CIE 数学
CIE M1 Mechanics Concept Map
16 个知识节点 · M1
1. Kinematics Foundations
SUVAT Core Equations（匀加速核心方程）
📖 Definition在 constant acceleration 条件下，用 s,u,v,a,t 五变量方程组直接建模一维运动。
🔑 Keyv=u+at, s=ut+\frac12at^2, v^2=u^2+2as, s=\frac{u+v}{2}t。
同一方程只缺 1 个量时最稳。
方向统一后，负号自然反映反向/减速。
🎯 Exam focusCIE 高频是“先列已知未知再选方程”；盲目联立多式会丢 method marks。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先定正方向并写已知量。
Step 2 \rightarrow 选只含 1 unknown 的 suvat。
Step 3 \rightarrow 代值解出并做正负合理性检查。
CIE 9709/42/F/M/25 Q2(a)
Use constant acceleration over 2\text{ s} and distance 16\text{ m} to find speed V.
由 s=ut+\frac12at^2 或 v^2=u^2+2as 建立仅含 V 方程 \rightarrow 解得正根。
[B1] 正确写出只含 V 的匀加速方程。
[A1] V 数值正确（取正值）。
CIE 9709/41/O/N/25 Q6
Particle A starts from rest, accelerates on a slope for 2\text{ s}, then collides; use suvat before impact.
先由 v=u+at 求碰前速度 \rightarrow 再带入后续碰撞步骤。
[M1] 正确使用 v=u+at。
[A1] 碰前速度正确并可用于后续 FT。
Multi-stage Motion（分段运动建模）
📖 Definition把复杂过程拆成多个 time interval，逐段用 suvat / graph area 连接状态量。
🔑 Key段间桥接：前段终态 = 后段初态。
若加速度切换，绝不能整段套单一 suvat。
常见结构：加速 \rightarrow 匀速 \rightarrow 减速。
🎯 Exam focusCIE 喜欢在中间插入 unknown duration T，再由总位移或总时间反推 T。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先画阶段时间线。
Step 2 \rightarrow 每段单独写方程。
Step 3 \rightarrow 用 continuity 和总量条件联立。
CIE 9709/42/M/J/25 Q4(b)
Car moves in three stages; form equation in T using total distance 2750\text{ m}.
先求阶段交界速度 \rightarrow 用三段 v-t 面积和等于总位移 \rightarrow 得二次方程解 T。
[B1] 关键交界速度正确。
[M1] 三段面积表达正确。
[A1] 正确建立总位移方程。
[DM1] 解其二次方程。
[A1] 取合物理意义的 T。
CIE 9709/45/M/J/25 Q3
Three-particle motion with phases; use displacement sum to find T.
各对象用对应位移式 \rightarrow 叠加成总位移约束 \rightarrow 解出 T 与后续距离。
[M1] 至少两段位移表达正确。
[DM1] 建立总位移等式。
[A1] 时间变量方程正确。
[A1] 最终 T 正确。
2. Motion Graphs
Velocity-Time Graph（速度-时间图）
📖 Definition在 v-t 图中，梯度给 acceleration，图下代数面积给 displacement。
🔑 Key梯度：a=\frac{\Delta v}{\Delta t}。
面积：三角形 \frac12bh，梯形 \frac12(a+b)h。
在轴下区域取负位移。
🎯 Exam focusCIE 常先给 graph sketch marks，再给 algebraic area marks；图像结构分不能丢。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先标关键时刻与速度。
Step 2 \rightarrow 分块算有向面积。
Step 3 \rightarrow 合并并和题干总位移/时间匹配。
CIE 9709/42/M/J/25 Q4(a)
Sketch a three-stage v-t graph with correct labels 30,\,30+3T,\,30+4T.
先定三段斜率正/零/负 \rightarrow 放置节点时间标签 \rightarrow 保持末段未必到零速。
[B1] 三段线型正确。
[B1] 轴与关键标签正确。
CIE 9709/45/O/N/25 Q2(a)(b)
From a trapezium-type v-t graph, form equation in peak speed V.
先把加速/减速时长写成 V 函数 \rightarrow 用梯形面积等于总位移 \rightarrow 化为二次方程。
[B1] 至少一个阶段时长表达正确。
[B1] 总时间或总位移表达正确。
[DM1] 建立 V 方程。
[A1] 方程化简正确。
Graph-Algebra Link（图像与代数互转）
📖 Definition把 piecewise graph 信息转成代数方程，或从代数运动式回到图像特征点。
🔑 Key关键转换：v-t 斜率 \leftrightarrow a，面积 \leftrightarrow s。
piecewise 图必须分段积分/分段面积。
极值点常由 a=0 定位。
🎯 Exam focusCIE 常把图像读值与方程求解混在同题，先后顺序错会导致 DM1 丢失。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先读图得到阶段参数。
Step 2 \rightarrow 再写代数方程。
Step 3 \rightarrow 用代数结果反验图像逻辑。
CIE 9709/43/M/J/25 Q3(a)(b)
Use graph-derived speeds/displacements to find T and acceleration.
先由图读 t=20,50 的速度与面积 \rightarrow 建立位移方程求 T \rightarrow 再由斜率求后段加速度。
[B1] 关键图读值正确。
[M1] 面积法位移方程正确。
[DM1] 用 T 继续求加速度。
[A1] 最终加速度正确。
CIE 9709/43/O/N/25 Q4(b)
Set v(t)=0 to get first return/stop time and evaluate acceleration there.
先解 v=0 取正根 \rightarrow 代入 a(t) 表达式 \rightarrow 写正负与单位。
[M1] 正确令三项式 v(t)=0。
[A1] 合理正根时间正确。
[DM1] 代入 a(t) 计算。
[A1] 加速度值正确。
3. Newton's Laws (1D)
Newton's Second Law（牛顿第二定律）
📖 Definition沿选定方向列 \sum F=ma，并保持同一方向与同一对象的一致性。
🔑 Key核心：\sum F=ma。
每个对象独立列式，system 列式可消 tension。
符号错误通常先损 A 再损 DM。
🎯 Exam focusCIE 常在 connected particles 给两式：单体 + 系统，考查你是否能联立解 a, T。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 画受力图并选正方向。
Step 2 \rightarrow 写每个对象的 \sum F=ma。
Step 3 \rightarrow 联立并做数量级检查。
CIE 9709/43/M/J/25 Q2
Van-trailer system: use N2L to find coupling tension and driving/resistive force.
分别对车辆与整体列 \sum F=ma \rightarrow 得两元一次方程 \rightarrow 解 T 与 X。
[M1] 至少一个对象列式正确。
[A1] 两条关键动力学方程正确。
[DM1] 联立求未知量。
[A1] T,X 数值正确。
CIE 9709/43/O/N/25 Q5(a)
Connected masses 2\text{ kg} and 6\text{ kg}: find acceleration and tension.
对两物体分别列 \sum F=ma \rightarrow 消去 T 求 a \rightarrow 回代求 T。
[M1] N2L 列式结构正确。
[A1] 两方程正确。
[DM1] 消元求 a 或 T。
[A1] a, T 正确。
Driving Force & Resistance（牵引力与阻力）
📖 Definition在车辆模型中，把 driving force、resistance、slope weight component 与 power 统一建模。
🔑 KeyP=Fv。
阻力常给作 cv^2 或常量。
匀速上坡时 a=0\Rightarrow\sum F=0。
🎯 Exam focusCIE 高频是先由 power 反推 driving force，再代入 N2L 解参数 c 或稳态速度。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 用 P=Fv 求牵引力。
Step 2 \rightarrow 列上坡方向 \sum F=ma。
Step 3 \rightarrow 代 a=0 或已知 a 解目标量。
CIE 9709/43/O/N/25 Q2(a)(b)
Given P=105000\text{ W} and resistance cv^2, find c then steady speed on slope.
先算 F=P/v \rightarrow 用 N2L 与已知 a 求 c \rightarrow 再设 a=0 得 v 的二次方程。
[B1] 驱动力表达正确。
[M1] N2L 三项结构正确。
[A1] c 正确。
[DM1] 稳态速度方程正确。
[A1] 物理可行速度正确。
CIE 9709/41/O/N/25 Q1(a)(b)
Given acceleration equation, find resistance D then power at 15\text{ m s}^{-1}.
由 \sum F=ma 求 D \rightarrow 再用 P=Dv 计算功率。
[M1] N2L 方程正确。
[A1] D 正确。
[M1] 使用 P=Dv。
[A1] 功率值与单位正确。
4. Forces in 2D
Resolving Forces（力分解）
📖 Definition把斜向力按两正交方向分解，通过分量平衡或分量动力学解未知。
🔑 KeyF_x=F\cos\theta,\;F_y=F\sin\theta。
同一题只允许一套角度定义。
角度与方向错误会连锁破坏 A/DM。
🎯 Exam focusCIE 对“term 数量正确”与“sin/cos 混淆”分得很细，常先给 M 后卡 A。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 固定坐标轴。
Step 2 \rightarrow 全部力按同规则分解。
Step 3 \rightarrow 在每方向列方程并解。
CIE 9709/42/F/M/25 Q1
Resolve forces in two directions to find X and \theta.
在两垂直方向写分量方程 \rightarrow 联立 X,\theta \rightarrow 取几何可行值。
[M1] 任一方向正确分解。
[A1] 两方向分解完整正确。
[DM1] 联立求未知。
[A1] X,\theta 正确。
CIE 9709/45/O/N/25 Q1
Using two resolving equations, determine magnitudes P and Q.
分别沿 x,y 方向分解 \rightarrow 得两线性方程 \rightarrow 消元得 P,Q。
[M1] 正确列一条分解式。
[A1] 两条分解式正确。
[DM1] 求解数值步骤正确。
[A1] P,Q 均正确。
Lami & Triangle of Forces（三力平衡与拉米定理）
📖 Definition三力共点平衡可用 triangle of forces / Lami 快速求解，减少冗长分解。
🔑 KeyLami: \frac{F_1}{\sin\alpha}=\frac{F_2}{\sin\beta}=\frac{F_3}{\sin\gamma}。
仅适用于三力平衡且共点。
角度应取“对边角”。
🎯 Exam focusCIE 常允许 resolving 与 Lami 双路线，Lami 角度错会整问失分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 确认三力平衡条件。
Step 2 \rightarrow 标对边角。
Step 3 \rightarrow 用 Lami 或力三角解目标量。
CIE 9709/42/F/M/25 Q1 (alt)
Solve same equilibrium using triangle of forces/Lami as alternative method.
构造三力闭合三角形 \rightarrow 或直接套 Lami \rightarrow 解 X,\theta。
[M1] 至少两项 Lami 比例关系正确。
[A1] 三比关系完整。
[DM1] 求 \theta 或 X 的代数步骤正确。
[A1] 数值正确。
CIE 9709/42/M/J/25 Q3
Three-force equilibrium with string angle; determine T and mass m.
由几何先定夹角 \rightarrow 用平衡方程或 Lami \rightarrow 解 T 与 m。
[M1] 正确建立三力平衡关系。
[A1] 一条关键方程准确。
[A1] 第二条方程准确。
[A1] T,m 数值正确。
5. Friction on Planes
Friction Model (F=\mu R)（摩擦模型）
📖 Definition接触面摩擦满足 F\le \mu R，在 limiting case 取 F=\mu R。
🔑 Key静摩擦上限：F_{max}=\mu R。
沿面 N2L 与垂直方向求 R 必须联用。
摩擦方向由“相对运动趋势”决定。
🎯 Exam focusCIE 高频错点：直接把 R 当 mg（忽略斜面分量）导致 DM1 全失。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判运动趋势，定摩擦方向。
Step 2 \rightarrow 由法向方程求 R。
Step 3 \rightarrow 代 F=\mu R 联立沿面动力学。
CIE 9709/41/M/J/25 Q1
Inclined motion with \mu=0.4: find tension using F=\mu R.
先由垂直方向求 R \rightarrow 写 F=0.4R \rightarrow 代入沿面方程解 T。
[M1] 沿面 N2L 含正确项数。
[DM1] 用 F=\mu R 建立仅含 T 的方程。
[A1] T 数值正确。
CIE 9709/43/O/N/25 Q3(a)
Block pulled on rough horizontal plane with inclined force; find work done against friction.
先求 R（含竖直分量）\rightarrow 算 F=\mu R \rightarrow 用 W=Fs。
[M1] 法向力表达正确。
[DM1] 摩擦功计算结构正确。
[A1] 功数值正确（AWRT）。
Limiting Equilibrium（临界平衡）
📖 Definition物体将要滑动时处于 limiting equilibrium，此时摩擦取最大值。
🔑 KeyF=\mu R（仅临界时）。
临界条件常转化为 \tan\theta 或 \mu 的代数式。
可与多力平衡耦合。
🎯 Exam focusCIE 喜欢把 \mu、\theta、张力混在同题，marking 强调 dependent method。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确是 impending motion。
Step 2 \rightarrow 写平衡方程 + F=\mu R。
Step 3 \rightarrow 化简到单三角函数并求值。
CIE 9709/41/O/N/25 Q5
On rough incline with force 8mg, derive \tan\theta then find \theta.
沿面与法向分解 \rightarrow 代 F=0.5R \rightarrow 化成 \tan\theta=k 求角。
[M1] 两方向分解结构正确。
[DM1] 代入 F=\mu R 成单变量式。
[DM1] 化简到 \tan\theta 形式。
[A1] \theta 正确。
CIE 9709/42/M/J/25 Q5(b)
Connected particles on rough plane: find \mu from motion data.
由系统先求张力 \rightarrow 对粗糙块列沿面方程 \rightarrow 用 R=mg\cos\alpha 与 F=\mu R 求 \mu。
[M1] 沿面动力学方程正确。
[B1] 法向反力表达正确。
[DM1] 正确使用 \mu=F/R 求解。
[A1] \mu 数值正确。
6. Connected Particles
String Tension Systems（连体粒子与张力）
📖 Definition轻绳滑轮模型中，各粒子 acceleration magnitude 相同，绳内张力统一。
🔑 Key同绳：|a_A|=|a_B|，T 相同。
对象分开列 \sum F=ma 最稳。
可加 system 方程加速求解。
🎯 Exam focusCIE 常先问 a,T，再问 second-stage（断绳/改变受力）续算位移。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写每粒子受力图。
Step 2 \rightarrow 两式联立得 a,T。
Step 3 \rightarrow 若有阶段切换，更新受力重算。
CIE 9709/42/M/J/25 Q5(a)
For particles A,B,C connected by strings, find tensions T_{BC},T_{AB}.
分别对 B、C 用 N2L \rightarrow 建立两条张力方程 \rightarrow 联立得两张力。
[M1] 对 C 的 N2L 正确。
[M1] 对 B 的 N2L 正确。
[A1] 两张力数值正确。
CIE 9709/43/O/N/25 Q5(a)
Two connected masses 2 and 6 kg: find a and T.
两对象列式 \rightarrow 消去 T 得 a \rightarrow 回代张力。
[M1] 至少一条对象方程正确。
[A1] 两条方程正确。
[DM1] 消元过程正确。
[A1] a,T 正确。
String Break Two-stage（断绳两阶段）
📖 Definition断绳后系统约束变化，必须建立新的受力方程并把断点速度当新初值。
🔑 Key阶段切换：u_{new}=v_{break}。
断后常用 v^2=u^2+2as 求额外位移。
总位移 = 断前 + 断后。
🎯 Exam focusCIE 在此类题大量给 DM1：如果没把断点状态承接，后面 accuracy 几乎全掉。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求断前位移与断点速度。
Step 2 \rightarrow 断后重画 FBD 求新 a。
Step 3 \rightarrow 用新阶段 suvat 求附加位移并求总量。
CIE 9709/42/M/J/25 Q5(c)
After string breaks at 1.5\text{ s}, find total distance moved up the plane.
先求断前位移 \rightarrow 由断点速度做断后减速运动 \rightarrow 计算额外上滑距离并相加。
[B1] 断前位移正确。
[B1] 断点速度正确。
[M1] 断后 N2L 求新加速度。
[DM1] 断后位移方程正确。
[A1] 总位移正确。
CIE 9709/41/O/N/25 Q6
After collision on slope, A moves against acceleration and comes to rest; find distance.
先由动量得碰后速度 \rightarrow 再以新负加速度代入 v^2=u^2+2as 求停前位移。
[DM1] 动量步骤给出碰后速度。
[DM1] 使用停下条件 v=0 的 suvat。
[A1] 位移正确。
7. Momentum & Collisions
Conservation of Momentum（动量守恒）
📖 Definition在短时碰撞内若外冲量可忽略，系统总动量守恒。
🔑 Keym_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2。
方向要带符号。
可与后续 N2L/energy 串题。
🎯 Exam focusCIE 常先让你解两种可能速度，再选“physical branch”进入下问。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选正方向并给每速度带号。
Step 2 \rightarrow 写守恒式。
Step 3 \rightarrow 解后筛除不合语境根。
CIE 9709/43/M/J/25 Q1(a)
Using momentum conservation, solve for pre-collision speed u (two possible values).
列一维守恒方程 \rightarrow 解线性/二次关系 \rightarrow 结合题意保留可行 u。
[M1] 动量守恒式正确（项数与质量匹配）。
[A1] 一组 u 正确。
[A1] 另一组 u 正确并讨论可行性。
CIE 9709/41/O/N/25 Q2(a)
Collision with masses 3,1,5: find post-collision velocity options.
用总动量守恒 \rightarrow 解出可能 v \rightarrow 与题意匹配。
[M1] 三项守恒结构正确。
[A1] 第一速度值正确。
[A1] 第二速度值正确/判别合理。
Collision Energy Loss（碰撞动能损失）
📖 Definition碰撞后若非完全弹性，KE 减少；损失值由碰前后总动能差定义。
🔑 Key\Delta KE=KE_{before}-KE_{after}。
先动量后能量是标配流程。
注意“largest loss”等筛选语义。
🎯 Exam focusCIE 常把 energy-loss 设为 dependent mark，要求先用上问速度再代入。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先完成动量方程求速度。
Step 2 \rightarrow 分别算碰前后总 KE。
Step 3 \rightarrow 做差并按题意取最大/正值。
CIE 9709/42/M/J/25 Q2
After momentum step, calculate loss in kinetic energy of two particles.
由守恒先得碰后速度 \rightarrow 算碰前后总 KE \rightarrow 取差值得损失。
[M1] 动量守恒步骤正确。
[DM1] 正确写碰前后 KE 差。
[A1] 损失值正确。
CIE 9709/43/M/J/25 Q1(b)
From two possible outcomes, determine the largest kinetic energy loss.
分别计算两情形 \Delta KE \rightarrow 对比大小 \rightarrow 选 largest。
[M1] 至少一情形 \Delta KE 结构正确。
[A1] 能量损失数值正确。
[A1] largest 选择正确。
8. Work, Energy, Power & Calculus
Work-Energy Principle（功能原理）
📖 Definition合外力所做功等于动能变化，也可与重力势能转化写成能量守恒形式。
🔑 KeyW_{net}=\Delta KE。
重力做功可用 \Delta PE 处理。
阻力/摩擦功一般取负。
🎯 Exam focusCIE 重视“每一项来源清晰”：PE、KE、friction work、external work 必须分项可追踪。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确系统和位移方向。
Step 2 \rightarrow 列全部功/能项。
Step 3 \rightarrow 建总能量方程并求未知。
CIE 9709/45/M/J/25 Q1
Object moves up slope: find work done by driving force over 12\text{ m}.
列 \Delta PE、\Delta KE、阻力功 \rightarrow 用 W_{drive}=\Delta PE+\Delta KE+W_{resist}。
[B1] PE 项正确。
[B1] KE 项正确。
[M1] 总功能方程结构正确。
[A1] 驱动力做功正确。
CIE 9709/41/O/N/25 Q4
Two connected particles with resistance: find unknown mass using work-energy.
分别写 PE 变化与阻力功 \rightarrow 总功=总 \Delta KE \rightarrow 解质量。
[B1] PE loss/gain 项正确。
[B1] 阻力功项正确。
[M1] 5 项能量方程正确。
[A1] 质量正确。
Power & Variable Motion（功率与变加速运动）
📖 Definition功率连接力与速度；当 s(t),v(t) 给定时可用微积分求极值、转向点与总路程。
🔑 KeyP=Fv, v=\frac{ds}{dt}, a=\frac{dv}{dt}, s=\int v\,dt。
总路程需按速度变号分段积分绝对值。
🎯 Exam focusCIE 常问“first stationary time / total distance / change direction”，必须处理 v=0 分段。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先微分得 v,a 并解关键时刻。
Step 2 \rightarrow 判断 v 符号区间。
Step 3 \rightarrow 分段积分求总路程。
CIE 9709/42/M/J/25 Q6(a)
Given v(t) in factored form, find time when acceleration is zero.
先对 v(t) 微分得 a(t) \rightarrow 令 a=0 得二次方程 \rightarrow 取指定时刻。
[M1] 正确微分结构。
[A1] 导函数表达正确。
[DM1] 令 a=0 并化二次式。
[A1] 时间值正确。
CIE 9709/41/O/N/25 Q7(b)
For a variable-velocity particle, find total distance over interval with direction change.
由 v=0 找转向时刻 \rightarrow 分段积分位移 \rightarrow 取绝对值相加得总路程。
[M1] 正确积分得到位移函数。
[B1] 识别转向时刻。
[DM1] 正确使用分段积分上下限。
[A1] 总路程正确。