CIE 数学
CIE FP1 Further Pure 1 Concept Map
15 个知识节点 · FP1
1. Roots of Polynomial Equations
Root Transformations（根的变换）
📖 Definition把已知方程根 \alpha,\beta,\gamma 变成新根 f(\alpha),f(\beta),f(\gamma) 并重建新方程。
🔑 Key• 位移型：y=\alpha-k\Rightarrow \alpha=y+k
• 倒数型：y=\frac{1}{\alpha}\Rightarrow\alpha=\frac{1}{y}（要清分母）
• 用 Vieta 快速求新根和式、积式，避免硬展开。
🎯 Exam focus常见组合：先找新方程，再求某个对称式（如 \sum(\alpha-k)^3 或 \sum\frac{1}{\alpha-k}）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写新旧变量关系
Step 2 \rightarrow 由旧方程推新变量方程
Step 3 \rightarrow 用 Vieta 读出所需和、积
Step 4 \rightarrow 代回题目目标表达式
CIE 9231/12/M/J/25 Q2(a)
Given x^3+x^2+1=0 with roots a,b,c, find the cubic whose roots are a-\frac13, b-\frac13, c-\frac13.
设 y=x-\frac13\Rightarrow x=y+\frac13 \rightarrow 代入原方程并展开 \rightarrow 整理为 y 的三次方程 \rightarrow 即为所求。
[B1] 正确作变量平移代换。
[M1] 代入并去分母得到三次式。
[A1] 最终方程正确。
CIE 9231/14/O/N/25 Q2(a)(b)
For cubic x^3+bx^2+cx+d=0 with roots a,b,c and c=1/b, show relations involving d and b.
由 Vieta 写 a+b+c=-b, ab+bc+ca=c, abc=-d \rightarrow 用 c=1/b 消去变量 \rightarrow 分别构造两式并化简 \rightarrow 得目标等式。
[M1] 至少一条正确使用 Vieta。
[A1] 代入条件后得到第一条关系。
[M1] 再用第二条对称关系继续推导。
[A1] 第二条关系正确。
Symmetric Sums (Vieta)（对称和与韦达）
📖 Definition围绕 S_1, S_2, S_3, S_4 把高次根和转换成系数表达式，处理 cubic/quartic 快速得值。
🔑 Key• Newton-style 常用：\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2-2\sum\alpha\beta
• quartic：x^4+px^3+qx^2+rx+s 对应 S_1=-p,S_2=q,S_3=-r,S_4=s
• 对 \sum \alpha^3 可用原方程替代 \alpha^3。
🎯 Exam focusMS 常给“M1 for using given equation / formula for sum of cubes”，即方法分非常明确。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先定义需要的 S_k
Step 2 \rightarrow 用 Vieta 或原方程换掉高次项
Step 3 \rightarrow 逐层递推到目标表达式
Step 4 \rightarrow 注意 FT 条件下保持一致
CIE 9231/13/M/J/25 Q3
For quartic x^4+7x^2+3x+22=0, find a^2+b^2+c^2+d^2 and further evaluate a higher symmetric sum.
由 Vieta 得 a+b+c+d=0,\;ab+ac+\cdots=7 \rightarrow \sum a^2=(\sum a)^2-2\sum ab \rightarrow 代值求 \sum a^2 \rightarrow 更高次项用原方程消 a^4。
[M1] 正确调用二次和公式。
[A1] 算得 \sum a^2 正确。
[M1] 后续高次和使用方程替代。
[A1] 最终结果正确。
CIE 9231/11/O/N/25 Q4(b)(c)
For quartic roots, obtain S_2 and S_4 from the given polynomial coefficients.
先由系数读 S_1,S_2,S_3,S_4 基础值 \rightarrow 用 \sum\alpha^2=S_1^2-2S_2 得 S_2' \rightarrow 把原方程乘 \alpha^k 后求和可得 S_4。
[M1] 正确建立 S_2 关系式。
[A1] S_2 数值正确。
[M1] 用方程求 S_4 的方法正确。
[A1] S_4 数值正确。
2. Rational Functions & Graphs
Rational Functions: Asymptotes & Sketching（有理函数：渐近线与草图）
📖 Definition对 y=\frac{ax+b}{cx+d} 或二次/二次有理式，先判 vertical、horizontal/oblique asymptotes，再做区间符号与关键点草图。
🔑 Key• Vertical asymptote 来自分母零点（且未约掉）
• Horizontal / oblique 由分子分母次数比较与多项式除法决定
• 交轴点：令 x=0 求 y，令 y=0 求 x
🎯 Exam focusFP1 常考“sketch with significant features”与“求可取值范围（range）”，并要求说明渐近线位置。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先做因式分解与约分检查
Step 2 \rightarrow 找 vertical + horizontal/oblique asymptotes
Step 3 \rightarrow 求轴交点、区间符号或端行为
Step 4 \rightarrow 结合图像写 range/不等式结论
CIE 9231 Syllabus 1.2 Type
Sketch a rational function, showing all asymptotes and intercepts clearly.
分母零点给 vertical asymptotes \rightarrow 分子分母次数比较得 horizontal/oblique \rightarrow 算交轴点 \rightarrow 依据区间符号完成草图。
[B1] 渐近线识别正确。
[B1] 交轴点正确。
[A1] 草图关键特征完整（分支位置、趋近方向）。
CIE 9231 Syllabus 1.2 Type
Find the set of values taken by a rational function using discriminant.
令 y=f(x) 改写成关于 x 的二次式 \rightarrow 存在实根需 \Delta_x\ge0 \rightarrow 解关于 y 的不等式 \rightarrow 得 range。
[M1] 正确构造关于 x 的方程。
[M1] 正确使用 \Delta\ge0。
[A1] range 区间结论正确。
Rational Graph Relations & Range（有理图像关系与值域）
📖 Definition利用 y=f(x), y=|f(x)|, y=f(|x|), y=\frac1{f(x)} 等图像关系，处理方程/不等式与值域问题。
🔑 Key• |f(x)| 把负半轴部分翻折到上方
• f(|x|) 先取右半图再镜像到左侧
• \frac1{f(x)} 零点与垂直渐近线角色互换
🎯 Exam focus官方 1.2 明确要求理解图像关系并用于方程或不等式求解，这一块是概念+图像混合高频。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先画/读原函数关键点与符号区间
Step 2 \rightarrow 套图像变换规则得到新图
Step 3 \rightarrow 用图像读解集或值域
Step 4 \rightarrow 若需代数验证，用区间法回代检查
CIE 9231 Syllabus 1.2 Type
Using the graph of y=f(x), sketch y=|f(x)| and solve |f(x)|\le k.
先把 f(x)<0 部分上翻 \rightarrow 得 |f(x)| 图像 \rightarrow 画直线 y=k 读交点区间 \rightarrow 写不等式解集。
[B1] |f(x)| 图像变换正确。
[M1] 读图方法正确（交点/区间）。
[A1] 解集区间正确。
CIE 9231 Syllabus 1.2 Type
Given y=f(x), deduce the range of y=\frac1{f(x)}.
先找 f(x) 的零点与最值/范围 \rightarrow reciprocal 映射后剔除不可取值 \rightarrow 结合渐近行为写最终 range。
[M1] 正确识别原函数可取值结构。
[A1] reciprocal 映射与排除值正确。
[A1] 最终 range 表达正确。
3. Summation of Series
Sigma Formulae & Simplification（求和公式与化简）
📖 Definition把含 \sum 的多项式项分拆为 \sum r, \sum r^2, \sum r^3 的标准模板并一次性化简。
🔑 Key• \sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}
• \sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
• \sum_{r=1}^{n} r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
• 先展开后代公式，末步统一因式分解/整理最高次项。
🎯 Exam focusFP1 常把 r-多项式包装成“show that ...”；判分重心是代入结构和最终整式化简。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把题目表达式写成 Ar^3+Br^2+Cr+D
Step 2 \rightarrow 分项套 MF19 公式
Step 3 \rightarrow 统一分母、因式分解
Step 4 \rightarrow 若后续要 method of differences，保留可拆分结构
CIE 9231/11/O/N/25 Q1(a)
Use MF19 to find \sum_{r=1}^{n}(8r^3+12r^2+4r), simplifying your answer.
拆项 \rightarrow 8\sum r^3+12\sum r^2+4\sum r \rightarrow 代入三条标准和式 \rightarrow 通分整理得四次多项式 \rightarrow 最终可写成因式化结果。
[M1] 正确把原式拆成三类标准和式。
[A1] 正确代入 \sum r,\sum r^2,\sum r^3。
[A1] 化简到正确整式/因式形式。
CIE 9231/14/M/J/25 Q1(a)
Use MF19 to find \sum_{r=1}^{n}(2r+1)^2 in terms of n.
先展开 (2r+1)^2=4r^2+4r+1 \rightarrow 写成 4\sum r^2+4\sum r+\sum1 \rightarrow 代公式并整理 \rightarrow 得关于 n 的封闭式。
[M1] 正确展开并转为三项求和。
[A1] 和式公式代入正确。
[A1] 最终表达式正确。
Method of Differences（裂项相消法）
📖 Definition先做 partial fractions，再把通项改写成相邻项差，形成 telescope cancellation。
🔑 Key• 核心形态：\frac{1}{(r+a)(r+b)}=\frac{A}{r+a}+\frac{B}{r+b}
• 展示“首两项 + 末两项”证明相消结构（MS 高频要求）
• 对无穷和：先写 S_n，再 n\to\infty。
🎯 Exam focus考官重点看两件事：partial fraction 系数是否正确、是否明确写出足够多项展示 cancelation。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 通项做 partial fractions
Step 2 \rightarrow 写出 S_n 前几项与末几项
Step 3 \rightarrow 删去相消项后得到边界项
Step 4 \rightarrow 按题意代 n 或取极限
CIE 9231/12/M/J/25 Q1(b)(c)
Use method of differences to find \sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(2r-3)(5r-3)}, then deduce the infinite sum.
先设 \frac{1}{(2r-3)(5r-3)}=\frac{A}{2r-3}+\frac{B}{5r-3} \rightarrow 求得 A,B \rightarrow 写 S_n 的首末项展示 telescope \rightarrow 得 S_n \rightarrow 令 n\to\infty 得极限。
[B1] partial fractions 结构正确。
[M1] 写出至少三项且包含首项与末项。
[A1] 正确完成相消并得 S_n。
[B1] 正确由 S_n 推无穷和。
CIE 9231/12/O/N/25 Q1(b)(c)
Express \frac{r+3}{r^3-r} in partial fractions and hence sum \sum_{r=2}^{n}\frac{r+3}{r^3-r}.
分母分解 r(r-1)(r+1) \rightarrow 设 \frac{A}{r-1}+\frac{B}{r}+\frac{C}{r+1} \rightarrow 解出系数 \rightarrow 展开连续项并相消 \rightarrow 留边界项得封闭式。
[M1] 建立可解的三项 partial fractions 方程。
[A1] 系数 A,B,C 正确。
[M1] 写足够项显示完整相消。
[A1] 求和结果正确。
[B1] 后续 deduce 数值正确。
4. Matrices
Transformation Matrices（矩阵变换）
📖 Definition把 stretch / rotation / shear / reflection 译为矩阵，并按顺序相乘得到合成变换。
🔑 Key• 顺序关键：先发生的变换在右侧
• 旋转矩阵 \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
• 面积缩放因子 |\det M|。
🎯 Exam focus常考“describe transformation”与“show matrix equals ...”；还会连到 area unchanged via determinant。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把每个几何动作写矩阵
Step 2 \rightarrow 按执行顺序做乘法
Step 3 \rightarrow 用 \det 判面积比例
Step 4 \rightarrow 文本描述要包含 axis/centre/scale/angle
CIE 9231/13/M/J/25 Q1(a)
A stretch parallel to x-axis (scale 14) followed by rotation \pi/3. Show the resulting matrix M.
写伸缩矩阵 S 与旋转矩阵 R \rightarrow 因“stretch then rotation”故 M=RS \rightarrow 代 \cos\frac\pi3,\sin\frac\pi3 \rightarrow 得目标矩阵。
[B1] 两个基础矩阵正确。
[M1] 乘法顺序正确。
[A1] 乘积矩阵元素正确。
[A1] 与题给形式一致。
CIE 9231/11/O/N/25 Q2(a)(b)(c)
Describe the transformations represented by A, B, and show area is unchanged under AB.
根据基向量像判定 A、B 类型与参数 \rightarrow 计算 \det A,\det B \rightarrow \det(AB)=\det A\det B=1 \rightarrow 面积不变。
[B1] A 的类型与参数正确。
[B1] B 的类型与参数正确。
[M1] 使用 \det(AB)=\det A\det B 或等价方法。
[A1] 结论 area unchanged。
Invariant Lines & Inverse（不变直线与逆矩阵）
📖 Definition设不变直线为 y=mx，代入变换后要求 Y=mX 得关于 m 的方程；逆变换则求 M^{-1}。
🔑 Key• 变换后：\binom{X}{Y}=M\binom{x}{y}, 再代 y=mx
• 不变条件：Y=mX
• M^{-1}=\frac1{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}（2×2）。
🎯 Exam focus命题喜欢把 invariant lines 与 inverse 绑在同一题，方法分高度程序化。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 X,Y 与 x,y 关系
Step 2 \rightarrow 代 y=mx 消 x
Step 3 \rightarrow 用 Y=mX 解 m
Step 4 \rightarrow 对矩阵求逆并说明几何含义
CIE 9231/13/M/J/25 Q1(b)(c)
Find the invariant lines through origin for matrix M, then find matrix mapping rectangle P back to square S.
由 \binom{X}{Y}=M\binom{x}{y} 与 y=mx 得 X,Y 关于 m 式 \rightarrow 施加 Y=mX 得二次方程求两条不变线 \rightarrow 第二问直接取 M^{-1}。
[B1] 正确写出线性变换方程。
[M1] 正确建立 Y=mX 方程。
[A1] 二次方程与两根 m 正确。
[A1] 不变直线方程完整。
[M1] 正确求逆矩阵。
[A1] 最终逆变换矩阵正确。
CIE 9231/11/O/N/25 Q2(d)
For transformation AB, find invariant lines through the origin.
先算或读取 AB \rightarrow 设 y=mx，代入得到 X,Y \rightarrow 用不变条件 Y=mX 得 m 的二次式 \rightarrow 写两条直线。
[B1] 变换到 (X,Y) 的表达式正确。
[M1] 建立 m 方程。
[A1] 解出正确斜率。
[A1] 给出两条正确不变线。
5. Polar Coordinates
Polar Conversion（直角坐标与极坐标互化）
📖 Definition在 (x,y) 与 (r,\theta) 之间转换并据此改写曲线方程。
🔑 Key• x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; r^2=x^2+y^2
• 题目通常用 r\ge0 约定并限定 \theta 区间
• 转换后要检查曲线几何意义（如圆、直线、玫瑰线）
🎯 Exam focusFP1 极坐标题不止面积，前半常先考 equation conversion + 特征点识别。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 判断是 Cartesian \to Polar 还是反向
Step 2 \rightarrow 用三条基本替换逐步化简
Step 3 \rightarrow 整理成标准极坐标形式
Step 4 \rightarrow 读出关键几何特征辅助后续 sketch/area
CIE 9231 Syllabus 1.5 Type
Convert a Cartesian curve equation to polar form.
把 x,y 依次替换为 r\cos\theta,r\sin\theta \rightarrow 含 x^2+y^2 时换成 r^2 \rightarrow 化简得 r=f(\theta) 或隐式极方程。
[M1] 使用正确替换关系。
[A1] 化简无代数错误。
[A1] 最终极坐标方程正确。
CIE 9231 Syllabus 1.5 Type
Convert a polar equation to Cartesian form and identify the curve.
将 r,\theta 转为 x,y \rightarrow 消去 \theta 或 r \rightarrow 得 Cartesian 标准式并识别几何对象。
[M1] 互化步骤正确。
[A1] Cartesian 方程正确。
[B1] 曲线类型识别正确。
Polar Curves & Area（极坐标曲线与面积）
📖 Definition在 r=f(\theta) 体系下做 sketch、交点判断与面积积分 A=\frac12\int r^2\,d\theta。
🔑 Key• 面积公式：A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta
• 先找曲线与初始线/极点交点决定积分区间
• 绘图判分看 orientation、对称性、关键点。
🎯 Exam focusMS 对 sketch 有单独 B 分；积分题重视区间与 r^2 的处理，而非最后小数值。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先画草图并标交点
Step 2 \rightarrow 写清 \theta 范围
Step 3 \rightarrow 代 \frac12\int r^2 d\theta
Step 4 \rightarrow 用 trig identity 化简积分
CIE 9231/12/M/J/25 Q5
For a polar curve r=f(\theta), sketch it on [0,2\pi] and find the enclosed area.
先判 r\ge0 与增长性画图 \rightarrow 确定有效闭合区间 \rightarrow 写 A=\frac12\int r^2 d\theta \rightarrow 积分并化简得到面积。
[B1] 图形形状与方向正确。
[B1] 关键交点/初始线关系正确。
[M1] 正确使用 \frac12\int r^2 d\theta。
[A1] 积分处理正确。
[A1] 最终面积正确。
CIE 9231/12/O/N/25 Q5
Sketch the polar graph and evaluate area using \int \tan^2\theta\,d\theta-type integrand.
找零点与渐近行为 \rightarrow 图像区间定位 \rightarrow 面积式转成 \frac12\int \tan^2\theta d\theta \rightarrow 用 \tan^2\theta=\sec^2\theta-1 积分。
[B1] sketch 主体正确。
[M1] 建立正确面积积分。
[A1] 使用恒等变形并积分正确。
[A1] 最终结果正确。
6. Vectors
Planes, Distances & Angles（平面、距离与夹角）
📖 Definition以向量叉积求法向量，建立平面方程，再算点到平面距离和线面夹角。
🔑 Key• 法向量：\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
• 平面式：\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0
• 点到平面距离：d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
• 线面角通过“线方向向量与法向量”的互余关系。
🎯 Exam focusMS 把“找法向量”“代点建平面”“套距离公式”拆为独立 method 分，步骤缺一会连丢。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从坐标先写两条方向向量
Step 2 \rightarrow 叉积求 \mathbf n
Step 3 \rightarrow 代已知点建平面方程
Step 4 \rightarrow 按题目算距离或角度并给单位/精度
CIE 9231/14/M/J/25 Q3(a)(b)(c)
Find the plane through A,B,C, then the perpendicular distance from a point to this plane, and an angle involving a line.
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} 求叉积得 \mathbf n \rightarrow 代点写平面 \rightarrow 套点到平面距离公式 \rightarrow 线面角由 \cos\phi=\frac{|\mathbf n\cdot\mathbf d|}{|\mathbf n||\mathbf d|} 转换。
[B1] 方向向量正确。
[M1] 叉积方法正确。
[A1] 法向量正确。
[M1] 代点建平面。
[A1] 平面方程正确。
[M1] 距离/角度公式使用正确。
[A1] 数值答案正确。
CIE 9231/14/O/N/25 Q4(a)(b)
Find equation of plane ABC, then shortest distance between two skew lines via common perpendicular.
先用两向量叉积得平面法向量 \rightarrow 写平面式 \rightarrow 设两线方向向量 \mathbf d_1,\mathbf d_2，共垂线方向 \mathbf d_1\times\mathbf d_2 \rightarrow 用投影公式求最短距离。
[B1] 平面方向向量正确。
[M1] 叉积求法向量。
[A1] 平面方程正确。
[M1] 找共垂线方向并设距离公式。
[A1] 最短距离正确。
7. Proof by Induction
Induction: Divisibility / Bounds（归纳：整除与界）
📖 Definition以“base + IH + transition + conclusion”四段结构证明整除、恒不等式或有界性。
🔑 Key• base case 要代入并写出成立原因
• IH 必须带量词与完整命题
• transition 常写成“next term = old term + multiple of m”。
🎯 Exam focus判卷会单独给结论分：若不写“Hence true for all positive integers n”会丢最后 A1。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 验证 n=1 或题设起点
Step 2 \rightarrow 假设 n=k 成立
Step 3 \rightarrow 推 n=k+1，把旧式替换进来
Step 4 \rightarrow 写完整归纳结论
CIE 9231/13/M/J/25 Q2
Prove by induction that 2025^n+47n-2 is divisible by 46 for all positive integers n.
base 检验可被 46 整除 \rightarrow 假设 2025^k+47k-2=46t \rightarrow 写 2025^{k+1}+47(k+1)-2 并拆为 2025(2025^k+47k-2)+\text{multiple of }46 \rightarrow 得 k+1 成立。
[B1] base case 正确。
[B1] IH 语句正确。
[M1] 正确分解 k+1 项并引入 IH。
[A1] 证明新增部分可被 46 整除。
[A1] 归纳结论完整。
CIE 9231/14/O/N/25 Q1
Prove by induction that \left(\frac{6}{5}\right)^n \ge 1+\frac{n}{5} for positive integers n.
base 比较两边 \rightarrow 设 \left(\frac65\right)^k\ge1+\frac{k}{5} \rightarrow 两边同乘 \frac65 并化简 \rightarrow 得 \left(\frac65\right)^{k+1}\ge1+\frac{k+1}{5}。
[B1] base case 正确。
[B1] IH 正确。
[M1] 从 IH 推到 k+1 的代数步骤正确。
[A1] 化简到目标不等式。
[A1] 最终归纳结论。
Induction on Derivatives（导数公式归纳）
📖 Definition证明 \frac{d^n}{dx^n} 形式公式，核心是对 k-th 导数再微分一次并匹配系数。
🔑 Key• 常见题型：\ln x、\cos x 与多项式乘三角函数
• 每一步必须保留阶乘/符号因子（(-1)^n, (2n-1)）
• transition 往往需要 product rule 两次。
🎯 Exam focusMS 常有两次方法分：先“differentiate once”，再“differentiate again / rearrange”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow base case 直接求导验证
Step 2 \rightarrow 写 IH 的完整函数形式
Step 3 \rightarrow 对 IH 右侧微分并整理系数
Step 4 \rightarrow 与 n=k+1 目标形式逐项匹配
CIE 9231/14/M/J/25 Q2
Prove by induction for n\ge2: \frac{d^n}{dx^n}(\ln x)=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}.
base n=2 验证 \rightarrow 假设 n=k 成立 \rightarrow 对 (-1)^{k-1}(k-1)!x^{-k} 再求导 \rightarrow 得 (-1)^k k!x^{-(k+1)}，即 k+1 情况。
[M1] 正确求 base derivative。
[A1] base case 成立。
[B1] IH 陈述正确。
[M1] 对 IH 微分步骤正确。
[A1] 得到 k+1 目标式。
[A1] 归纳结论完整。
CIE 9231/11/O/N/25 Q3
Given a formula for \frac{d^{2n-1}}{dx^{2n-1}}(x\cos x), prove the 2n+1 case.
先验证题给初始阶 \rightarrow 设 2k-1 阶成立 \rightarrow 连续求两次导数并利用 product rule 组合 \sin x,\cos x 系数 \rightarrow 匹配到 2k+1 阶。
[B1] base case with product rule。
[B1] IH 正确。
[M1] 第一次微分正确。
[M1] 第二次微分并重组正确。
[A1] 目标阶表达式正确。
[A1] conclusion 完整。
·
Recurrence Sequences（递推数列）
📖 Definition把给定递推关系转为显式式或判定单调/有界，常配合 induction 与差分。
🔑 Key• 常见策略：构造 u_{n+1}-u_n、u_n-L、\frac{1}{u_n} 等
• 证明不等式常用 induction：base + IH + transition
• 结论常含“for all positive integers n”与边界值。
🎯 Exam focusFP1 判分偏好结构化证明：假设语句要完整、过渡步要有代换来源、最后要明确量词。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先识别目标（显式/单调/界）
Step 2 \rightarrow 设计可望消的辅助表达式
Step 3 \rightarrow 用 IH 替换关键项并保留符号方向
Step 4 \rightarrow 明确写出“hence true for all positive integers”
CIE 9231/12/O/N/25 Q3
Given a recurrence u_{n+1}=\frac{6u_n-5}{u_n+2}, prove u_n<5 and deduce monotonic behaviour.
Base case 验证 u_1<5 \rightarrow 假设 u_k<5 \rightarrow 计算 5-u_{k+1} 并化到正分式 \rightarrow 得 u_{k+1}<5 \rightarrow 再算 u_{n+1}-u_n 判断符号。
[B1] base case 正确。
[B1] IH 书写完整。
[M1] 正确构造并化简 5-u_{k+1} 或等价式。
[A1] 推得 \(u_{k+1}[A1] 明确归纳结论与单调性结论。
CIE 9231/12/M/J/25 Q3
For a recurrence sequence u_n, prove closed form u_n=6^n-1 and then derive \frac{u_{n+1}}{u_n}.
先做 induction 证显式 u_n \rightarrow 代入递推做 transition \rightarrow 由显式式计算比值 \frac{u_{n+1}}{u_n} \rightarrow 再化简为只含 n 的表达式。
[B1] 正确写 base case。
[B1] IH 陈述正确。
[M1] 递推代换到 k+1 步。
[A1] 得到正确 closed form。
[M1] 利用 closed form 推比值。
[A1] 比值结果正确。
Trig Forms & Combined Transform（三角式与复合变换）
📖 Definition综合使用 trig identities 与矩阵分解，识别“reflection + rotation”等几何意义。
🔑 Key• \cos(A\pm B),\sin(A\pm B) 在 show-that 中高频
• 复合矩阵可反向拆解成基本变换序列
• 顺序必须匹配：右侧先作用。
🎯 Exam focus“Give full details”要求完整写 centre/axis/angle/order；只写名称不够。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先代 identity 化简代数式
Step 2 \rightarrow 写成标准 a\cos\theta+b\sin\theta 或标准矩阵
Step 3 \rightarrow 识别对应几何动作
Step 4 \rightarrow 明确先后顺序
CIE 9231/14/O/N/25 Q5(a)
Use trig angle-difference formulae to simplify expressions such as \cos(\theta-\frac{\pi}{6}), \sin(\theta-\frac{\pi}{6}).
代 \cos(A-B),\sin(A-B) 展开 \rightarrow 使用 \sin\frac\pi6,\cos\frac\pi6 常数 \rightarrow 合并同类项成标准形式。
[B1] 选用正确恒等式。
[A1] 展开中符号与系数正确。
[A1] 最终化简正确。
CIE 9231/14/O/N/25 Q5(b)
From a matrix result, identify the two transformations and the correct order.
观察矩阵列向量判断是否含 reflection \rightarrow 再由标准旋转矩阵读角度 \rightarrow 通过试乘确认顺序为 reflection then rotation。
[B1] 识别第一种变换正确。
[B1] 识别第二种变换正确。
[B1] 顺序正确。
[A1] 参数（轴/角度）完整正确。