta=\frac34 化简。
[B1] 两个分解方程正确。
[M1] 正确结合几何半径。
[A1] \omega 表达式正确。
CIE 9231/34/M/J/25 Q4
Particle A moves in horizontal circles on inner cone while B hangs below hole O. Find \omega in terms of g,h.
先由 B 平衡得 T=mg \rightarrow A 受力分解写竖直与径向 \rightarrow 用锥面几何把半径写成 h 函数 \rightarrow 得 \omega。
[M1] 正确引入 T=mg。
[M1] A 点竖直与向心方程正确。
[A1] 几何替换正确并得 \omega。
Vertical Circle Dynamics（竖直圆周动力学）
📖 Definition沿半径方向应用 \frac{mv^2}{r}，配合能量方程处理接触条件与极值反应。
🔑 Key顶点临界：R=0\Rightarrow v^2=gr（或对应几何参数）。
底点：R-mg=\frac{mv^2}{r}。
能量连接不同位置速度。
🎯 Exam focus高频分点：顶点临界速度、底点最大反应、给定角度时法向方程。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先定求值位置（顶/底/一般角）。
Step 2 \rightarrow 写该点径向 N2L。
Step 3 \rightarrow 用能量联速。
Step 4 \rightarrow 临界条件取等号。
CIE 9231/33/M/J/25 Q5(b)
Given \alpha from part (a), find maximum height reached after leaving the arc.
先求 B 点速度 v^2 \rightarrow 作为抛体初速竖直分量做上升 \rightarrow 用 v_y^2=2gh 求增高。
[B1] 正确提取 v^2。
[M1] 正确使用竖直能量/运动方程。
[A1] 增高 h 正确。
[A1] 总高度正确。
CIE 9231/34/O/N/25 Q4(b)
Find maximum reaction at bottom given limiting speed condition.
先由能量求底点 V^2 \rightarrow 代 R-mg=\frac{mV^2}{a} \rightarrow 得 R_{\max}。
[M1] 能量方程符号正确。
[B1] 底点径向方程正确。
[A1] 最大反应值正确。
4. Hooke's Law
Elastic String & Spring（弹性绳与弹簧）
📖 Definition使用 Hooke 定律与弹性势能描述伸长/压缩系统的平衡与运动。
🔑 Key张力：T=\frac{\lambda}{l}e。
弹性势能：\frac{\lambda e^2}{2l}。
平衡点通常由竖直力平衡直接给出。
🎯 Exam focus考官偏爱：先找平衡伸长，再做扰动运动；或结合能量解最大伸长/最远位移。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写几何关系得到 e。
Step 2 \rightarrow 用 Hooke 定律得 T。
Step 3 \rightarrow 平衡用 \Sigma F=0，运动用能量。
Step 4 \rightarrow 解二次方程并筛物理根。
CIE 9231/34/M/J/25 Q1
Vertical spring of natural length a, modulus 20mg. Find maximum extension after release.
初末态写能量守恒 \rightarrow 包含重力势能与弹性势能 \rightarrow 形成二次方程 \rightarrow 取正且物理可行根。
[M1] 正确写三类能量项。
[M1] 建立并化简方程。
[A1] 物理根筛选正确。
[A1] 最大伸长正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q4
Elastic string in equilibrium then moving with given speed: find resulting string length.
先由平衡得 e_0 \rightarrow 后续用能量方程（含两状态 EPE + GPE + KE）\rightarrow 解齐次二次 \rightarrow 取目标根。
[B1] 平衡伸长关系正确。
[M1] 能量方程包含完整项。
[M1] 化成二次并求解。
[A1] 目标长度正确。
Work-Energy Conservation（功与能守恒）
📖 Definition把动能变化与重力势能、弹性势能、外力功统一到一个标量方程，快速解机械量。
🔑 Key\Delta KE + \Delta PE + W_{\text{non-conservative}}=0。
弹性势能 =\frac{\lambda e^2}{2l}。
圆周运动常联立能量与径向 N2L。
🎯 Exam focusFM 常把能量方程当主线，再嵌入约束（离轨条件、最高点反应、临界速度）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选两状态并列全部能量项。
Step 2 \rightarrow 保证符号与单位一致。
Step 3 \rightarrow 若有接触约束，联立径向方程。
Step 4 \rightarrow 取临界等号（如 R=0）。
CIE 9231/33/M/J/25 Q5(a)
A particle moves in a vertical circle; find \alpha from energy and N2L at B.
写 A 到 B 的能量方程 \rightarrow 在 B 点写 \frac{mv^2}{r}=mg\cos\alpha \rightarrow 消 v \rightarrow 解 \alpha。
[M1] 三项能量方程正确。
[B1] B 点径向 N2L 正确。
[DM1] 联立消去 v 正确。
[A1] \alpha 正确。
CIE 9231/34/O/N/25 Q4(a)
Find minimum v at bottom so particle remains in contact up to top.
顶点接触极限 R=0\Rightarrow w^2\ge ag \rightarrow 底到顶用能量方程 \rightarrow 代入 w^2 临界值 \rightarrow 得 v_{\min}。
[B1] 顶点离轨条件 R\ge 0 使用正确。
[M1] 底到顶能量方程结构正确。
[DM1] 代入临界条件并化简。
[A1] 最小速度正确。
5. Linear Motion under a Variable Force
Resistance Differential Equations（阻力微分方程）
📖 Definition速度依赖阻力（如 kv^2）导致可分离的一阶微分方程，常出现 \tan^{-1}、\ln 结构。
🔑 Key上抛含阻力：m\frac{dv}{dt}=-mg-mkv^2。
积分常见：\int\frac{dv}{a+bv^2}、\int\frac{dv}{a-bv^2}。
位移需再积分 v=\frac{dx}{dt}。
🎯 Exam focus考官重点看：方程符号、分离变量、初值代入顺序，以及 DM1 依赖链。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 按运动方向写带符号的 N2L。
Step 2 \rightarrow 分离变量并积分。
Step 3 \rightarrow 用 t=0 或 x=0 代常数。
Step 4 \rightarrow 求极值/到顶时间。
CIE 9231/33/M/J/25 Q3(b)
For k=0.025, U=20, find time to reach maximum height with resistive force mkv^2.
写 \frac{dv}{dt}=-(10+0.025v^2) \rightarrow 积分到 \tan^{-1} \rightarrow 代 v=20,t=0 求常数 \rightarrow 令 v=0 得到顶时间。
[M1] 正确分离并积分到反正切。
[A1] 积分结果结构正确。
[DM1] 用初值求常数并代入。
[A1] 时间答案正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q3(b)
Given x=2\ln(2\cos(\cdots)), solve for the instant when x=0.
令位移式 x=0 \rightarrow 化成三角方程 \rightarrow 选物理允许根 \rightarrow 得 t。
[M1] 正确建立求根方程。
[A1] 正确处理三角反函数。
[A1] 合理时间根正确。
N2L with Variable Force（变力牛顿第二定律）
📖 Definition当合力依赖于 x 或 v 时，用 F=ma 并结合 a=v\frac{dv}{dx} 建立可积分方程。
🔑 KeyF=ma, a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}。
位移型建模常先写 m v\frac{dv}{dx}=F(x)。
积分后用初始条件求常数。
🎯 Exam focusFM 高频：先求 v^2-x 关系，再反推 x-t；方法分给在建模，不是只看终值。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 m v\frac{dv}{dx}=F(x)。
Step 2 \rightarrow 积分得 v^2=f(x)。
Step 3 \rightarrow 代初值定常数。
Step 4 \rightarrow 若要 x(t)，再用 \frac{dx}{dt}=v。
CIE 9231/31/M/J/25 Q1(a)
A particle of mass 8 kg is acted on by force (x^3+4x) towards O. Find v in terms of x.
写 8v\frac{dv}{dx}=-(x^3+4x) \rightarrow 两边积分 \rightarrow 用 x=0,v=1 求常数 \rightarrow 得 v^2=ax^4+bx^2+c。
[M1] 正确把 a 写成 v\frac{dv}{dx}。
[M1] 正确积分并得到 v^2-x 关系。
[A1] 用初始条件得常数。
[A1] 最终表达式正确。
CIE 9231/34/O/N/25 Q5(a)
Given resistive force and gravity, derive v as a function of x.
由 N2L 得 mv\frac{dv}{dx}=10m-0.025mv^2 \rightarrow 分离变量积分 \rightarrow 代初值写成指数式。
[B1] N2L 建模式正确。
[M1] 分离变量并积分到 \ln 项。
[DM1] 依赖初值求积分常数。
[A1] v(x) 形式正确。
6. Momentum
1D Momentum & Restitution（一维动量与恢复系数）
📖 Definition碰撞主线是动量守恒 + 恢复系数方程，必要时结合动能条件判定弹性碰撞。
🔑 Key动量：m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2。
恢复：e=\frac{\text{speed of separation}}{\text{speed of approach}}。
🎯 Exam focusCIE 常给两质量比和速度关系，让你反解 e 或参数 k。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 固定方向正负。
Step 2 \rightarrow 列动量方程。
Step 3 \rightarrow 列恢复系数方程。
Step 4 \rightarrow 联立并检查 0\le e\le1。
CIE 9231/31/O/N/25 Q1
Two particles collide directly; post-collision speeds satisfy given condition. Find e.
先列动量 \rightarrow 再列 NEL \rightarrow 代已知速度关系 \rightarrow 解 e。
[M1] 动量方程正确。
[M1] 恢复系数方程方向一致。
[A1] 中间速度表达正确。
[A1] e 正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q6(c)
After collision between P and Q with mass ratio involving k, determine k.
动量守恒写 v_P,v_Q 关系 \rightarrow 用弹性条件（e=1 或 KE 守恒）\rightarrow 求 k。
[B1] 动量方程正确。
[B1] 弹性条件正确引入。
[A1] 参数 k 正确。
Oblique Collision Components（斜碰分量法）
📖 Definition把碰撞前后速度分解到碰撞线与其垂线：平行线用 restitution，垂线通常保持不变。
🔑 Key沿冲量线：动量 + restitution。
垂直冲量线：速度分量不变。
合成后可求偏转角或停下条件。
🎯 Exam focusFM 喜欢考“碰后某粒子水平分量为 0”这类条件，快速锁定 e 或 \theta。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选碰撞线方向。
Step 2 \rightarrow 分解速度分量。
Step 3 \rightarrow 沿线列动量与 restitution。
Step 4 \rightarrow 用垂线不变恢复夹角/速度。
CIE 9231/33/M/J/25 Q6(a)
After oblique collision, find relation for \tan\theta in terms of e.
沿碰撞线列动量与 restitution \rightarrow 消去未知分量 \rightarrow 垂线分量不变 \rightarrow 得 \tan\theta-e 关系。
[M1] 动量方程（沿线）正确。
[M1] restitution 方程符号一致。
[M1] 利用垂线分量不变。
[A1] 关系式正确。
CIE 9231/33/M/J/25 Q6(b)
Given one post-collision component is zero, find e and \theta.
把 v=0 代入(a)关系 \rightarrow 解 e \rightarrow 回代解 \theta。
[M1] 条件代入正确。
[A1] e 正确。
[A1] \theta 正确。
7. Cross-topic Review Exercise 3
Range/Height Constraints（射程与高度约束）
📖 Definition把“越过墙”“落点区间”“与斜面关系”等文字条件转为代数不等式或方程。
🔑 Key越障：在给定 x 处满足 y\ge h。
范围条件常写成判别式或区间交集。
必要时用 D=\sqrt{x^2+y^2} 做几何重参。
🎯 Exam focusFM 常把多个约束串联：先过某点，再满足终点区间，最后取最小/最大。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把每条约束单独代数化。
Step 2 \rightarrow 对同一变量求交集。
Step 3 \rightarrow 极值题在可行域端点或临界点取值。
CIE 9231/31/M/J/25 Q2(a)(b)
Particle projected from O must just clear a wall at x=35, height 10. Find possible i, then minimum landing distance given clearance.
在 x=35 代轨迹并令 y=10 \rightarrow 解两组 i \rightarrow 在可行 i 上写射程函数 \rightarrow 取最小。
[M1] 正确建立越障方程。
[A1] 两个角度解正确。
[DM1] 依赖越障条件构造射程。
[A1] 最小落点距离正确。
CIE 9231/34/O/N/25 Q2(b)
Given trajectory relation in D, determine admissible interval of D.
分别代 y=0 与 y=7 得两组 D 约束 \rightarrow 交集筛选 \rightarrow 写最终区间。
[M1] 正确由两条件列方程。
[M1] 各自求出端点值。
[A1] 区间交集正确。
Mark-Driven Error Control（得分导向防错）
📖 Definition围绕 FM 的 M1-DM1-A1 依赖链进行结构化检查，避免“有思路没分”。
🔑 Key检查清单：
1) 方向与符号是否统一。
2) 能量项是否齐全。
3) 依赖分 DM1 前提是否已拿到。
4) 最终根是否通过物理筛选。
🎯 Exam focusFM 的分差主要在结构完整性：方程少一项会直接断掉后续 A1。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 每题先画小受力图/状态图。
Step 2 \rightarrow 先写主方程再代数。
Step 3 \rightarrow 每次积分都写初值。
Step 4 \rightarrow 末行做物理合理性检查。
CIE 9231/33/M/J/25 Q3 + Q6
Typical chained-mark questions where missing one method line loses multiple follow-up marks.
先锁 M1 主线（建模方程）\rightarrow 再做代入与化简 \rightarrow 最后给 A1 数值；避免直接跳结果。
[M1] 主方法明确。
[DM1] 依赖步骤衔接正确。
[A1] 最终结果与单位正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q7
Projectile with derivative condition and post-collision follow-up.
前半先求 A 点坐标 \rightarrow 后半用该结果继续碰撞与再抛射 \rightarrow 每段保留中间精确值减少误差。
[B1] 中间关键量记录正确。
[M1] 后续方程建立正确。
[A1] 终点坐标/距离正确。
·
Rough Plane Equilibrium（粗糙斜面平衡）
📖 Definition在粗糙斜面上同时处理沿面、法向分解与摩擦方向判定。
🔑 Key法向：R=mg\cos\beta（含附加张力分量时要修正）。
摩擦极限：F\le \mu R。
静止条件为沿面合力 =0。
🎯 Exam focus高频失分：摩擦方向先验写反；应先由“趋势”判断再立方程。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判断即将运动方向。
Step 2 \rightarrow 写法向平衡求 R。
Step 3 \rightarrow 沿面平衡含 F 与 T。
Step 4 \rightarrow 检查 F\le \mu R。
CIE 9231/33/M/J/25 Q2(b)
After moving to new position on rough plane, particle remains at rest. Find friction.
先由几何求新张力 T \rightarrow 沿面平衡 mg\sin30^\circ, T 与 F 关系 \rightarrow 解 F。
[B1] 正确写 T 或其表达。
[M1] 沿面平衡方程正确。
[A1] 摩擦力大小正确。
CIE 9231/34/O/N/25 Q6(a)
Two elastic strings on rough plane with coefficient involving k. Express BP in terms of a,k.
分别对两绳写 Hooke 张力 \rightarrow 粒子沿面用 N2L/平衡 \rightarrow 代入消张力 \rightarrow 得 BP。
[B1] 两条 Hooke 表达正确。
[M1] 沿面方程并代入消元。
[A1] BP 表达正确。
Limiting Friction in Rotation（转动系统临界摩擦）
📖 Definition当物体在旋转平台/圆周运动中“刚要滑动”时，摩擦取极限并参与向心平衡。
🔑 Key极限摩擦：F=\mu R。
径向平衡：\Sigma F_r = m\omega^2r。
竖直方向用于求 R 或张力分量。
🎯 Exam focus常见组合：弹性绳张力 + 摩擦 + 向心；题目会同时给“point of slipping”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把摩擦方向按“将要滑向”确定。
Step 2 \rightarrow 令 F=\mu R。
Step 3 \rightarrow 分竖直与径向联立。
Step 4 \rightarrow 转换成 rpm 或 \omega。
CIE 9231/31/M/J/25 Q3(a)
On rotating rough disc with elastic string, show that \sin\alpha=0.6.
由给定张力做几何分解 \rightarrow 结合绳长-伸长关系 \rightarrow 化简得 \sin\alpha。
[M1] 张力分解/几何关系正确。
[A1] \sin\alpha=0.6 正确证明。
CIE 9231/31/M/J/25 Q3(b)
Given limiting friction condition, find revolutions per minute.
先写 F=\mu R \rightarrow 径向方程求 \omega \rightarrow 用 \text{rpm}=\frac{60\omega}{2\pi} 转换。
[M1] 极限摩擦关系正确。
[M1] 径向方程正确求 \omega。
[A1] rpm 正确。
Toppling Stability（倾覆稳定判据）
📖 Definition稳定条件是质心投影在支撑域内，临界倾覆时投影落在边界上。
🔑 Key稳定：x_{COM} 在底边区间内。
临界：x_{COM}=x_{edge}。
常与参数 h,k 联立得可行范围。
🎯 Exam focusFM 典型考法：由 x\le a 转化为参数不等式，最终给区间答案。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写质心坐标表达。
Step 2 \rightarrow 施加稳定不等式。
Step 3 \rightarrow 化成一元二次不等式。
Step 4 \rightarrow 给参数范围并写端点含义。
CIE 9231/34/O/N/25 Q3(b)
Given x_{COM}, find range of h for no toppling.
用稳定条件 x\ge a 或 x\le a \rightarrow 化简成 h 的二次不等式 \rightarrow 写可行区间。
[M1] 正确施加稳定判据。
[M1] 正确化简并求根。
[A1] 范围区间正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q5(b)(c)
For equilibrium/toppling, determine condition on h and then coordinates at the limiting case.
先由 x_{COM}\le ka 得 h 范围 \rightarrow 令临界 h=ka \rightarrow 回代求 (x,y)。
[M1] 正确使用边界条件。
[A1] h 范围正确。
[B1] 临界点坐标正确。
Parameter-Condition Modelling（参数条件建模）
📖 Definition把题目中的可调参数（k,h,e 等）嵌入动力学方程，最终用物理约束筛选。
🔑 Key参数方程来自核心物理式，不独立凭代数。
约束常见：0\le e\le1, R\ge0, 长度正值。
最后必须筛“数学根”。
🎯 Exam focusCIE 2025 明显加强参数题：先推一般式，再给条件求参数范围或唯一值。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先保留参数写通式。
Step 2 \rightarrow 用附加条件代入。
Step 3 \rightarrow 解参数方程/不等式。
Step 4 \rightarrow 用物理条件筛根。
CIE 9231/33/M/J/25 Q4
Using toppling moment condition, determine parameter k.
先写复合体关于支点矩方程 \rightarrow 引入 k 的质量项 \rightarrow 令临界平衡 \rightarrow 求 k。
[M1] 正确矩方程。
[DM1] 正确引入并保留参数 k。
[A1] 参数值正确。
CIE 9231/31/O/N/25 Q6(c)
After collision and subsequent conditions, find parameter k.
先求碰后速度表达 \rightarrow 用额外条件（如弹性/已知速度）联立 \rightarrow 解 k 并检查可行。
[M1] 参数方程搭建正确。
[A1] k 正确且满足物理范围。