CIE 数学
CIE P1 Pure Mathematics 1 Concept Map
21 个知识节点 · P1
1. Algebra
Quadratics (二次函数与方程)
📖 Definition研究最高次幂为2的多项式方程 ax^2 + bx + c = 0 及其抛物线图像特性。
🔑 Key1. 判别式 \Delta = b^2 - 4ac：>0 (两异根), =0 (一重根/相切), <0 (无实根/不相交)。
2. 配方法 (Completing the square)：a(x+h)^2 + k，顶点坐标为 (-h, k)。
🎯 Exam focusCIE 极度偏爱考查利用判别式求未知常数 k 的取值范围，以及通过配方法求极值点并判断函数的值域。
🛠️ TechniqueStep 1: 将方程整理为标准形式 ax^2 + bx + c = 0。
Step 2: 准确提取 a, b, c。
Step 3: 根据题意列出 \Delta 的不等式。
Step 4: 画出二次不等式的草图，写出最终范围（切忌直接写成 a < x < b 如果其实是两边）。
CIE 9709/11/O/N/25 Q1
Find the set of values of the constant k for which the quadratic equation 3kx^2 + (k+8)x + 3 = 0 has two distinct real roots.
提取系数：a = 3k, b = k+8, c = 3 \rightarrow 'Two distinct real roots' 意味着 b^2 - 4ac > 0 \rightarrow (k+8)^2 - 4(3k)(3) > 0 \rightarrow 展开化简得 k^2 - 20k + 64 > 0 \rightarrow 分解为 (k-4)(k-16) > 0 \rightarrow 画图取两边：k 16。
[M1] 正确列出 b^2 - 4ac > 0。
[M1] 展开并整理成标准二次不等式。
[A1] 找到临界值 4 和 16。
[A1] 给出正确范围 k 16。
CIE 9709/12/O/N/25 Q1
Express 9x^2 - 36x + 8 in the form p(x+q)^2 + r. Hence find the set of values of k for which 9x^2 - 36x + 8 = k has no real roots.
配方：9(x^2 - 4x) + 8 \rightarrow 9[(x-2)^2 - 4] + 8 \rightarrow 9(x-2)^2 - 28。
由于 9(x-2)^2 \ge 0，该函数最小值为 -28。若方程无实根，则水平直线 y=k 必须在抛物线最低点下方 \rightarrow k < -28。
[B1] 得出 p=9, q=-2。
[B1] 得出 r=-28。
[B1] 结合图像逻辑直接得出 k < -28。
Simultaneous Equations (方程组)
📖 Definition求解包含两个或多个未知数的方程组，在几何上等价于寻找直线与曲线的交点坐标。
🔑 Key代入法 (Substitution) 是核心：从一次方程 (Linear) 中解出 x 或 y，代入二次方程 (Non-linear)。
🎯 Exam focus必考直线与二次曲线（如圆、抛物线）的交点。计算过程极易在展开括号和正负号上出错。
🛠️ TechniqueStep 1: 观察哪个方程是线性的。
Step 2: 孤立出 x 或 y。
Step 3: 代入非线性方程并展开，整理成 ax^2+bx+c=0。
Step 4: 解二次方程求出一个未知数，必须代回线性方程求另一个。
CIE 9709/12/O/N/25 Q2
Find the coordinates of the points of intersection of the curve 2x + 5y^2 = 24 and the line 2x + y + 4 = 0.
从直线方程中孤立出 2x：2x = -y - 4。
代入曲线方程：(-y - 4) + 5y^2 = 24 \rightarrow 5y^2 - y - 28 = 0。
十字相乘因式分解：(5y + 14)(y - 4) = 0 \rightarrow y = 4 或 y = -2.8。
代回直线方程求 x：当 y=4, x=-4；当 y=-2.8, x=-0.6。
[M1] 正确代入消去一个未知数。
[M1] 整理得到正确的三项二次方程。
[A1] 求出两个正确的 x 或 y 值。
[A1] 给出完整的两组坐标点。
Inequalities (不等式)
📖 Definition包含不等号的代数式，解集通常是一个范围 (Range of values)。
🔑 Key1. 乘除负数时不等号必须变向！
2. 求解二次不等式 ax^2+bx+c > 0 必须画草图 (Sketch the curve) 找边界。
🎯 Exam focus极少单独考查，通常结合判别式 \Delta < 0 或微积分中的增减函数 \frac{dy}{dx} < 0 综合考查。
🛠️ TechniqueStep 1: 移项使一侧为0。
Step 2: 求出临界值 (Critical values)。
Step 3: 画U型或倒U型抛物线。
Step 4: 读图写出范围（取中间还是取两边）。
CIE 9709/13/O/N/25 Q8(a)
A curve is such that \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 10x - 8. Find the set of values of x for which y decreases as x increases.
函数递减意味着梯度小于0：\frac{dy}{dx} < 0。
列出不等式：3x^2 + 10x - 8 < 0。
因式分解找临界值：(3x - 2)(x + 4) < 0 \rightarrow 临界值为 x = 2/3 和 x = -4。
画出开口向上的抛物线，取小于0的部分（x轴下方），即两根之间：-4 < x < 2/3。
[M1] 知道递减意味着导数小于0。
[M1] 正确因式分解求出临界值。
[A1] 写出正确的不等式范围。
2. Co-ordinate Geometry
Straight Lines (直线解析几何)
📖 Definition研究坐标系中直线的方程、斜率、距离及中点等几何性质。
🔑 Key1. 距离: d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
2. 中点: (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})
3. 垂直斜率: m_1 \times m_2 = -1。
🎯 Exam focus常考 Perpendicular Bisector (垂直平分线) 的方程，或者结合圆的直径 (Diameter) 考查中点和距离。
🛠️ Technique求垂直平分线：Step 1 求两点中点 \rightarrow Step 2 求两点斜率 \rightarrow Step 3 求负倒数得到垂直斜率 \rightarrow Step 4 用点斜式 y-y_1=m(x-x_1) 写方程。
CIE 9709/12/O/N/25 Q7(a)
The coordinates of P and Q are (1, 1) and (7, 11). The line segment PQ forms a diameter of a circle. Find the equation of the circle.
圆心是 PQ 的中点：C = (\frac{1+7}{2}, \frac{1+11}{2}) = (4, 6)。
半径是 PQ 长度的一半，或者算 C 到 P 的距离：r^2 = (4-1)^2 + (6-1)^2 = 9 + 25 = 34。
圆的方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \rightarrow (x-4)^2 + (y-6)^2 = 34。
[M1] 使用中点公式求圆心。
[M1] 使用距离公式求半径或半径的平方。
[A1] 写出正确的圆的方程。
Intersection of Line & Curve (交点问题)
📖 Definition研究直线与曲线在坐标系中的位置关系（相交、相切、相离）。
🔑 Key联立方程后得到 ax^2+bx+c=0。
相切 (Tangent) \rightarrow \Delta = 0
相交 (Intersect) \rightarrow \Delta > 0
不相交 (Do not meet) \rightarrow \Delta < 0。
🎯 Exam focus考官最爱考 'Line is a tangent to the curve'，要求利用 \Delta = 0 求未知常数。
🛠️ TechniqueStep 1 联立方程消去 y。
Step 2 整理成标准的 ax^2+bx+c=0 形式。
Step 3 提取 a,b,c 代入判别式。
Step 4 根据题意解方程或不等式。
CIE 9709/13/O/N/25 Q10(a)
A circle has equation x^2 + y^2 + 4y - 21 = 0 and a line has equation 2x + y - 8 = 0. Find the coordinates of these two points of intersection.
从直线中得出 y = 8 - 2x。
代入圆的方程：x^2 + (8-2x)^2 + 4(8-2x) - 21 = 0。
展开：x^2 + 64 - 32x + 4x^2 + 32 - 8x - 21 = 0。
整理：5x^2 - 40x + 75 = 0 \rightarrow x^2 - 8x + 15 = 0。
分解：(x-3)(x-5) = 0 \rightarrow x=3, x=5。
代回直线求 y：交点为 (3, 2) 和 (5, -2)。
[M1] 正确代入消元。
[M1] 展开并整理为三项二次方程。
[A1] 求出正确的 x 值。
[A1] 给出正确的坐标对。
3. Sequences & Series
Progressions AP & GP (等差与等比数列)
📖 DefinitionAP 是相邻项差值固定 (d) 的数列；GP 是相邻项比值固定 (r) 的数列。
🔑 KeyAP: u_n = a+(n-1)d, S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]
GP: u_n = ar^{n-1}, S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
Sum to infinity: S_\infty = \frac{a}{1-r} (仅当 |r|<1)。
🎯 Exam focusS_\infty 是必考点。常结合方程组考查，或者给出三个连续项要求利用等差/等比中项的性质求解。
🛠️ Technique遇到 'Sum to infinity' 直接写出 \frac{a}{1-r}。遇到 '3rd term is...' 直接翻译为 ar^2 = \dots。仔细审题看清是 AP 还是 GP。
CIE 9709/12/O/N/25 Q3
The 3rd term of a GP is 18 and the sum of the first 3 terms is 26. The common ratio is negative. Find the 10th term.
已知：ar^2 = 18 且 a + ar + ar^2 = 26。
将 ar^2=18 代入第二式：a + ar + 18 = 26 \rightarrow a(1+r) = 8。
利用第一式 a = 18/r^2 代入：\frac{18(1+r)}{r^2} = 8 \rightarrow 8r^2 - 18r - 18 = 0。
解得 r = -0.75 (舍去正根因为 r is negative)。
求出 a = 18 / (-0.75)^2 = 32。
第10项：u_{10} = ar^9 = 32(-0.75)^9 = -2.40。
[M1] 正确列出两个代数方程。
[M1] 消去 a 得到关于 r 的二次方程。
[A1] 求出正确的 r 和 a。
[A1] 正确计算第10项。
CIE 9709/13/O/N/25 Q6
An AP has first term a and common difference 2. The Nth term is 55 and the sum of the first 3N terms is 5760. Find N and a.
Nth term: a + (N-1)2 = 55 \rightarrow a + 2N - 2 = 55 \rightarrow a = 57 - 2N。
Sum of 3N terms: \frac{3N}{2}[2a + (3N-1)2] = 5760。
化简：3N[a + 3N - 1] = 5760 \rightarrow N(a + 3N - 1) = 1920。
将 a 代入：N(57 - 2N + 3N - 1) = 1920 \rightarrow N(N + 56) = 1920。
解二次方程：N^2 + 56N - 1920 = 0 \rightarrow (N-24)(N+80) = 0。
因为 N 必须为正整数，N = 24。代回得 a = 57 - 48 = 9。
[M1] 列出第 N 项的方程。
[M1] 列出前 3N 项求和的方程。
[M1] 联立消去 a 得到关于 N 的二次方程。
[A1] 得出正确的 N 和 a。
Binomial Expansions (二项式展开)
📖 Definition将 (a+b)^n 展开为多项式之和的代数方法。
🔑 Key通项公式: T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r。
组合数 \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}。
🎯 Exam focus极少考完整展开，几乎全考 'Term independent of x' (常数项，即 x^0) 或特定 x^k 的系数。
🛠️ TechniqueStep 1: 写出通项公式。
Step 2: 将所有 x 的指数合并。
Step 3: 令 x 的总指数等于目标指数 (常数项则令其为0) 求出 r。
Step 4: 将 r 代回求系数。
CIE 9709/12/O/N/25 Q2
Find the term independent of x in the expansion of (2x^2 - \frac{3}{x})^6.
写出通项：\binom{6}{r} (2x^2)^{6-r} (-3x^{-1})^r。
提取 x 的指数部分：x^{2(6-r)} \cdot x^{-r} = x^{12-2r-r} = x^{12-3r}。
Independent of x 意味着指数为0：12 - 3r = 0 \rightarrow r = 4。
代回求常数部分：\binom{6}{4} (2)^2 (-3)^4 = 15 \times 4 \times 81 = 4860。
[M1] 写出正确的通项表达式。
[M1] 建立指数方程求出 r=4。
[A1] 计算出正确的常数值 4860（注意负号的偶数次方变正）。
4. Functions
Domain, Range & Basics (定义域、值域与变换)
📖 Definition研究函数的输入范围(Domain)、输出范围(Range)以及图像的平移、缩放和翻转。
🔑 Key1. Domain 是 x 的取值，Range 是 y 的取值。
2. f(x)+a 上下平移，f(x+a) 左右平移 (注意反向)。
3. af(x) 纵向拉伸，f(ax) 横向压缩。
🎯 Exam focus结合二次函数配方求 Range；考查文字描述 Transformation (平移与拉伸的先后顺序)。
🛠️ Technique求 Range 必须先配方找顶点，再结合 Domain 画草图。描述变换时，先说 Stretch 再说 Translation (如果都在同轴上)。
CIE 9709/11/M/J/25 Q10(a)
The graph of y = \sqrt{x} is transformed to the graph of y = 3\sqrt{x+2} - 5. Describe fully a sequence of transformations.
观察变化：x 变成了 x+2，整体乘了 3，最后减了 5。
1. Translation (平移) by vector \binom{-2}{0} (或者说向左平移2个单位)。
2. Stretch (拉伸) in the y-direction with scale factor 3。
3. Translation (平移) by vector \binom{0}{-5} (向下平移5个单位)。
[B1] 识别出向左平移 2。
[B1] 识别出 y 方向拉伸 3 倍。
[B1] 识别出向下平移 5。
[B2] 顺序描述正确无误。
Composite & Inverse Functions (复合与反函数)
📖 Definition复合函数 fg(x) 是将 g(x) 的输出作为 f(x) 的输入；反函数 f^{-1}(x) 则是撤销 f(x) 的操作，图像关于 y=x 对称。
🔑 Key1. fg(x) = f(g(x))，注意执行顺序是从右到左。
2. 只有 One-to-one 函数才有反函数。
3. 求反函数：令 y=f(x) \rightarrow 交换 x, y \rightarrow 解出 y。
🎯 Exam focus必考题型：给定一个二次函数（限制了定义域），要求先配方，再求其反函数，并写出反函数的定义域（即原函数的值域）。
🛠️ Technique求二次函数的反函数时，必须先配方。在开根号时，会得到 \pm，必须根据原函数的定义域（Domain）来决定是取正号还是负号！
CIE 9709/12/M/J/25 Q11
Function f(x) = x^2 + 4x + 2 for x \le -2. Find an expression for f^{-1}(x).
Step 1 配方：f(x) = (x+2)^2 - 2。
Step 2 换元：令 x = (y+2)^2 - 2。
Step 3 求解：(y+2)^2 = x+2 \rightarrow y+2 = \pm\sqrt{x+2}。
Step 4 定号：因为原定义域 x \le -2，意味着反函数的值域 y \le -2，所以必须取负号 \rightarrow y = -2 - \sqrt{x+2}。
[M1] 使用配方后的形式并交换 x, y。
[M1] 正确进行代数变形开根号。
[A1] 准确选择负号并写出最终表达式。
5. Differentiation
Rules & Chain Rule (求导法则)
📖 Definition寻找函数梯度 (Gradient) 的代数表达式 \frac{dy}{dx}。
🔑 Key1. y = ax^n \rightarrow \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}。
2. Chain Rule: y = (ax+b)^n \rightarrow \frac{dy}{dx} = n(ax+b)^{n-1} \cdot a。
🎯 Exam focus考官喜欢把 x 放在分母或根号里，考察学生是否能先将其转化为分数/负数指数再求导。
🛠️ TechniqueStep 1: 预处理方程，消灭根号和分母，写成 x^n 形式。
Step 2: 严格执行 '指数提前，指数减1'。
Step 3: 如果有括号，千万别忘了乘上括号内部的导数 (Chain Rule)。
CIE 9709/13/O/N/25 Q11
A curve has equation y = \frac{8}{3x-8} - \frac{6}{x-1}. Find \frac{dy}{dx}.
预处理：y = 8(3x-8)^{-1} - 6(x-1)^{-1}。
使用 Chain Rule 求导：
第一项：-1 \cdot 8(3x-8)^{-2} \cdot 3 = -24(3x-8)^{-2}。
第二项：-1 \cdot (-6)(x-1)^{-2} \cdot 1 = +6(x-1)^{-2}。
结果：\frac{dy}{dx} = -\frac{24}{(3x-8)^2} + \frac{6}{(x-1)^2}。
[M1] 转化为负指数并尝试求导。
[A1] 正确求导第一项（注意乘以内部导数3）。
[A1] 正确求导第二项。
Tangents & Normals (切线与法线)
📖 Definition切线是刚好碰到曲线的直线，法线是垂直于切线的直线。
🔑 Keym_{tangent} = \frac{dy}{dx} 代入 x 坐标。
m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}}。
直线方程: y - y_1 = m(x - x_1)。
🎯 Exam focus求法线方程是 P1 必考送分题，偶尔会结合求交点增加难度。
🛠️ TechniqueStep 1: 求导 \frac{dy}{dx}。
Step 2: 代入 x 求 m_t。
Step 3: 求负倒数得到 m_n。
Step 4: 代入点斜式方程并整理。
CIE 9709/11/M/J/25 Q2(a)
The equation of a curve is such that \frac{dy}{dx} = 4(2x-5)^3 - 9x^{1/2}. The curve passes through A(4, -11/2). Find the gradient of the normal at A.
题目已经给出了导数表达式，直接代入 x=4 求切线斜率。
m_t = 4(2(4)-5)^3 - 9(4)^{1/2} = 4(3)^3 - 9(2) = 108 - 18 = 90。
法线斜率是切线斜率的负倒数：m_n = -\frac{1}{90}。
[M1] 代入 x=4 计算切线斜率。
[A1] 正确求出法线斜率 -1/90。
Stationary Points (驻点与最值)
📖 Definition曲线梯度为 0 的点（平坦点），分为极大值 (Maximum) 和极小值 (Minimum)。
🔑 Key1. 驻点条件: \frac{dy}{dx} = 0。
2. 判断性质: \frac{d^2y}{dx^2} > 0 \rightarrow Minimum; \frac{d^2y}{dx^2} < 0 \rightarrow Maximum。
🎯 Exam focus完整流程考查：求导 \rightarrow 令其为0解方程 \rightarrow 求二阶导代入判断性质。
🛠️ Technique解 \frac{dy}{dx} = 0 时常涉及解二次方程或分式方程。求二阶导时注意负指数减1容易算错（如 -2-1 = -3）。
CIE 9709/12/O/N/25 Q10
Curve y = \frac{9}{2x-5} + 2x - 5. Find the coordinates of the stationary points and determine their nature.
求导：\frac{dy}{dx} = -9(2x-5)^{-2}(2) + 2 = 2 - \frac{18}{(2x-5)^2}。
令导数为0：2 = \frac{18}{(2x-5)^2} \rightarrow (2x-5)^2 = 9 \rightarrow 2x-5 = \pm 3。
解得 x=4 或 x=1。代回原方程得驻点 (4, 6) 和 (1, -6)。
求二阶导：\frac{d^2y}{dx^2} = 36(2x-5)^{-3}(2) = \frac{72}{(2x-5)^3}。
代入判断：x=4 时二阶导为正 (Min)；x=1 时二阶导为负 (Max)。
[M1] 正确求出一阶导数。
[M1] 令导数为0并解出 x。
[M1] 正确求出二阶导数。
[A1] 准确判断出 Max 和 Min。
Rates of Change (变化率)
📖 Definition研究一个变量随时间 t 的变化速度，通常结合几何公式或曲线方程进行考查。
🔑 Key核心武器：Chain Rule (链式法则)。
公式：\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}。
🎯 Exam focus题目通常会给出一个曲线方程 y=f(x)，并告诉你 x 或 y 随时间的变化率，要求在某个特定点求另一个变量的变化率。
🛠️ TechniqueStep 1: 明确已知条件和目标。
Step 2: 对原方程求导得到 \frac{dy}{dx}。
Step 3: 将特定点的 x 值代入 \frac{dy}{dx} 算出具体数值。
Step 4: 套用链式法则公式求解。
CIE 9709/12/O/N/25 Q4
Curve y = ax^{3/2} - 12x. Point P moves such that its y-coordinate is decreasing at 5 units/s. Find the rate at which x is changing when x = 9.
已知 \frac{dy}{dt} = -5。
求导：\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}ax^{1/2} - 12。
代入 x=9：\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}a(3) - 12 = 4.5a - 12。
链式法则：\frac{dx}{dt} = \frac{dy/dt}{dy/dx} = \frac{-5}{4.5a - 12}。
[M1] 正确求导 \frac{dy}{dx}。
[M1] 代入 x=9 并正确应用链式法则。
[A1] 得到最终含 a 的正确表达式。
6. Integration
Rules & Indefinite/Definite (积分法则)
📖 Definition积分是求导的逆运算，用于已知梯度函数求原曲线方程，或计算面积。
🔑 Key1. \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n \neq -1)。
2. \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C。
3. 不定积分必须加 +C！
🎯 Exam focus已知 \frac{dy}{dx} 和曲线上一点，求曲线方程 y=f(x)。
🛠️ TechniqueStep 1: 预处理指数。
Step 2: 积分，指数加1除以新指数，加上 C。
Step 3: 代入已知点坐标，解出 C。
Step 4: 写出完整方程。
CIE 9709/11/M/J/25 Q2(b)
Given \frac{dy}{dx} = 4(2x-5)^3 - 9x^{1/2} and the curve passes through (4, -11/2). Find the equation of the curve.
积分求 y：y = \int[4(2x-5)^3 - 9x^{1/2}] dx。
第一项使用 Reverse Chain Rule：\frac{4(2x-5)^4}{4 \times 2} = \frac{1}{2}(2x-5)^4。
第二项：\frac{9x^{3/2}}{3/2} = 6x^{3/2}。
得到：y = \frac{1}{2}(2x-5)^4 - 6x^{3/2} + C。
代入点 (4, -11/2)：-5.5 = \frac{1}{2}(3)^4 - 6(4)^{3/2} + C \rightarrow -5.5 = 40.5 - 48 + C \rightarrow C = 2。
最终方程：y = \frac{1}{2}(2x-5)^4 - 6x^{3/2} + 2。
[M1] 尝试对两项进行积分。
[A1] 正确积出第一项。
[A1] 正确积出第二项。
[M1] 代入坐标求 C。
[A1] 写出完整方程。
Area under/between Curves (面积积分)
📖 Definition利用定积分求解曲线与坐标轴围成的面积，或两曲线之间围成的封闭面积。
🔑 Key1. 曲线与 x 轴面积：A = \int_a^b y \,dx。若在 x 轴下方，积分结果为负，面积需取绝对值。
2. 两曲线间面积：A = \int_a^b (y_{top} - y_{bottom}) \,dx。
🎯 Exam focus常考两曲线相交，要求先联立方程求出交点（即积分上下限），然后再进行积分减法。
🛠️ TechniqueStep 1: 联立方程求交点坐标（积分界限）。
Step 2: 确定谁在上方，谁在下方。
Step 3: 写出积分表达式并严格执行积分基本法则。
Step 4: 代入上下限相减，注意符号不要出错。
CIE 9709/11/M/J/25 Q4
Find the area of the region between the curve y = 5x^{3/2} - 20x and the line y = x - 16. The x-coordinates of intersection are 1 and 16.
交点已给：x=1 到 x=16。
Area = \int_1^{16}[(x - 16) - (5x^{3/2} - 20x)] \,dx = \int_1^{16} (21x - 16 - 5x^{3/2}) \,dx。
积分：[\frac{21}{2}x^2 - 16x - 2x^{5/2}]_1^{16}。
代入计算：上限16代入得 2688 - 256 - 2048 = 384；下限1代入得 10.5 - 16 - 2 = -7.5。
结果：384 - (-7.5) = 391.5。
[M1] 建立正确的定积分表达式（两式相减）。
[M1] 正确执行积分操作。
[M1] 正确代入上下限 16 和 1。
[A1] 得到最终正确面积。
Volume of Revolution (旋转体体积)
📖 Definition曲线绕坐标轴旋转 360° 形成的立体图形的体积。
🔑 Key绕 x 轴旋转: V = \pi \int_a^b y^2 dx。
绕 y 轴旋转: V = \pi \int_c^d x^2 dy。
🎯 Exam focus考官常考绕 x 轴旋转。难点在于被积函数 y^2 的展开，特别是当 y 包含两项时 (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2。
🛠️ TechniqueStep 1: 写出公式 V = \pi \int y^2 dx。
Step 2: 将 y 的表达式平方，务必先完全展开。
Step 3: 逐项积分。
Step 4: 代入上下限，答案保留 \pi。
CIE 9709/12/O/N/25 Q9
The region bounded by the curve y = \frac{1}{2}x + \frac{4}{x} and the line y = 4.5 is rotated 360° about the x-axis. Find the exact volume.
先求交点：\frac{1}{2}x + \frac{4}{x} = 4.5 \rightarrow x^2 - 9x + 8 = 0 \rightarrow x=1, x=8。
体积是外层圆柱减去内层旋转体。
V = \pi \int_1^8[(4.5)^2 - (\frac{1}{2}x + \frac{4}{x})^2] dx。
展开曲线的平方：\frac{1}{4}x^2 + 4 + 16x^{-2}。
积分：\pi \int_1^8 (20.25 - \frac{1}{4}x^2 - 4 - 16x^{-2}) dx = \pi[16.25x - \frac{1}{12}x^3 + 16x^{-1}]_1^8。
代入上下限相减即可得到最终精确值。
[M1] 求出交点 1 和 8。
[M1] 正确展开 y^2。
[M1] 设置正确的体积积分式 (直线平方减去曲线平方)。
[A1] 正确执行积分。
[A1] 代入界限得出正确答案。
7. Trigonometry
Trig Graphs & Equations (三角图像与方程)
📖 Definition研究 sin, cos, tan 的周期性图像，并求解在特定区间内的三角方程。
🔑 Key1. 周期: sin/cos 为 360^\circ (2\pi)，tan 为 180^\circ (\pi)。
2. ASTC 法则 (或图像对称性) 用于寻找第二、第三个解。
🎯 Exam focus结合恒等式化简后，求解形如 \sin(2x) = 0.5 的方程，极易漏解。
🛠️ TechniqueStep 1: 化简为单一三角函数。
Step 2: 求出基础角 (Basic angle)。
Step 3: 利用 ASTC 找齐区间内的所有解。
Step 4: 如果括号内是 2x，需找两圈的解再除以 2。
CIE 9709/11/M/J/25 Q1
Solve the equation 6\sin\theta = 1 + \frac{2}{\sin\theta} for -180^\circ < \theta < 180^\circ.
同乘 \sin\theta 转化为二次方程：6\sin^2\theta - \sin\theta - 2 = 0。
因式分解：(3\sin\theta - 2)(2\sin\theta + 1) = 0。
情况1：\sin\theta = 2/3。基础角 = 41.8^\circ。在给定区间内，解为 41.8^\circ 和 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ。
情况2：\sin\theta = -1/2。基础角 = 30^\circ。在给定区间内，解为 -30^\circ 和 -150^\circ。
[M1] 转化为关于 \sin\theta 的二次方程。
[M1] 解二次方程得到两个三角函数值。
[A1] 给出正值对应的两个角度。
[A1] 给出负值对应的两个角度。
Trigonometry Identities (三角恒等式)
📖 Definition利用基本的三角函数关系对复杂的表达式进行化简或证明。
🔑 KeyP1 阶段只有两个核心武器：
1. \tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
2. \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1 (常变形为 \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta)
🎯 Exam focus证明题 (Prove the identity) 必考。通常要求从复杂的一侧推导到简单的一侧，或者将等式全部化为同一种三角函数来解方程。
🛠️ Technique遇到 \tan\theta 毫不犹豫拆成 \frac{\sin}{\cos}。遇到分数加减，立刻通分找公分母。看到平方项，立刻联想平方和为 1 的替换。
CIE 9709/12/O/N/25 Q7
Prove the identity \frac{\tan\theta + 7}{\tan^2\theta - 3} \equiv \frac{\sin\theta\cos\theta + 7\cos^2\theta}{1 - 4\cos^2\theta}.
从 LHS 开始：将所有 tan 替换。
LHS = \frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + 7}{\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - 3}。
上下同乘 \cos^2\theta 以消除分母：
分子变为 \sin\theta\cos\theta + 7\cos^2\theta (与目标 RHS 分子一致！)。
分母变为 \sin^2\theta - 3\cos^2\theta。
将分母的 \sin^2\theta 替换为 1 - \cos^2\theta：
分母 = 1 - \cos^2\theta - 3\cos^2\theta = 1 - 4\cos^2\theta。证明完毕。
[M1] 正确替换 tan 为 sin/cos。
[M1] 成功进行代数通分/化简消除繁分数。
[M1] 使用 \sin^2 + \cos^2 = 1 替换分母。
[A1] 逻辑严密地得出最终 RHS。
Circular Measure (弧度制与扇形)
📖 Definition使用弧度 (Radians) 作为角度单位来计算圆弧长度和扇形面积。
🔑 Key必须在 Radian 模式下！
弧长 s = r\theta
扇形面积 A = \frac{1}{2}r^2\theta
三角形面积 A = \frac{1}{2}ab\sin\theta。
🎯 Exam focus求复杂阴影区域的面积或周长，通常需要结合余弦定理 (Cosine Rule) 或直角三角形三角函数求未知边长或角度。
🛠️ Technique阴影面积通常 = 扇形面积 - 三角形面积。遇到求角度，优先寻找直角三角形，或者使用 Cosine Rule。
CIE 9709/12/O/N/25 Q8
A sector of a circle with radius r has angle \frac{2}{3}\pi. Show that the area of the shaded region (segment) is approximately 0.614r^2.
扇形面积：Area_{sector} = \frac{1}{2}r^2(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\pi}{3}r^2。
三角形面积：Area_{triangle} = \frac{1}{2}(r)(r)\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{1}{2}r^2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2。
弓形(Segment)面积 = 扇形 - 三角形 = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})r^2。
计算括号内的数值：1.0472 - 0.4330 = 0.6142 \approx 0.614。
[M1] 使用正确的公式求扇形面积。
[M1] 使用正确的公式求三角形面积。
[A1] 两者相减并展示出正确的数值近似过程。
8. Vectors
Vector Basics (向量基础)
📖 Definition具有大小 (Magnitude) 和方向 (Direction) 的量。注：最新考纲已将向量移至 P3，但作为经典数学工具仍需了解。
🔑 Key模长 |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}。
单位向量 \mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}。
\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}。
🎯 Exam focus求单位向量，或已知模长反推未知坐标。
🛠️ Technique牢记终点减起点求向量。求单位向量就是把原向量除以它的模长。
Classic Textbook Example
Find the unit vector in the direction of \mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k}.
求模长：|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7。
单位向量：将原向量除以 7，即 \frac{1}{7}(2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k})。
[M1] 正确应用三维勾股定理求模长。
[A1] 写出正确的单位向量形式。
Dot Product & Angle (点乘与夹角)
📖 Definition用于计算两个向量之间夹角的代数工具。
🔑 Key\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2。
\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}。
垂直时 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0。
🎯 Exam focus证明两向量垂直，或求三角形的某个内角。
🛠️ Technique求 \angle ABC 时，必须使用从顶点 B 出发的两个向量 \vec{BA} 和 \vec{BC}，方向弄反会导致角度变成补角！
Classic Textbook Example
Given \mathbf{p} = 2\mathbf{i} + k\mathbf{j} and \mathbf{q} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} are perpendicular, find the value of k.
垂直意味着点乘为 0：\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 0。
计算点乘：(2)(3) + (k)(-2) = 0。
解方程：6 - 2k = 0 \rightarrow k = 3。
[M1] 知道垂直对应点乘为0。
[A1] 正确求出 k 的值。