CIE 数学
CIE S1 Probability & Statistics 1 Concept Map
17 个知识节点 · S1
1. Data Handling
Cumulative Frequency Graph（累计频数曲线）
📖 Definition用 grouped data 的 class upper boundary 与 cumulative frequency 构建单调递增曲线以估计分位点。
🔑 Key横轴用 class boundaries，纵轴用 cumulative frequency。
估计 p-th percentile：先算 p\times n，再从纵轴读横轴。
图像必须 smooth curve，不是 broken line。
🎯 Exam focusCIE 高频点：坐标轴标注、关键点定位、curve 形状、按指定 CF 反查中位数/百分位。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先算 cumulative frequencies。
Step 2 \rightarrow 用上边界作 x 坐标。
Step 3 \rightarrow 平滑连线并补起点。
Step 4 \rightarrow 按 p\times n 作水平线读值。
CIE 9709/52/F/M/25 Q3(a)(b)
Draw a cumulative frequency graph and use it to estimate the value corresponding to 62%.
先累计频数 \rightarrow 以上边界作点 \rightarrow smooth curve \rightarrow 计算 0.62\times 250=155 \rightarrow 从 CF=155 横读得估计值。
[B1] 累计频数核心值正确。
[B1] 坐标轴尺度与标签正确。
[M1] 关键点正确绘制并连成曲线。
[A1] 百分位读数正确（FT 合理）。
CIE 9709/52/M/J/25 Q5(a)(b)
Draw the cumulative frequency graph and find the value of k from the graph.
绘制 CF curve \rightarrow 在 CF 轴定位目标值（如 180）\rightarrow 作水平线到曲线 \rightarrow 垂直下读 k。
[B1] 图像点位与轴范围合理。
[B1] 曲线形态正确（非线段）。
[M1] 正确用图读值方法。
[A1] k 读值在允许区间。
Grouped Mean & Variance（组距数据均值与方差）
📖 Definition用 class midpoint 近似每组数据，估计 grouped mean 与 variance。
🔑 Key均值：\bar x=\frac{\sum fm}{\sum f}。
方差：s^2=\frac{\sum fm^2}{\sum f}-\bar x^2。
其中 m 是 midpoint。
🎯 Exam focus考官重点看 midpoint 是否正确、公式结构是否完整、是否把 frequency 用对。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求每组 midpoint。
Step 2 \rightarrow 列 fm、fm^2 表。
Step 3 \rightarrow 代入均值与方差公式。
Step 4 \rightarrow 保留精度并写单位。
CIE 9709/52/F/M/25 Q3(c)
Using grouped data, estimate the mean value.
求 midpoints \rightarrow 算 \sum fm \rightarrow 除以总频数 \sum f 得均值。
[B1] midpoints 正确。
[M1] 正确构造 \sum fm 表达。
[A1] 最终 mean 数值正确。
CIE 9709/52/M/J/25 Q5(c)
Use grouped data to find mean (and related spread measure).
先列 fm 与 fm^2 \rightarrow 用 \bar x 和 s^2 公式 \rightarrow 化简并给出近似值。
[B1] midpoints / frequencies 处理正确。
[M1] 方差结构公式正确。
[DM1] 依赖 mean 的后续计算正确。
[A1] 数值答案正确。
2. Counting Techniques
Permutations & Arrangements（排列与顺序安排）
📖 Definition当顺序 matters 时，使用 permutations 计数：全排列、部分排列与限制排列。
🔑 Key全排列：n!。
选 r 个并排序：{}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}。
含限制条件时，用分步乘法或补集计数。
🎯 Exam focusCIE 常考“固定某元素位置”“相邻/不相邻”“首位不能为 0”的排列限制。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判断是否 order-sensitive。
Step 2 \rightarrow 先做 unrestricted counting。
Step 3 \rightarrow 扣除 forbidden cases 或直接分 cases。
CIE 9709/51/M/J/25 Q1(a)
Find the number of arrangements of 6 letters selected from 9 distinct letters.
顺序相关 \rightarrow 用 {}^9P_6 \rightarrow 代公式计算。
[M1] 使用 permutation 结构 {}^nP_r。
[A1] 数值正确。
CIE 9709/53/O/N/25 Q1(a)
How many 5-digit numbers can be formed with no repetition and first digit non-zero?
先定首位可选数 \rightarrow 剩余位做排列 \rightarrow 乘法原理合并。
[M1] 首位限制处理正确。
[DM1] 依赖首位后的排列计数正确。
[A1] 总数正确。
Combinations & Selection（组合与无序选取）
📖 Definition当顺序不重要时，用 combinations：\binom{n}{r} 及其约束变形。
🔑 Key\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}。
至少/至多类题常用分 case 或补集。
混合组队题需先拆组别再相乘。
🎯 Exam focusCIE 高发是“至少一名女生/至少两名某类”与“committee 约束”题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 判断 order-insensitive。
Step 2 \rightarrow 按约束分 case。
Step 3 \rightarrow 每 case 用 \binom{n}{r} 并求和。
CIE 9709/51/M/J/25 Q1(b)
A committee of 4 is chosen from 7 men and 5 women. Find the number with at least 2 women.
按 women 数量分 2,3,4 案例 \rightarrow 每项 \binom{5}{w}\binom{7}{4-w} \rightarrow 求和。
[M1] 至少一个正确 case 表达式。
[M1] 多 case 求和结构正确。
[A1] 最终总数正确。
CIE 9709/55/M/J/25 Q1
Select 3 objects from 10 where two particular objects cannot both be chosen.
先算总数 \binom{10}{3} \rightarrow 减去同时选两特定对象的情况 \binom{8}{1}。
[M1] 使用补集计数。
[A1] forbidden cases 计数正确。
[A1] 最终答案正确。
3. Probability Structures
Set Probability & Venn（集合概率与韦恩图）
📖 Definition用集合运算描述事件关系，核心是并、交、补与互斥结构。
🔑 KeyP(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)。
补集：P(A')=1-P(A)。
互斥 \Rightarrow P(A\cap B)=0。
🎯 Exam focusCIE 常考由文字信息回填 Venn 区域并反推某一概率或人数。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先画 Venn 并标 unknowns。
Step 2 \rightarrow 用总和与交并关系列方程。
Step 3 \rightarrow 求目标事件概率。
CIE 9709/51/O/N/25 Q2(a)
Given probabilities for A, B and A\cap B, find P(A\cup B) and P(A'\cap B).
先用并集公式 \rightarrow 再由区域拆分得 A'\cap B。
[B1] 并集公式正确写出。
[M1] 正确代入已知概率。
[A1] 两个目标概率正确。
CIE 9709/53/M/J/25 Q2(a)
Use a Venn diagram to find the probability that exactly one of events A,B occurs.
exactly one = (A\cap B')\cup(A'\cap B) \rightarrow 两区域相加。
[M1] exactly-one 事件表达正确。
[A1] 概率值正确。
Conditional Probability & Bayes（条件概率与贝叶斯）
📖 Definition在已知事件发生条件下重算概率，核心是 P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}。
🔑 Key条件概率：P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}。
联合概率用 tree / sequential multiplication。
Bayes 核心是“重标化 denominator”。
🎯 Exam focusCIE 常考“given that ...”语句题，分母写错是最大失分点。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写目标 P(A\mid B)。
Step 2 \rightarrow 单独算 P(A\cap B)。
Step 3 \rightarrow 分解并求 P(B)。
Step 4 \rightarrow 做分式并化简。
CIE 9709/52/M/J/25 Q3(b)
Find the probability that the first marble is blue given that the second marble is red.
写 P(B_1\mid R_2) \rightarrow 分子 P(B_1\cap R_2) \rightarrow 分母 P(R_2) 用全概率拆开 \rightarrow 相除。
[M1] 正确写条件概率结构。
[M1] 分子联合概率正确。
[M1] 分母全概率正确。
[A1] 最终条件概率正确。
CIE 9709/52/F/M/25 Q4(b)
Find the conditional probability for the colour pattern in two-stage sampling.
先写条件分式 \rightarrow 用 sequential probabilities 算分子和分母 \rightarrow 代入并约分。
[M1] 条件概率框架正确。
[DM1] 依赖前序路径概率求和。
[A1] 数值正确并符合范围。
4. Discrete Random Variables
Distribution Tables（离散分布表）
📖 Definition列出 random variable 的全部可能取值并逐项对应概率。
🔑 Key分布表需满足：所有概率 \ge 0，且 \sum p_i=1。
取值与概率必须一一匹配。
常见于“number of successes/tails/heads”。
🎯 Exam focusCIE 会给 B marks 给“结构完整+配对正确”，不是只看最终一个数字。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确随机变量定义。
Step 2 \rightarrow 枚举全部取值。
Step 3 \rightarrow 算每个取值概率。
Step 4 \rightarrow 检查概率和。
CIE 9709/52/F/M/25 Q1(b)
Three biased coins are thrown. Draw up the probability distribution table for X, number of heads.
列 X=0,1,2,3 \rightarrow 每个值按组合路径求和 \rightarrow 填表并验和。
[B1] 至少一项概率与取值匹配正确。
[B1] 三项匹配正确。
[A1] 全部分布值正确。
CIE 9709/52/O/N/25 Q2(a)
Form the probability distribution table for X, number of draws until first green.
列 X 的合法整数值 \rightarrow 路径乘法算概率 \rightarrow 建表。
[B1] 合法 X 值完整。
[M1] 路径概率方法正确。
[A1] 分布表数值正确。
Expectation & Variance（期望与方差）
📖 Definition用分布表求 E(X) 与 Var(X) 量化位置与离散程度。
🔑 KeyE(X)=\sum xp(x)。
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。
也可直接用 \sum (x-\mu)^2p(x)。
🎯 Exam focusCIE 常分步给分：先 E(X) 的方法分，再 variance 的结构分和精确分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从表算 E(X)。
Step 2 \rightarrow 算 E(X^2)。
Step 3 \rightarrow 代 Var(X)=E(X^2)-\mu^2。
CIE 9709/52/F/M/25 Q1(c)
Given E(X)=\frac{47}{60}, find Var(X).
先算 E(X^2) \rightarrow 代 Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \rightarrow 化简分数/小数。
[M1] 正确 variance 结构式。
[DM1] 依赖给定 E(X) 代入。
[A1] 方差最终值正确。
CIE 9709/52/O/N/25 Q2(b)
Using the distribution from part (a), find Var(X).
由分布表得 E(X) \rightarrow 算 E(X^2) \rightarrow 代标准公式得方差。
[M1] 正确求 E(X)。
[M1] 正确求 E(X^2) 并代公式。
[A1] Var(X) 正确。
5. Binomial Distribution
Binomial Model（二项分布模型）
📖 Definition当试验独立且成功概率恒定时，成功次数服从 X\sim B(n,p)。
🔑 KeyP(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}。
E(X)=np, Var(X)=np(1-p)。
分段概率常用补集提速。
🎯 Exam focusCIE 高频是“少于/多于/至少”语言转换与补集写法。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 n,p。
Step 2 \rightarrow 单点概率用 PMF。
Step 3 \rightarrow 区间概率用求和或补集。
CIE 9709/52/F/M/25 Q2(b)
For X\sim B(12,0.55), find P(X<10).
写补集 1-P(X\ge 10) \rightarrow 算 P(10)+P(11)+P(12) \rightarrow 相减得结果。
[M1] 至少一项 binomial term 正确。
[A1] 补集表达完整正确。
[A1] 最终概率正确。
CIE 9709/52/M/J/25 Q2
Use a suitable approximation for X\sim B(160,0.7) to find P(X>120).
先算 \mu=np, \sigma^2=np(1-p) \rightarrow 取 Normal approximation N(\mu,\sigma^2) \rightarrow continuity correction 后标准化求概率。
[B1] \mu,\sigma^2 正确。
[M1] 标准化结构正确。
[M1] continuity correction 正确。
[A1] 最终概率正确。
Mean/Variance & Model Check（二项参数与模型检验）
📖 Definition在 X\sim B(n,p) 下，先检验独立同分布，再调用 E,Var 处理统计量。
🔑 KeyE(X)=np, Var(X)=np(1-p)。
Binomial 条件：固定 n、独立 trial、constant p、两结果。
可由样本信息反推 p 或 n。
🎯 Exam focusCIE 喜欢把“是否可用 binomial”与“求参数”合并在同题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确 random variable 定义。
Step 2 \rightarrow 检查 binomial 四条件。
Step 3 \rightarrow 用 E,Var 建方程解参数。
CIE 9709/52/S/M/25 Q4(a)
Given X\sim B(n,p), with E(X)=7.2 and Var(X)=2.88, find n,p.
由 np=7.2 与 np(1-p)=2.88 \rightarrow 先求 p 再求 n。
[M1] 正确写两条参数方程。
[DM1] 依赖联立求解过程正确。
[A1] p 正确。
[A1] n 正确且为整数。
CIE 9709/55/O/N/25 Q3(a)
State whether the situation can be modelled by a binomial distribution, giving reasons.
逐条检查 fixed n、independence、constant p、two outcomes \rightarrow 给 yes/no 结论。
[B1] 至少一条条件理由正确。
[B1] 另一关键条件理由正确。
[A1] 结论与理由一致。
6. Geometric Distribution
Geometric Model（几何分布模型）
📖 Definition独立重复试验中，“首次成功发生在第 r 次”的模型。
🔑 KeyP(X=r)=(1-p)^{r-1}p。
P(X>k)=(1-p)^k。
典型触发词：first success / before the n-th trial。
🎯 Exam focusCIE 常把“on the 5th throw”和“after the 6th throw”并列考，考查表达差异。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确 success 定义和 p。
Step 2 \rightarrow 识别是 X=r 还是 X>k。
Step 3 \rightarrow 用对应公式直接计算。
CIE 9709/52/O/N/25 Q1(a)(b)
A biased coin with p(H)=0.4 is thrown until first head. Find P(X=5) and P(X>6).
P(X=5)=(0.6)^4(0.4) \rightarrow P(X>6)=(0.6)^6。
[B1] P(X=5) 结构正确。
[M1] P(X>6) 用几何尾概率。
[A1] 数值正确。
CIE 9709/52/M/J/25 Q4(b)(c)
Vehicles choose left with p=0.3. Find probability first left is before 9th, and 2nd left is 7th.
before 9th \rightarrow 1-(0.7)^8。
2nd left at 7th \rightarrow 前6次恰1次左再第7次左 \rightarrow \binom61(0.3)^2(0.7)^5。
[M1] 几何补集式正确。
[M1] 负二项/组合结构正确。
[A1] 概率值正确。
Second Success / NB Bridge（第二次成功与负二项桥接）
📖 Definition当题目问“第 k 次成功发生在第 r 次试验”时，本质是负二项结构。
🔑 Key第 k 次成功在第 r 次：\binom{r-1}{k-1}p^k(1-p)^{r-k}。
当 k=1 退化为 geometric。
常与“at least one by ...”互转。
🎯 Exam focusCIE 常把 geometric 与 NB 混放，考你是否识别“第几次成功”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 success index k。
Step 2 \rightarrow 前 r-1 次需有 k-1 成功。
Step 3 \rightarrow 第 r 次必须成功。
CIE 9709/52/M/J/25 Q4(c)
Find the probability that the second left turn occurs on the 7th vehicle.
前 6 辆恰好 1 次 left \rightarrow 第 7 辆 left \rightarrow \binom61p^2(1-p)^5。
[M1] 使用 NB/组合结构。
[A1] 幂次与系数正确。
[A1] 最终概率正确。
CIE 9709/53/S/M/25 Q3(b)
In repeated trials with success probability p, find P(T=8), where T is trial of third success.
第三次成功在第 8 次 \rightarrow 前7次恰2次成功 \rightarrow 第8次成功。
[M1] 前 r-1 次组合项正确。
[DM1] 依赖第 r 次成功乘上 p。
[A1] 最终表达/值正确。
7. Normal Distribution
Normal Probabilities（正态分布概率）
📖 Definition对 X\sim N(\mu,\sigma^2) 通过标准化转为 Z\sim N(0,1) 查表。
🔑 Key标准化：Z=\frac{X-\mu}{\sigma}。
区间概率转为两侧 \Phi 差值。
计数题最后要乘样本量并取合理整数。
🎯 Exam focusCIE 常考“within k of mean”和“双尾/单尾 area”判定。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写标准化。
Step 2 \rightarrow 正确读 \Phi 区域。
Step 3 \rightarrow 若题要人数，乘总人数并取近似整数。
CIE 9709/52/O/N/25 Q3(a)
Heights are N(187.4,6.4^2). Find expected number within 5 cm of mean among 124 members.
算 P(182.4<X<192.4) \rightarrow 双边标准化到 \pm 0.781 \rightarrow 求区间概率 \rightarrow 乘 124 得 expected number。
[M1] 标准化代入正确。
[M1] 区域表达正确。
[A1] 概率数值正确。
[B1] 期望人数正确（FT）。
CIE 9709/52/F/M/25 Q2(c)
Approximate P(X>24) for a large binomial setting using normal approximation.
先 \mu=np,\sigma^2=np(1-p) \rightarrow 用 24.5 continuity correction \rightarrow 标准化 \rightarrow 查右尾概率。
[B1] \mu,\sigma^2 正确。
[M1] 正确标准化。
[M1] continuity correction 正确。
[A1] 概率正确。
Inverse Normal（反向正态）
📖 Definition已知 tail probability 反求 z-value，再回推 \sigma 或 \mu。
🔑 Key由概率先定 z：如 P(Z<z)=0.23\Rightarrow z\approx-0.739。
再代 z=\frac{x-\mu}{\sigma} 解未知参数。
🎯 Exam focusCIE 高频雷点：把 0.23 直接当 z；或标准化符号方向错。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先由概率查 z。
Step 2 \rightarrow 写标准化方程。
Step 3 \rightarrow 解参数并检验正值/单位。
CIE 9709/52/O/N/25 Q3(b)
Junior heights are normal with mean 172.7 and s.d. v. Given P(X<170.3)=0.23, find v.
查表得 z\approx-0.739 \rightarrow \frac{170.3-172.7}{v}=-0.739 \rightarrow 解 v\approx3.25。
[B1] 反查 z 正确。
[M1] 标准化方程正确。
[A1] v 数值正确。
CIE 9709/52/F/M/25 Q2(c) (inverse step in approximation)
Use standard normal tables in reverse/forward direction to evaluate tail probability accurately.
先从标准化值定位 \Phi(z) \rightarrow 再按左尾/右尾关系转换 \rightarrow 得目标概率。
[M1] \Phi 使用方向正确。
[A1] 尾概率转换正确。
8. Modelling & Approximation
Approximation Strategy（近似策略）
📖 Definition根据 n,p 与数据形态选择 exact 还是 normal approximation。
🔑 KeyBinomial \to Normal 常见条件：np 和 n(1-p) 均足够大。
近似时必须考虑 continuity correction。
🎯 Exam focusS1 中“Use a suitable approximation”几乎就是提示你做模型切换+修正。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判近似是否合理。
Step 2 \rightarrow 写 \mu,\sigma^2。
Step 3 \rightarrow continuity correction + standardisation。
CIE 9709/52/M/J/25 Q2
Use suitable approximation for X\sim B(160,0.7), find P(X>120).
Binomial 参数大 \rightarrow 近似 Normal \rightarrow 用 120.5 修正 \rightarrow 标准化求尾概率。
[B1] 近似模型参数正确。
[M1] continuity correction。
[M1] 标准化与查表。
[A1] 最终概率正确。
CIE 9709/52/F/M/25 Q2(c)
Approximate probability for large sample count above threshold.
识别大样本计数 \rightarrow 转 Normal \rightarrow 使用边界 \pm0.5 \rightarrow 查标准正态。
[M1] 模型转换正确。
[DM1] 依赖转换后的标准化。
[A1] 概率值正确。
Exam Error Control（考场防错控制）
📖 Definition通过结构化检查降低 S1 常见粗错（符号、条件、边界、匹配）。
🔑 Key检查清单：
1) 概率和是否为 1。
2) 条件概率分母是否是“given”事件。
3) 正态尾方向是否正确。
4) continuity correction 是否漏写。
🎯 Exam focus同等难度下，S1 分差主要来自“结构性失误”而非高阶技巧。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先做 model sanity check。
Step 2 \rightarrow 每步写清事件定义。
Step 3 \rightarrow 最后统一做 numeric reasonableness check。
CIE 9709/52/O/N/25 Q1 & Q3
Mixed short questions on geometric and normal where sign/region mistakes are common.
先定义随机变量与事件 \rightarrow 再写公式 \rightarrow 每一步检查范围（如概率应小于 0.5 或大于 0.5）。
[M1] 公式与事件匹配正确。
[A1] 数值方向与数量级合理。
CIE 9709/52/M/J/25 Q3(b) & Q4(c)
Conditional + geometric/negative-binomial style questions requiring strict interpretation.
把文字条件转为事件符号 \rightarrow 区分 X=r 与 X>r \rightarrow 最后检查是否需要补集。
[M1] 条件翻译正确。
[DM1] 依赖事件翻译进行正确计算。
[A1] 最终概率正确。
·
Sampling Without Replacement（不放回抽样）
📖 Definition每次抽取后总体组成改变，后续概率需更新分母与分子。
🔑 Key不放回：第二步概率依赖第一步结果。
放回 vs 不放回必须区分。
可用 tree 或 combinations 建模。
🎯 Exam focusCIE 高频：两球同色、指定顺序、指定第 k 次出现。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确是否 replacement。
Step 2 \rightarrow 按路径写乘法概率。
Step 3 \rightarrow 需要时对互斥路径求和。
CIE 9709/52/O/N/25 Q2
Marbles are drawn without replacement until first green appears. Form the distribution of X.
列出 X=1,2,3,4,5 可行值 \rightarrow 每个值按路径乘法求概率 \rightarrow 检查总和为 1。
[B1] 取值范围正确。
[M1] 至少一条路径概率正确。
[A1] 多项概率与对应取值匹配。
[A1] 分布表完整正确。
CIE 9709/52/M/J/25 Q3(a)
One draw with conditional replacement rule, then second draw. Find probability both same colour.
分 case：BB 与 RR \rightarrow 分别写路径概率 \rightarrow 相加得到总概率。
[M1] 至少一条同色路径正确。
[A1] 两路径总和正确（CAO）。