CIE 数学
CIE FP2 Further Pure 2 Concept Map
12 个知识节点 · FP2
1. Hyperbolic Functions
Definitions & Identities（双曲函数定义与恒等式）
📖 Definition从指数定义出发处理 \sinh x,\cosh x,\tanh x 及其恒等式，FP2 高频是证明题与恒等变形题。
🔑 Key• \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\;\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
• \cosh^2x-\sinh^2x\equiv1
• \tanh^2x+\operatorname{sech}^2x\equiv1
🎯 Exam focus题目常写“starting from definitions ... prove ...”，不给定义分就没了，必须先回到指数形式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 全部改写为 e^x 与 e^{-x}
Step 2 \rightarrow 通分到同一分母
Step 3 \rightarrow 化简分子到目标式
Step 4 \rightarrow 末步再改回 hyperbolic 记号
CIE 9231/23/M/J/25 Q2(a)
Starting from exponential definitions, prove \tanh^2 t+\operatorname{sech}^2 t=1.
写 \tanh t,\operatorname{sech} t 为指数分式 \rightarrow 平方后通分 \rightarrow 分子化为 (e^t+e^{-t})^2 结构 \rightarrow 得恒等于 1。
[B1] 正确写出指数定义。
[M1] 正确通分并单分式化简。
[A1] 得出目标恒等式。
CIE 9231/22/M/J/25 Q6(a)
Show that \tanh^2u+\operatorname{sech}^2u=1.
同理改指数形式 \rightarrow 同分母 (e^u+e^{-u})^2 \rightarrow 分子 (e^u-e^{-u})^2+4 与分母相同 \rightarrow 结论成立。
[B1] 指数形式正确。
[M1] 合并分式结构正确。
[A1] 最终恒等式正确。
Inverse Hyperbolic & Log Forms（反双曲函数与对数形式）
📖 Definition把 \sinh^{-1}x,\cosh^{-1}x,\tanh^{-1}x 变成对数表达，便于解方程与精确积分。
🔑 Key• \sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
• 解 \cosh x=a 通常先改成指数二次方程
• 精确值常要求“in logarithmic form”
🎯 Exam focus考官常在“exact value + logarithmic form”里卡形式分，数值正确但形式错会扣 A1。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把 hyperbolic 等式改指数式
Step 2 \rightarrow 令 u=e^x 变成二次方程
Step 3 \rightarrow 回代并用 x=\ln u
Step 4 \rightarrow 保持 exact log form 不要小数
CIE 9231/24/O/N/25 Q2(a)
Find exact x for \cosh x=2\sinh x+6, giving answers in logarithmic form.
写成指数方程 \rightarrow 设 u=e^x 得二次式 \rightarrow 解出正根对应的 u \rightarrow 回代 x=\ln u 并整理成根式对数形式。
[M1] 正确转为 \sinh/\cosh 的代数方程。
[A1] 用 u=e^x 求到正确二次。
[M1] 回代并取可行根。
[A1] exact logarithmic form 正确。
CIE 9231/24/M/J/25 Q2
Evaluate \int_{1/2}^{5/2}\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-5}} in logarithmic form.
先配方 x^2-2x-5=(x-1)^2-6 \rightarrow 识别为 \int\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} 型 \rightarrow 用 \operatorname{arcosh}/对数原函数 \rightarrow 代上下限得 exact log。
[B1] 正确配方。
[M1] 套用标准积分形式。
[M1] 正确代入上下限。
[A1] 最终 logarithmic form 正确。
2. Matrices (Advanced)
Linear Systems & Consistency（线性方程组与相容性）
📖 Definition通过行列式/行变换判断唯一解、无解或无穷多解，并结合几何解释平面关系。
🔑 Key• unique solution \Leftrightarrow \det A\neq0
• \det A=0 时要进一步查 rank/方程关系
• 几何解释：三平面交于一点/一条线/无公共交点
🎯 Exam focusFP2 matrix 第一题常见“find k for no unique solution + show consistent + geometric interpretation”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 建系数矩阵并求 \det A
Step 2 \rightarrow 解 \det A=0 得参数值
Step 3 \rightarrow 对指定参数做消元检验一致性
Step 4 \rightarrow 用平面交会语言给几何结论
CIE 9231/24/M/J/25 Q1(a)(b)
Find k for which a 3×3 system has no unique solution; for k=1 show consistency and interpret geometrically.
先展 determinant 得 k 的二次式 \rightarrow 解出使 \det=0 的参数 \rightarrow 代 k=1 行化简出现一行零且不矛盾 \rightarrow 结论为三平面共线相交（sheaf line）。
[M1] 正确展开行列式。
[M1] 正确求参数根。
[A1] 参数值完整。
[M1] 消元证明 consistent。
[A1] 几何解释准确。
CIE 9231/21/O/N/25 Q1
Find values of k for which the system does not have a unique solution.
构造系数矩阵 A \rightarrow 令 \det A=0 \rightarrow 解参数方程得到两值。
[M1] 行列式方程构造正确。
[A1] 行列式化简正确。
[A1] 参数答案正确。
Eigenvalues / Eigenvectors（特征值与特征向量）
📖 Definition由 \det(A-\lambda I)=0 求特征值，再解 (A-\lambda I)\mathbf v=0 找特征向量，可延伸到 diagonalisation。
🔑 Key• 特征方程：\det(A-\lambda I)=0
• 每个 \lambda 至少给一个非零特征向量
• 可对角化条件：有足够线性无关特征向量
🎯 Exam focusFP2 matrices 2.2 的主战场；常与 3×3 simultaneous matrix form、row operations 联动。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 A-\lambda I 并求特征多项式
Step 2 \rightarrow 解各 \lambda
Step 3 \rightarrow 对每个 \lambda 解齐次方程找 \mathbf v
Step 4 \rightarrow 若需 diagonalisation 再组 P^{-1}AP
CIE 9231 FP2 Syllabus 2.2 Type
Find eigenvalues and eigenvectors of a given matrix and comment on diagonalisation.
先算 \det(A-\lambda I)=0 \rightarrow 得全部 \lambda \rightarrow 分别解 (A-\lambda I)\mathbf v=0 \rightarrow 根据特征向量独立性判断可否对角化。
[M1] 正确建立特征方程。
[A1] 特征值正确。
[M1] 解特征向量方法正确。
[A1] 特征向量/可对角化结论正确。
CIE 9231 FP2 Syllabus 2.2 Type
Use matrix methods to solve a 3-variable system and relate to matrix properties.
增广矩阵行化简 \rightarrow 得解或参数解 \rightarrow 回连到 \det A 与秩条件解释。
[M1] 行变换流程正确。
[A1] 最终解正确。
[B1] 与矩阵性质关系说明正确。
3. Differentiation
Implicit / Parametric（隐函数与参数求导）
📖 Definition对隐函数方程或参数方程链式求导，常接二阶导与曲率/凹凸分析。
🔑 Key• 隐函数：对两边同求导并收集 y'
• 参数式：\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
• 二阶导：\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\div\frac{dx}{dt}
🎯 Exam focus考官常给一问证明 y'，下一问要求 y''；过程分重在链式规则是否完整。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 一阶导先写清每一项来源
Step 2 \rightarrow 代点前先化到显式 y'
Step 3 \rightarrow 二阶导尽量先对 t 微分再除 dx/dt
Step 4 \rightarrow 数值代入最后做
CIE 9231/23/M/J/25 Q3(a)(b)
Given implicit equation involving \sinh and \ln, show \frac{dy}{dx}=-\frac12 at a point and then find \frac{d^2y}{dx^2}.
对方程隐式求导得到含 y' 关系 \rightarrow 代点求 y' \rightarrow 再对导数关系再次求导并代点 \rightarrow 解得 y''。
[B1] 一阶导关键项正确。
[M1] 代点并解 y' 过程正确。
[B1] 二阶导展开正确。
[M1] 代入点与 y' 正确。
[A1] y'' 最终值正确。
CIE 9231/22/O/N/25 Q3(a)(b)
For (x+y)^3+(x^2y)=\cdots, find \frac{dy}{dx} and \frac{d^2y}{dx^2} at x=-1.
一次求导并整理 \rightarrow 代 (x,y) 得 y' \rightarrow 再求导一次并代 y' 与点坐标 \rightarrow 得 y''。
[B1] 一阶求导正确。
[A1] y' 数值正确。
[M1] 二阶导方法正确。
[A1] y'' 数值正确。
Higher Derivatives & Maclaurin（高阶导与麦克劳林）
📖 Definition通过 f(0),f'(0),f''(0),... 组装 Maclaurin 近似，常由参数式/复合函数导出。
🔑 Key• f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots
• 参数式先转 y'(t),y''(t)，再换成对 x 的导数
• “up to and including term in x^2” 只保留到二次
🎯 Exam focus常作为导数题的末问短分题，丢分点在 2! 与代入点不一致。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求到所需阶导并在 0 点代值
Step 2 \rightarrow 套 Maclaurin 模板
Step 3 \rightarrow 化简系数并截断到指定次数
CIE 9231/23/M/J/25 Q1
Find the Maclaurin series for e^{\frac{x}{1+2x}} up to and including the term in x^2.
先把指数中分式做展开 \rightarrow 再代入 e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\cdots \rightarrow 收集到 x^2 项。
[B1] 内层分式展开正确。
[M1] 正确使用指数级数。
[A1] x,x^2 系数正确。
CIE 9231/21/O/N/25 Q2(c)
From parametric/hyperbolic setup, find Maclaurin series for y in terms of x up to x^2.
先求 y(0),y'(0),y''(0) \rightarrow 写 y\approx y(0)+y'(0)x+\frac{y''(0)}{2}x^2 \rightarrow 化简。
[M1] 正确求到二阶导在 0 点值。
[A1] Maclaurin 结构与系数正确。
4. Integration
Hyperbolic Integrals（双曲函数积分）
📖 Definition处理含 \sinh,\cosh 的定积分/不定积分，常与 reduction formula 连考。
🔑 Key• 常见积分分部：I_n=\int_0^1 x^n\sinh(1-x)dx
• reduction 常含 I_n 与 I_{n-2}
• 精确值常出现 \cosh1,\sinh1 或等价指数式
🎯 Exam focus题型固定：先推递推式（4 分），再算某个 I_n（2–3 分）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先定义目标积分 I_n
Step 2 \rightarrow 两次 integration by parts 建递推
Step 3 \rightarrow 计算起始值 I_0/I_1
Step 4 \rightarrow 回代求指定 I_n
CIE 9231/22/M/J/25 Q2(a)(b)
Given I_n=\int_0^1x^n\sinh(1-x)dx, show a reduction formula and find exact I_2.
对 I_n 先后两次分部 \rightarrow 用边界代值整理出 I_n-I_{n-2} 关系 \rightarrow 用 I_0 回代得 I_2 exact。
[M1] 第一次分部积分正确。
[M1] 第二次分部积分正确。
[A1] 递推式正确。
[B1] 起始值 I_0 正确。
[M1] 使用递推求 I_2。
[A1] I_2 exact 正确。
CIE 9231/24/O/N/25 Q1(a)(b)
Given I_n=\int_0^1x^n\cosh(1-x)dx, establish reduction and evaluate I_2.
同样两次分部 \rightarrow 得含 \cosh1,\sinh1 的递推 \rightarrow 代 n=2 并用低阶值完成 exact 计算。
[M1] 分部结构正确。
[A1] 递推式正确。
[M1] 代入计算流程正确。
[A1] I_2 正确。
Reduction / Numerical Bounds（积分与求和界）
📖 Definition利用积分与矩形和比较（upper/lower sums）估计级数并给误差界。
🔑 Key• 递减正函数下：左端/右端矩形和与积分比较
• 常见比较：L_n<\int f(x)dx<U_n 或反向
• 差值 U_n-L_n\to0 给出收敛与逼近精度
🎯 Exam focusFP2 常把积分与 \sum 放在同题，重点是“compare correctly”而不是硬算复杂和。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写出对应矩形和表达式
Step 2 \rightarrow 用函数单调性判不等号方向
Step 3 \rightarrow 套 MF19 或等比/等差和化简
Step 4 \rightarrow 写 U_n-L_n 并取极限
CIE 9231/22/M/J/25 Q4(a)(b)
Use integral comparison to bound a finite sum involving exponentials.
构造左右矩形和 \rightarrow 与 \int e^x dx 比较得上下界 \rightarrow 化简不等式得到级数估计区间。
[M1] 矩形和构造正确。
[A1] 比较不等号方向正确。
[M1] 积分计算正确。
[A1] 最终界限表达正确。
CIE 9231/24/O/N/25 Q4(a)(b)(c)
Establish upper and lower sums U_N, L_N and show U_N-L_N\to0.
分别写 U_N, L_N 的等比和表达 \rightarrow 化简差值 U_N-L_N \rightarrow 取 N\to\infty 得 0，说明逼近收敛。
[M1] 正确写 U_N/L_N。
[A1] 和式化简正确。
[M1] 差值表达式正确。
[A1] 极限与结论正确。
5. Complex Numbers
Roots in Polar Form（复数根的极式）
📖 Definition将复数写成 re^{i\theta} 后用 de Moivre 求 n 次根，并规范 argument 区间。
🔑 Key• z^n=Re^{i\phi}\Rightarrow z_k=R^{1/n}e^{i(\phi+2k\pi)/n}
• 结果常要求 r>0, -\pi<\theta\le\pi
• 根数必须完整（如三次方程给 3 根）
🎯 Exam focusFP2 几乎每套都有“find roots in form re^{i\theta}”的基础分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求模与主辐角
Step 2 \rightarrow 应用 n 次根公式
Step 3 \rightarrow 列出全部 k=0,1,...,n-1
Step 4 \rightarrow 调整到指定 argument 区间
CIE 9231/22/M/J/25 Q1
Find the roots of z^3=-27-27i in the form re^{i\theta}.
先写 -27-27i=27\sqrt2\,e^{-3\pi i/4} \rightarrow 取三次根得模 3\sqrt2 与三组辐角 \frac{-3\pi/4+2k\pi}{3} \rightarrow 写全三根。
[B1] 原复数模辐角正确。
[M1] 三次根公式使用正确。
[A1] 第一根正确。
[A1] 其余两根正确。
[A1] 形式与区间要求满足。
CIE 9231/22/O/N/25 Q2
Find the roots of z^4=-8-8\sqrt3,i in the form re^{i\theta}.
改写成极式 16e^{-2\pi i/3} \rightarrow 四次根模为 2 \rightarrow 辐角 \frac{-2\pi/3+2k\pi}{4}, k=0,1,2,3 \rightarrow 写四根。
[B1] 极式表示正确。
[M1] 四次根步骤正确。
[A1] 至少一根正确。
[A1] 全部根正确。
[A1] 角度区间规范。
De Moivre & Trig Identities（棣莫弗与三角恒等）
📖 Definition由 (\cos\theta+i\sin\theta)^n 展开取实部/虚部，得到高次三角恒等式并解方程。
🔑 Key• 取实部得 \cos n\theta 多项式关系
• 取虚部得 \sin n\theta 关系
• 常见后续：由恒等式反解多项式根
🎯 Exam focus“show that ... where integers ...”是标准题型，判分看展开分组是否清晰。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 z=\cos\theta+i\sin\theta
Step 2 \rightarrow 展开 z^n 并整理同次 \sin\theta
Step 3 \rightarrow 取虚部/实部得到恒等式
Step 4 \rightarrow 需要时设 x=\sin\theta 解多项式
CIE 9231/24/O/N/25 Q3(a)(b)
Use de Moivre to show \sin5\theta=16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta, then solve related quintic.
展开 (\cos\theta+i\sin\theta)^5 \rightarrow 取虚部并用 \cos^2\theta=1-\sin^2\theta \rightarrow 得五倍角公式 \rightarrow 代 x=\sin\theta 求方程根。
[M1] de Moivre 展开正确。
[M1] 正确取虚部并代恒等式。
[A1] 五倍角恒等式正确。
[M1] 后续代换解根方法正确。
[A1] 根写法正确。
CIE 9231/22/M/J/25 Q3
By expanding (z-1/z)^5, show a cosec identity with integer coefficients.
先二项展开 (z-z^{-1})^5 \rightarrow 代 z=\cos\theta+i\sin\theta 的标准关系 \rightarrow 化到 \csc\theta 与 \sin k\theta 形式。
[B1] 展开结构正确。
[M1] 正确代入 de Moivre 结果。
[A1] 系数与恒等式正确。
6. Differential Equations
CF + PI (2nd Order)（二阶线性微分方程）
📖 Definition对常系数线性方程先解 auxiliary equation 得 CF，再设 PI，最后用初值定常数。
🔑 Key• 通解：y=y_c+y_p
• 辅助方程根型：实异根/重根/共轭复根
• PI 常设：Ae^{ax}, px+q, p\cos x+q\sin x 等
🎯 Exam focusFP2 DE 大题主干，MS 会把“形成 auxiliary”“设 PI”“代初值”分别给 method 分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 解辅助方程得 CF
Step 2 \rightarrow 按 RHS 类型设 PI 并求系数
Step 3 \rightarrow 合并成通解
Step 4 \rightarrow 用初值/初导数求常数
CIE 9231/24/M/J/25 Q3
Find the particular solution of y''+5y'+4y=13e^x, given y(0)=1, y'(0)=0.
辅助方程得 CF \rightarrow 设 y_p=ke^x 求 k \rightarrow 写通解 \rightarrow 代两条初值解常数 \rightarrow 得 particular solution。
[M1] auxiliary equation 正确。
[A1] CF 正确。
[M1] PI 设型与代入正确。
[A1] PI 系数正确。
[DM1] 用初值建立联立方程。
[A1] 最终特解正确。
CIE 9231/22/M/J/25 Q5
Solve a second-order linear DE with exponential forcing and initial conditions.
CF 由复杂根得到 e^{\alpha t}(A\cos\beta t+B\sin\beta t) \rightarrow 设指数 PI \rightarrow 代入求参数 \rightarrow 代初值求 A,B。
[M1] 复杂根辅助方程处理正确。
[A1] CF 形式正确。
[M1] PI 代入求系数正确。
[A1] 常数求解正确。
Substitution to Solvable Form（代换降阶/可分离）
📖 Definition使用题给或自选 substitution，把原方程化为线性方程或可分离变量方程再积分。
🔑 Key• 常见代换：u=y'、u=e^x、u=\sinh x 等
• 目标形态：一阶线性 u'+P(x)u=Q(x) 或可分离 \frac{du}{dx}=f(x)g(u)
• 结束后要回代原变量
🎯 Exam focusFP2 syllabus 2.6 明确要求“use given substitution to reduce ...”，是方法题，不是盲算题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 观察最难项并设计代换
Step 2 \rightarrow 把方程改写成标准一阶/二阶可解型
Step 3 \rightarrow 求通解并回代
Step 4 \rightarrow 若有条件再定常数
CIE 9231/22/O/N/25 Q6(a)
Evaluate an integral/DE step that requires substitution leading to inverse hyperbolic logarithmic form.
用代换把根式结构转成 \int\frac{du}{\sqrt{u^2-1}} \rightarrow 调用 \cosh^{-1} /对数表达 \rightarrow 回代得到 exact form。
[M1] 合理代换并微分替换正确。
[A1] 化到标准积分/方程形态。
[A1] 回代结果正确。
CIE 9231 FP2 Syllabus 2.6 Type
Use a given substitution to reduce a DE to a separable or first-order linear equation.
按题给 substitution 变元 \rightarrow 整理成标准一阶形式 \rightarrow 求解后回代 \rightarrow 写 general solution。
[M1] 代换执行正确。
[M1] 降阶到可解型正确。
[A1] 解并回代正确。