CIE 数学
CIE P3 Pure Mathematics 3 Concept Map
21 个知识节点 · P3
1. Further Algebra & Binomial
General Binomial Expansion（广义二项式展开）
📖 Definition把 (1+u)^n 展开为幂级数，并精准提取特定次幂项。
🔑 Key核心式：(1+u)^n=1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3+\cdots。
通项：T_{r+1}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}u^r。
当 n\notin\mathbb N 时需检查收敛区间。
🎯 Exam focusCIE 喜欢“展开到 x^2/x^3”+“读系数/常数项”双层考查，核心不是机械展开，而是精准控制阶次。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把原式标准化到 (1+u)^n。
Step 2 \rightarrow 仅写到题目目标阶，避免无效展开。
Step 3 \rightarrow 统一幂次并提取目标项。
CIE 9709/32/M/J/25 Q2(a)
Expand (6-x)(1-2x)^{-\frac{3}{2}} up to and including x^2.
先展开 (1-2x)^{-\frac32} \rightarrow 取到 x^2 \rightarrow 乘 (6-x) \rightarrow 合并同类项得 6+17x+42x^2。
[B1] 前两项正确。
[B1] 第三项正确。
[M1] 乘法与截断正确。
[A1] 最终展开正确。
CIE 9709/33/M/J/25 Q7(b)
Hence obtain the expansion of f(x) in ascending powers of x, up to x^2.
调用(a)的 PF 结果 \rightarrow 每项写成 (1+u)^{-1} \rightarrow 展开并合并到 x^2。
[M1] 正确从PF过渡到级数。
[A1] 单项展开正确。
[A1] 合并与最终式正确。
Validity Range & Approximation（有效区间与近似）
📖 DefinitionBinomial 近似的可信度由 |u|<1 约束决定。
🔑 Key若展开 (1+u)^n，必须先解 |u|<1。
保留到 u^k 时，误差量级通常由下一项主导。
🎯 Exam focusCIE 常把“展开”与“valid range”绑在同题，若区间错，后续近似即使算对也会失分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别内部变量 u。
Step 2 \rightarrow 解 |u|<1 并写严格不等式。
Step 3 \rightarrow 在该区间内再做近似。
CIE 9709/32/M/J/25 Q2(b)
State the set of values of x for which the expansion is valid.
由 (1-2x)^{-\frac32} 得 u=-2x \rightarrow |u|<1 \rightarrow -\frac12<x<\frac12。
[B1] 正确且严格的不等式区间。
CIE 9709/33/M/J/25 Q7(c)
State the set of values of x for which the expansion in part (b) is valid.
分别对每个展开因子写约束 \rightarrow 取交集 \rightarrow 给最终 valid interval。
[B1] 交集区间完整且正确。
Algebraic Manipulation（高阶代数变形）
📖 Definition通过标准化、因式化和同次化，把复杂表达式转成可求解结构。
🔑 Key典型操作：提公因式、化同分母、对齐幂次、系数比较。
核心目标是为后续 PF / Integration / Binomial 铺路。
🎯 Exam focus考官喜欢“方法串联题”，若第一步代数结构没整理对，后续全部连锁失分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 判断目标形态（多项式/PF/指数对数）。
Step 2 \rightarrow 先做最低成本的标准化。
Step 3 \rightarrow 再进入主方法。
CIE 9709/31/O/N/25 Q2
Given \log_4(3x-1)^2=\log_4(2x+1)+\log_4 4^2, find x.
用 log law 合并 \rightarrow 去对数得二次方程 \rightarrow 解并取定义域允许根。
[B1] 正确log转换。
[M1] 去log形成代数方程。
[A1] 方程与有效根正确。
CIE 9709/35/M/J/25 Q1
Solve 3^{4-2x}=5\times6^{x-1}, giving x correct to 3 s.f.
两边取 \ln \rightarrow 用 power law 展开 (4-2x)\ln3 与 (x-1)\ln6 \rightarrow 线性方程解 x。
[M1] 使用product/quotient log law。
[M1] 两次正确使用power law。
[A1] 形成正确线性方程。
[A1] 得正确3sf答案。
2. Partial Fractions
Decomposition by Factor Type（按因式类型拆分）
📖 Definition根据分母因式类型写完整部分分式模板并确定未知系数。
🔑 Key线性因式 \rightarrow \frac{A}{x-a}。
重复线性因式 \rightarrow \frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}。
不可约二次 \rightarrow \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}。
🎯 Exam focusCIE 判分点首先看“模板是否完整”，模板漏项通常导致整问上限被锁死。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判真分式，否则先长除。
Step 2 \rightarrow 因式分解并写全模板。
Step 3 \rightarrow 代值+比系数求参。
CIE 9709/33/M/J/25 Q7(a)
Express f(x) in partial fractions.
分母因式分解 \rightarrow 搭建 PF 模板 \rightarrow 清分母成恒等式 \rightarrow 代特殊值/比系数解常数。
[M1] PF模板正确。
[A1] 至少一系数正确。
[A1] 完整分解正确。
CIE 9709/33/O/N/25 Q2
Find quotient and remainder when 3x^4-2x^2 is divided by x+1.
长除（或比较系数）\rightarrow 得商多项式 \rightarrow 由余式定理核验余数。
[M1] 正确启动多项式除法。
[A1] 商正确。
[A1] 余数正确。
Coefficient Methods（待定系数与代值法）
📖 Definition在恒等式框架下，用代根法和系数比较法高效求系数。
🔑 Key代值法先拿“可秒杀”系数；比较法补齐剩余参数。
二者联用通常最快最稳。
🎯 Exam focusCIE 很重视运算组织能力：不是“会不会”，而是“能否高效且少错”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先同乘分母。
Step 2 \rightarrow 先代因式根取系数。
Step 3 \rightarrow 再比较同次幂补全。
CIE 9709/31/M/J/25 Q5
Use remainder information at x=-2a and x=3a to find constants.
把 remainder theorem 写成两条方程 \rightarrow 代指定点 \rightarrow 联立求 p,q。
[M1] 正确应用余式定理。
[M1] 形成联立方程。
[A1] 常数正确。
CIE 9709/31/F/M/25 Q5
Given remainders on division by (x+2a) and (x-3a), find unknown coefficients.
代 x=-2a,3a 入多项式 \rightarrow 各自等于给定余数 \rightarrow 两式联立解未知系数。
[M1] 由余式定理建立方程。
[DM1] 依赖前式联立消元。
[A1] 系数数值正确。
PF with Binomial Series（PF 联动 Binomial）
📖 Definition先拆分分式，再对各项做级数展开，最后合并系数。
🔑 Key桥接公式：\frac{1}{a\pm x}=\frac1a\cdot\frac1{1\pm x/a}。
🎯 Exam focus典型“hence”结构题，考查你是否把上一问结果转化为下一问工具。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从 PF 结果出发。
Step 2 \rightarrow 改写成 (1+u)^{-1}。
Step 3 \rightarrow 展开并统一幂次。
CIE 9709/33/M/J/25 Q7(a)(b)
Use partial fractions in (a) to expand up to x^2.
PF \rightarrow 标准化 \rightarrow 分项展开 \rightarrow 合并到目标阶。
[M1] 正确桥接到展开。
[A1] 系数与最终式正确。
CIE 9709/32/M/J/25 Q2(a)
Expand (6-x)(1-2x)^{-3/2} up to x^2, showing key terms.
先对 (1-2x)^{-3/2} 展开 \rightarrow 与 (6-x) 相乘 \rightarrow 截断并合并。
[B1] 前两项正确。
[B1] 第三项正确。
[M1] 乘法结构正确。
[A1] 最终多项式正确。
3. Further Integration
Integration by Substitution（换元积分）
📖 Definition通过 u=g(x) 把复合函数积分降阶。
🔑 Key触发信号：被积函数含“内函数及其导数因子”。
定积分可直接换上、下限避免回代。
🎯 Exam focusCIE 常把 substitution 嵌在 trig 或指数结构里，重点是识别内核而非蛮算。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别内函数设 u。
Step 2 \rightarrow 用 du 完成替换。
Step 3 \rightarrow 在 u 体系积分并回代。
CIE 9709/32/M/J/25 Q8
Solve DE requiring integrals in \theta and x, including \int \frac{1}{4+3x}dx.
先分离变量 \rightarrow 右侧 substitution 得 \frac14\ln(4+3x) \rightarrow 合并常数后回到原变量。
[B1] 分离正确。
[B1] substitution 积分项正确。
[A1] 合并表达正确。
CIE 9709/35/M/J/25 Q7
Use substitution within a composite integral to obtain exact value.
识别内层函数 u=g(x) \rightarrow 完成 du 替换 \rightarrow 在 u-域积分并回代。
[M1] 设 u 合理。
[DM1] 依赖替换后的正确积分。
[A1] exact结果正确。
Integration by Parts（分部积分）
📖 Definition将乘积积分重构为更易处理的积分差。
🔑 Key公式：\int u\,dv=uv-\int v\,du。
常见对象：x\ln x、x\cos(ax)、x\tan^{-1}x。
🎯 Exam focus考官关注“公式落地能力”：中间式对不对、定限代入是否干净。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选 u,dv。
Step 2 \rightarrow 套公式并化简剩余积分。
Step 3 \rightarrow 代上下限，严格处理符号。
CIE 9709/31/O/N/25 Q1
Evaluate \int_1^2 \ln(3x)\,dx.
分部积分 \rightarrow x\ln(3x)-x \rightarrow 代限 \rightarrow -1+\ln12。
[M1] 正确分部积分。
[A1] 中间积分式正确。
[M1] 代限正确。
[A1] 最终值正确。
CIE 9709/33/O/N/25 Q6
Integrate the given expression containing x\cos(2x) over fixed limits.
先分部积分一次 \rightarrow 余项继续积分 \rightarrow 代限并化简成 exact value。
[M1] 起步正确。
[A1] 中间式正确。
[M1] 定积分代限正确。
[A1] 最终精确值正确。
Standard Forms (exp, ln, trig)（标准积分模板）
📖 Definition识别并调用 \ln、\tan^{-1}、三角与指数的标准原函数。
🔑 Key\int\frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x, \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|, \int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}。
🎯 Exam focusCIE 常用“伪装结构”测试模板识别能力，真正失分多在前置整理。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把被积式整理成模板。
Step 2 \rightarrow 加上反链式系数。
Step 3 \rightarrow 统一常数与定义域写法。
CIE 9709/32/O/N/25 Q4
Find the exact value of \int_0^1 \tan^{-1}x\,dx.
分部积分 \rightarrow 余项变 \int\frac{x}{1+x^2}dx \rightarrow 用 \ln(1+x^2) 模板 \rightarrow 代限。
[M1] 正确建立方程。
[A1] 模板积分正确。
[A1] exact结果正确。
CIE 9709/35/M/J/25 Q4
Differentiate y=3x^4\ln x and find stationary point coordinates.
先求导 \rightarrow 令 \frac{dy}{dx}=0 得 x=e^{-1/3} \rightarrow 代回原式得 y。
[M1] 正确使用product rule。
[A1] 导函数正确。
[DM1] 依赖前式解 x。
[A1] x,y 坐标正确。
Integration using PF（PF 在积分中的应用）
📖 Definition先将有理函数做 PF 分解，再逐项积分得到 \ln/代数项。
🔑 Key路线：真分式 \rightarrow PF \rightarrow 分项积分。
含线性分母时常出现 \ln|ax+b|。
🎯 Exam focus综合题常以“先代数再积分”的方式命题，步骤断裂会丢方法分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 判真分式并分解。
Step 2 \rightarrow 每项按模板积分。
Step 3 \rightarrow 合并常数并检验。
CIE 9709/31/O/N/25 Q1 (method style)
Integrals reduced to logarithmic terms after algebraic decomposition.
先化结构 \rightarrow 拆项 \rightarrow 得 \ln-型原函数并代限。
[M1] 结构化拆分正确。
[A1] 积分表达与结果正确。
CIE 9709/35/O/N/25 Q6
Use algebraic decomposition before integrating a rational expression.
先长除/拆分 \rightarrow 分项积分 \rightarrow 合并 \ln 项与常数。
[M1] 正确拆分结构。
[DM1] 依赖拆分完成积分。
[A1] 结果形式正确。
4. Differential Equations
Forming DE from Rates（由变化率建模）
📖 Definition把文字型 rate relation 精确转写为微分方程。
🔑 Key“proportional to” \rightarrow 导数与量成比例；常见 \frac{dy}{dx}=k\cdot f(x,y)。
🎯 Exam focusCIE 评估的是“语言转数学”的准确性，尤其系数与符号。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 定义变量和常数含义。
Step 2 \rightarrow 按句意写导数关系。
Step 3 \rightarrow 整理到可分离或线性型。
CIE 9709/31/O/N/25 Q8
The variables x,y satisfy a given DE with constants and two conditions.
先识别方程类型 \rightarrow 整理为可分离形式 \rightarrow 再配合两条件求参数。
[B1] 方程重排正确。
[M1] 模型求解路径正确。
CIE 9709/35/O/N/25 Q3
Given y=Ae^{bx}, show \ln y against x is linear and find A,b.
对数化 \ln y=\ln A+bx \rightarrow 与 Y=mX+c 对比 \rightarrow 代两点解参数。
[M1] 正确取对数并线性化。
[A1] 直线结论正确。
[M1] 联立求参。
[A1] A,b 数值正确。
Separation of Variables（分离变量法）
📖 Definition把 x 与 y 分居两侧后积分，得到通解。
🔑 Key标准格式：\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx。
积分后注意常数整合与等价表达。
🎯 Exam focusCIE 常卡点：分离正确但积分符号、常数处理不严谨导致精确分丢失。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 完成变量分离。
Step 2 \rightarrow 两侧积分。
Step 3 \rightarrow 化成可用于代初值的形式。
CIE 9709/31/O/N/25 Q8
Solve the DE and find y when x=3.
分离 \rightarrow 积分 \rightarrow 两组条件定 c,k \rightarrow 代 x=3 求 exact y。
[B1] 分离正确。
[B1] 积分项正确。
[M1] 初值使用正确。
[A1] 最终值正确。
CIE 9709/32/M/J/25 Q8
Separate variables and solve to obtain \theta as a function of x.
变量分离 \rightarrow 分别积分 \rightarrow 用给定条件求常数 \rightarrow 化简到显式关系。
[B1] 正确分离。
[M1] 两侧积分正确。
[DM1] 依赖积分表达代入条件。
[A1] 最终关系正确。
Initial Conditions & Particular Solutions（初值与特解）
📖 Definition把初值代入通解固定积分常数，得到唯一物理解。
🔑 Key两组条件常用于定两个参数（如 c,k）。
🎯 Exam focus考官喜欢“分离变量+参数拟合+预测值”三连问。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先有通解。
Step 2 \rightarrow 代初值解常数。
Step 3 \rightarrow 写特解并计算目标量。
CIE 9709/31/O/N/25 Q8
Use y=0 at x=0, y=-\frac12 at x=1 to complete solution.
先代第一组条件求 c \rightarrow 再代第二组求 k \rightarrow 回到特解做预测。
[M1] 首组初值代入。
[M1] 次组初值代入。
[A1] 参数与特解正确。
CIE 9709/35/O/N/25 Q3(b)
From two (x,\ln y) data points, determine constants in y=Ae^{bx}.
线性模型中取斜率求 b \rightarrow 再用截距/代回求 A。
[M1] 正确建立两方程。
[DM1] 依赖前式消元。
[A1] 两常数正确。
5. Vectors in 3D Geometry
Vector Equation of a Line（直线向量方程）
📖 Definition空间直线写为 \mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf d。
🔑 Key\mathbf a 是线上定点，\mathbf d 是方向向量。
两点给线时 \mathbf d=\overrightarrow{AB}。
🎯 Exam focusCIE 基础高频，后续角度/距离题都依赖这一步。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 取定点 \mathbf a。
Step 2 \rightarrow 求方向 \mathbf d。
Step 3 \rightarrow 写参数式。
CIE 9709/32/M/J/25 Q9(a)
Find a vector equation of the line through A and B.
用 \overrightarrow{AB} 作方向 \rightarrow 代入点向式 \rightarrow 写出 \mathbf r 形式。
[M1] 方法正确。
[A1] 最终方程正确。
CIE 9709/31/M/J/25 Q10(a)
Form a line equation using two 3D points then use it for follow-up geometry.
先写 \mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf d \rightarrow 校验点代入 \rightarrow 进入后续角度/交点题。
[M1] 方向向量正确。
[A1] 参数式正确并可用于后续。
Vector Equation of a Plane（平面向量方程）
📖 Definition平面可由一点与两个非平行方向向量确定。
🔑 Key参数式：\mathbf r=\mathbf a+s\mathbf u+t\mathbf v。
法向量式：\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf a)=0。
🎯 Exam focus常与 line-plane intersection、distance to plane 联动。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 抽平面内两方向向量。
Step 2 \rightarrow 可用叉积取法向量。
Step 3 \rightarrow 写参数式或点法式。
CIE 9709/32/M/J/25 Q9 (vector framework)
Use vector setup to derive geometric quantities in triangle/3D context.
先建立线与点向量关系 \rightarrow 再通过点积/面积公式完成后续求值。
[M1] 向量建模正确。
[A1] 后续表达匹配题意。
CIE 9709/35/M/J/25 Q10
Determine plane relation and line intersection using vector forms.
构造平面法向量 \rightarrow 写点法式 \rightarrow 线方程代入求参数交点。
[M1] 法向量/平面式建立正确。
[DM1] 依赖前式做代入求交。
[A1] 交点结果正确。
Intersections（空间交会）
📖 Definition通过参数联立或方程组求 line-line / line-plane 交点。
🔑 Key联立后要做一致性判定：相交、平行、重合或 skew。
🎯 Exam focus考官重视“方程建立+几何结论”双完整输出。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写各对象参数式。
Step 2 \rightarrow 联立解参数。
Step 3 \rightarrow 给点/线并说明关系。
CIE 9709/31/O/N/25 Q7
Given parametric equations, obtain simplified \frac{dy}{dx} in terms of t.
先求 \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \rightarrow 取比值得 \frac{dy}{dx} \rightarrow 代数化简。
[B1] \frac{dx}{dt} 正确。
[M1] \frac{dy}{dt} 处理正确。
[A1] 最终 \frac{dy}{dx} 正确。
CIE 9709/32/F/M/25 Q9
Find intersection relation between vector objects and conclude geometry.
参数联立 \rightarrow 解出共同参数 \rightarrow 判断相交并写交点坐标。
[M1] 联立参数正确。
[DM1] 依赖联立结果判关系。
[A1] 交点/结论正确。
Angles & Perpendicular Distances（夹角与垂距）
📖 Definition借助 dot/cross product 统一处理角度与距离。
🔑 Key\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}。
三角形面积：\frac12|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta。
🎯 Exam focusCIE 高频“先求 \cos\theta 再求面积/距离”的链式题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 构造正确向量。
Step 2 \rightarrow 点积算 \cos\theta。
Step 3 \rightarrow 由 \sin^2\theta=1-\cos^2\theta 进阶求量。
CIE 9709/32/M/J/25 Q9(b)
Find \cos\angle BAC.
求 \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \rightarrow 点积与模长 \rightarrow 得 \frac{35}{59}。
[B1] 方向向量正确。
[M1] 点积与分母处理正确。
[A1] \cos\angle BAC 正确。
CIE 9709/32/M/J/25 Q9(c)
Hence find the area of triangle ABC.
用 \frac12|AB||AC|\sin\angle BAC \rightarrow 由(b)求 \sin\theta \rightarrow 代入得 exact area。
[M1] 面积公式正确。
[M1] \sin\theta 推导正确。
[A1] 面积正确。
6. Complex Numbers
Cartesian Form Operations（直角坐标形式运算）
📖 Definition在 z=x+iy 框架下进行方程求解、共轭与有理化。
🔑 Keyi^2=-1、\bar z=x-iy、分母有理化用共轭。
🎯 Exam focus核心失分点在复数代数细节：符号、i^2、分母处理。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 统一到 x+iy 形式。
Step 2 \rightarrow 用 i^2=-1 化简。
Step 3 \rightarrow 有理化并写最终实虚部。
CIE 9709/31/O/N/25 Q6
Solve (2+i)w^2+4w+(2-4i)=0 in x+iy form.
二次公式 \rightarrow 复判别式化简 \rightarrow 共轭有理化 \rightarrow 两根写 x+iy。
[M1] 二次公式正确。
[M1] i^2 处理正确。
[A1] 最终两根正确。
CIE 9709/32/M/J/25 Q5
Find square roots of -1-4\sqrt5,i in exact Cartesian form.
设 x+iy 并平方 \rightarrow 实虚部分离 \rightarrow 消元求 x,y \rightarrow 写两根。
[M1] 设元并展开。
[A1] 联立方程正确。
[A1] 最终根正确。
Argand Diagram & Loci（阿根图与轨迹）
📖 Definition把复数不等式转为平面区域，并在区域上求几何量极值。
🔑 Key|z-a|\le r 是闭圆域，\mathrm{Re}(z)\ge k 是半平面。
极值 \arg z 常在边界点取得。
🎯 Exam focusCIE 常考“画区域 + 读交点 + 极值arg”，几何直觉与代数并重。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 条件逐条翻译成几何对象。
Step 2 \rightarrow 求交并确认可行区域。
Step 3 \rightarrow 在边界点求最大/最小 \arg。
CIE 9709/32/O/N/25 Q3
From a shaded region bounded by a line and a circle, find point P and greatest \arg z.
线圆联立求 P \rightarrow 取上边界对应射线 \rightarrow 反三角得到最大辐角。
[M1] 联立方法正确。
[A1] 点 P 正确。
[A1] 最大arg正确。
CIE 9709/31/O/N/25 Q5
Find inequalities defining the shaded region and the least value of \arg z.
识别竖直线与圆 \rightarrow 写 \mathrm{Re}(z) 与 |z-a| 不等式 \rightarrow 最低边界点求最小arg。
[B1] \mathrm{Re}(z) 条件正确。
[M1] 模条件正确。
[A1] 极值arg正确。
Modulus-Argument Form（模辐角形式）
📖 Definition将复数写作 z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}，简化乘除与旋转。
🔑 Key乘法：模相乘、辐角相加。
除法：模相除、辐角相减。
共轭：辐角变号。
🎯 Exam focusCIE 常在极形式与几何变换间来回切换，要求对 \arg 范围敏感。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 算 r=|z|。
Step 2 \rightarrow 结合象限定 \theta。
Step 3 \rightarrow 按运算规则处理并回写主辐角。
CIE 9709/31/M/J/25 Q6
Given z_1=3e^{i\pi/4}, z_2=6e^{i2\pi/3}, and \omega=2e^{i\pi/2}, state conjugates and geometric effects of multiplying by \omega.
先写共轭 \rightarrow 识别 |\omega|=2 与 \arg\omega=\frac\pi2 \rightarrow 得“放大2倍+逆时针旋转 \frac\pi2”。
[B1] 共轭形式正确。
[B1] 几何变换描述完整。
CIE 9709/35/M/J/25 Q3(a)(b)
Find modulus and argument, then describe combined transformation on Argand plane.
先算 r=|z|、\theta=\arg z \rightarrow 解释乘法对应的缩放+旋转。
[B1] 模正确。
[B1] 辐角正确。
[A1] 几何变换描述完整正确。
De Moivre & Complex Equations（棣莫弗与复方程）
📖 Definition利用 De Moivre 处理复数幂、开方与 z^n=w 全根问题。
🔑 Key(r\,\mathrm{cis}\,\theta)^n=r^n\mathrm{cis}(n\theta)。
n 次根：z_k=\sqrt[n]{R}\,\mathrm{cis}\,\frac{\phi+2k\pi}{n}。
🎯 Exam focusCIE 看重“全体根”与“Argand 等角分布”两个维度。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把右端写极形式。
Step 2 \rightarrow 套根公式列 k=0 到 n-1。
Step 3 \rightarrow 按题需转回 x+iy。
CIE 9709/31/O/N/25 Q6 (quadratic in complex form)
Solve a complex quadratic and present roots in x+iy form.
先代数解根 \rightarrow 若含辐角结构则可转极形式校验 \rightarrow 输出两根且去重。
[M1] 正确求根流程。
[A1] 根的形式与数值正确。
CIE 9709/35/O/N/25 Q5
From z=x+iy and z^*, solve coupled equations for exact complex roots.
代入并展开 \rightarrow 比较实虚部 \rightarrow 联立方程求 x,y \rightarrow 写两个复根。
[M1] 正确代入与展开。
[DM1] 依赖前式比较实虚部。
[A1] 两个复数解正确。