Edexcel 数学
EDX FP1 Further Pure Mathematics 1 Concept Map
18 个知识节点 · FP1
1. Matrix Algebra
Determinant & Inverse（行列式与逆矩阵）
📖 Definition通过 \det(A) 判断可逆性，并用伴随矩阵公式求 A^{-1}。
🔑 Key\det(A)\neq 0 \Rightarrow A non-singular。
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)。
参数矩阵先化简 \det 到一元式。
🎯 Exam focusEdexcel 高频是“show non-singular for all real k”和“in terms of k 求逆矩阵”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先精确展开 \det(A)。
Step 2 \rightarrow 处理参数并判断非零。
Step 3 \rightarrow 写 \operatorname{adj}(A) 并除以 \det(A)。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q1(a)(b)
Show matrix M is non-singular for all real k, then find M^{-1} in terms of k.
展开 \det(M) \rightarrow 化成恒正/恒非零形式 \rightarrow 结论 non-singular \rightarrow 伴随矩阵法求逆。
[M1] 正确展开 \det(M)。
[A1] 非零判定正确。
[M1] 逆矩阵方法结构正确。
[A1] M^{-1} 正确并化简。
EDX WFM01/01 May 2024 Q1(i)
Determine the value of k for which matrix A is singular.
写 \det(A)=0 \rightarrow 解线性/二次参数方程 \rightarrow 给出 k 值。
[M1] 设 \det(A)=0 正确。
[A1] k 结果正确。
Matrix Equations & Conditions（矩阵方程与参数条件）
📖 Definition把矩阵等式按对应元素比较，或用行列式条件提取参数范围。
🔑 Key元素比较：A=B\Rightarrow a_{ij}=b_{ij}。
可逆条件常用 \det(A)\neq0。
范围题常落到不等式解集。
🎯 Exam focus常见是 determinant 正负范围、未知元矩阵方程、可逆前提下推导。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确题目条件是等式、singular 还是 inequality。
Step 2 \rightarrow 转成标量方程/不等式。
Step 3 \rightarrow 区间整理并校验边界。
EDX WFM01/01 Jan 2022 Q1
Find the range of values of x for which the determinant of matrix M is positive.
算 \det(M) \rightarrow 建立 \det(M)>0 \rightarrow 解不等式并写区间。
[M1] \det(M) 表达正确。
[M1] 正确求解不等式。
[A1] 范围正确。
EDX WFM01/01 Jan 2023 Q1
Given a matrix relation with parameter, determine constants so that the equation holds.
逐元素比较对应位置 \rightarrow 建立联立方程 \rightarrow 解参数。
[M1] 元素比较方法正确。
[A1] 参数值正确。
2. Matrix Transformations
Describe Transformations（变换描述）
📖 Definition由 2\times2 矩阵识别 reflection/rotation/stretch/enlargement 等几何变换。
🔑 Key单位矩阵尺度变化 \rightarrow enlargement/stretch。
符号互换与旋转矩阵形状需熟记。
完整描述要含中心/轴/角度/比例。
🎯 Exam focusMS 对“fully describe”要求严格，缺 axis 或 angle 通常丢 A1。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先看基向量像 \mathbf{i},\mathbf{j}。
Step 2 \rightarrow 匹配标准变换模板。
Step 3 \rightarrow 写完整几何描述。
EDX WFM01/01 Jan 2022 Q7(a)
Give a full description of transformation U represented by matrix P.
读取列向量像 \rightarrow 判断是反射/旋转/拉伸 \rightarrow 写完整 line/angle/scale。
[M1] 变换类型识别正确。
[A1] 关键参数（轴或角）正确。
[A1] 完整描述正确。
EDX WFM01/01 May 2024 Q1(ii)
State p,q when matrix B represents (a) enlargement scale factor -2, (b) reflection in the y-axis.
调用标准矩阵模板 \rightarrow 与 B 对位比较 \rightarrow 写 p,q。
[B1] enlargement 对应参数正确。
[B1] reflection 对应参数正确。
Composition & Undo Mapping（复合变换与逆映射）
📖 Definition变换按顺序右乘矩阵，逆向映射通过逆矩阵恢复原图形。
🔑 Key先做 U 后做 V：矩阵是 VU。
逆向恢复：W' = W^{-1}。
面积伸缩因子：|\det(A)|。
🎯 Exam focusEdexcel 常考 U followed by V 的乘法顺序与映回原图。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 按文字顺序确定乘法方向。
Step 2 \rightarrow 计算复合矩阵。
Step 3 \rightarrow 若要回原图则求逆。
EDX WFM01/01 Jan 2022 Q7(c)(d)
Given U followed by V is matrix R, and W=3R, determine matrix for reverse map W'.
先算 R \rightarrow 得 W=3R \rightarrow 反向映射取 W^{-1}。
[M1] 复合乘法顺序正确。
[M1] 逆矩阵方法正确。
[A1] W' 正确。
EDX WFM01/01 Jan 2023 Q7(ii)
Given transformations U, V, T, determine matrix of W under stated composition.
把题干复合关系改写矩阵方程 \rightarrow 左右乘所需逆矩阵 \rightarrow 解出 W。
[M1] 正确写矩阵方程。
[DM1] 依赖逆矩阵移项。
[A1] 最终矩阵正确。
Area Scale via Determinant（行列式面积伸缩）
📖 Definition线性变换对面积的放大倍数是 |\det(A)|，可用于图形面积反推。
🔑 Key若 S' 是 S 经 A 变换后图形，则 \text{Area}(S')=|\det(A)|\,\text{Area}(S)。
复合变换行列式相乘。
🎯 Exam focus题目常把 area 放在最后一问，前面先让你求复合矩阵 B，再用 |\det(B)| 快速解。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求最终变换矩阵 B。
Step 2 \rightarrow 算 |\det(B)|。
Step 3 \rightarrow 代面积比例方程解未知面积。
EDX WFM01/01 May 2024 Q6(c)
Hexagon S is transformed to S' by matrix B. Given area of S', determine area of S.
先由前问求 B \rightarrow 算 |\det(B)| \rightarrow 用 \text{Area}(S)=\frac{\text{Area}(S')}{|\det(B)|}。
[M1] 使用行列式面积关系。
[M1] |\det(B)| 计算正确。
[A1] 原面积正确。
EDX WFM01/01 Jan 2022 Q7 (area mapping follow-up)
A transformed triangle is mapped back; use matrix information to infer area change factor.
写 forward matrix A \rightarrow 面积倍率 |\det(A)| \rightarrow reverse mapping 取倒数倍率。
[M1] 面积倍率方向正确。
[A1] 面积结果正确。
3. Complex Numbers I
Algebraic Form Operations（复数代数运算）
📖 Definition在 a+bi 形式下做加减乘除，并通过共轭有理化完成除法。
🔑 Keyi^2=-1。
除法用共轭：\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}。
实部虚部分离是标准书写。
🎯 Exam focusMS 重视“without calculator”的代数步骤，直接小数通常不给满分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 展开并用 i^2=-1 化简。
Step 2 \rightarrow 除法乘共轭。
Step 3 \rightarrow 写成 a+bi。
EDX WFM01/01 Jan 2022 Q2(b)
Given z_1=3+5i, z_2=-2+6i, express \frac{z_1}{z_2} in the form a+bi.
分子分母同乘 -2-6i \rightarrow 展开并合并 i 项 \rightarrow 除以实数分母。
[M1] 共轭乘法结构正确。
[A1] 实部正确。
[A1] 虚部正确。
EDX WFM01/01 May 2024 Q4
The complex number z is defined by an algebraic fraction. Simplify and write in a+bi form.
先化简分式结构 \rightarrow 共轭有理化 \rightarrow 收集实部和虚部。
[M1] 有理化方法正确。
[A1] a+bi 形式正确。
Modulus & Argument（模与辐角）
📖 Definition把复数视作 Argand 向量，利用长度和方向处理 |z| 与 \arg z。
🔑 Key|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}。
\arg z = \tan^{-1}(\frac{b}{a}) 后需按象限修正。
\arg(\frac{z_1}{z_2})=\arg z_1-\arg z_2。
🎯 Exam focus常见失分是象限修正漏做，或把 \arg(2z) 错写成 2\arg z。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求实虚部符号判断象限。
Step 2 \rightarrow 算 reference angle。
Step 3 \rightarrow 写修正后主辐角。
EDX WFM01/01 Jan 2022 Q2(c)
Hence determine the value of \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) in radians.
先由(b)得 \frac{z_1}{z_2}=a+bi \rightarrow 画象限 \rightarrow \tan^{-1}(\frac{b}{a}) 并修正。
[M1] 正确求参考角。
[A1] 象限修正正确。
[A1] 弧度值正确。
EDX WFM01/01 May 2024 Q4(c)
Hence find \arg z from the simplified complex form.
由 a+bi 判断象限 \rightarrow 求 \arg z \rightarrow 取题目要求精度。
[M1] 使用正确反正切结构。
[A1] 最终 \arg z 正确。
4. Complex Numbers II
Polynomial Roots in Complex（复数根与多项式）
📖 Definition实系数多项式若有 a+bi 根，则共轭 a-bi 也为根。
🔑 Key共轭根成对出现。
Vieta：\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}，\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}。
可由已知根反推参数。
🎯 Exam focus高频是“已知一个 complex root + 一条 real root 条件”去解完整根集和参数。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写共轭根。
Step 2 \rightarrow 用因式分解或 Vieta 解其余根。
Step 3 \rightarrow 代回求参数。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q2(a)(b)(c)
Given 5-4i is a root of f(z)=0, solve completely and determine p,q.
先写共轭根 5+4i \rightarrow 组成二次因式 \rightarrow 与原多项式比较系数求 real root 与 p,q。
[B1] 共轭根写对。
[M1] 二次因式构造正确。
[M1] 系数比较/因式分解正确。
[A1] 根与参数全对。
EDX WFM01/01 May 2022 Q3
Given 5-i is a root of f(z)=0, determine all roots in simplest form.
写共轭根 5+i \rightarrow 乘成实系数二次式 \rightarrow 再除得到剩余实根。
[M1] 共轭对处理正确。
[A1] 其余根正确。
Argand Geometry（Argand 图形几何）
📖 Definition把根映射成点后，可计算距离、周长、面积和几何关系。
🔑 Key点 z=a+bi 对应 (a,b)。
距离公式：|z_1-z_2|。
面积可用底高或坐标法。
🎯 Exam focus常见综合题：先解根，再在 Argand 上算 triangle/quadrilateral 几何量。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把所有根转坐标点。
Step 2 \rightarrow 图上确定边长或高。
Step 3 \rightarrow 代几何公式。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q2(d)
Roots of f(z)=0 form a triangle on Argand diagram. Determine its area.
先得三根坐标 \rightarrow 选一边作底 \rightarrow 用垂距求面积。
[M1] 根点坐标正确。
[M1] 面积方法正确。
[A1] 面积值正确。
EDX WFM01/01 May 2024 Q2(c)(d)
Plot points P,Q,R,S on a single Argand diagram and find perimeter of quadrilateral PQSR.
由根与给定实数写点坐标 \rightarrow 计算四边长度 \rightarrow 求和并化简 surd。
[B1] 图上点位正确。
[M1] 至少两条边长计算正确。
[A1] 周长正确（surd 形式）。
Parameter from Arg Constraints（由辐角条件反求参数）
📖 Definition当复数包含实参数 \lambda 时，利用 \arg z 条件建立实虚部比例方程求 \lambda。
🔑 Key先化到 z=x(\lambda)+iy(\lambda)。
若 \arg z=\theta，则 \frac{y}{x}=\tan\theta（并检查象限）。
需保留“possible values”分支。
🎯 Exam focusEDX 常考“先求 z in terms of \lambda，再 given arg 求 \lambda”，是复数代数+几何融合点。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先将题给分式化成 x+iy。
Step 2 \rightarrow 代 \arg z 转斜率方程。
Step 3 \rightarrow 解 \lambda 并做象限筛选。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q9(a)(b)
Given z=\frac{\lambda+5i}{\lambda^2-4i} (\lambda\in\mathbb{R}), find z as x+yi, then given \arg z=\frac{\pi}{4} find possible \lambda.
先共轭有理化得 x(\lambda),y(\lambda) \rightarrow 由 \arg z=\frac\pi4 得 y=x（含象限）\rightarrow 解 \lambda 并筛合法值。
[M1] 复数有理化正确。
[A1] x+iy 形式正确。
[M1] 正确建立 \arg 方程。
[A1] \lambda 可能值正确。
EDX WFM01/01 May 2023 Q6(c)(d)
Given w in terms of parameters a,b, and a fixed w, determine a,b, then find \arg w.
先比较实部虚部求 a,b \rightarrow 由已知 w 坐标判断象限 \rightarrow 求 \arg w。
[M1] 实虚部比较正确。
[A1] 参数 a,b 正确。
[M1] 象限+反正切流程正确。
[A1] \arg w 正确。
5. Algebra of Roots
Sum/Product of Roots（根和与根积）
📖 Definition不解方程也可用 Vieta 直接得到 \alpha+\beta、\alpha\beta 与其组合。
🔑 Key二次 ax^2+bx+c=0：\alpha+\beta=-\frac ba, \alpha\beta=\frac ca。
可推 \frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}。
🎯 Exam focus题目常写“without solving the equation”来强制用根系关系。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先识别 a,b,c。
Step 2 \rightarrow 写 \alpha+\beta,\alpha\beta。
Step 3 \rightarrow 推导目标组合式。
EDX WFM01/01 May 2024 Q5(a)
For a quadratic with roots \frac1p and \frac1q, show pq=\frac52 and find p+q.
先把已知根与原方程系数对应 \rightarrow 用根积求 pq \rightarrow 再由根和求 p+q。
[M1] 正确建立根和/根积对应。
[A1] pq 正确。
[A1] p+q 正确。
EDX WFM01/01 Jan 2023 Q5(a)(b)
Given a quadratic has roots \alpha,\beta, determine expressions involving \alpha+\beta and \alpha\beta.
直接调用 Vieta \rightarrow 代入目标表达式 \rightarrow 化简到常数/参数式。
[M1] Vieta 使用正确。
[A1] 目标表达式结果正确。
Derived Quadratic Equations（派生方程构造）
📖 Definition已知原方程根的信息，构造新根函数对应的方程。
🔑 Key若新根是 g(\alpha),g(\beta)，先求和与积再写 x^2-Sx+P=0。
需避免直接数值求根。
🎯 Exam focusMS 看的是结构：先求新根和/积，再组方程；跳步易丢方法分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写新根定义。
Step 2 \rightarrow 由旧根和积推新根和积。
Step 3 \rightarrow 组装二次方程并整系数化。
EDX WFM01/01 May 2024 Q5(b)
Hence find a quadratic equation with roots \frac{q}{p}+\frac{1}{q^2} and \frac{p}{q}+\frac{1}{p^2}.
先把两新根记为 u,v \rightarrow 用(a)结果求 u+v,uv \rightarrow 写 x^2-(u+v)x+uv=0。
[M1] 正确构造 u+v 或 uv。
[DM1] 依赖(a)结果完成另一项。
[A1] 方程正确且系数整化。
EDX WFM01/01 Jan 2023 Q5(c)
Determine a quadratic equation whose roots are transformed expressions of \alpha,\beta.
由给定变换表达式求新根和积 \rightarrow 组二次式。
[M1] 新根和/积方法正确。
[A1] 新方程正确。
6. Series & Sigma
Standard Summations（标准求和公式）
📖 Definition利用 \sum r、\sum r^2、\sum r^3 的闭式表达处理多项式和。
🔑 Key\sum_{r=1}^{n} r=\frac{n(n+1)}2。
\sum r^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6。
\sum r^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2。
🎯 Exam focus常以 “Use standard results” 开题，强调公式代入与化简稳定性。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 拆成基础和式。
Step 2 \rightarrow 逐项代标准结果。
Step 3 \rightarrow 提公因式化简。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q8(a)
Use standard summations to show a polynomial identity in n.
按 \sum r,\sum r^2 拆项 \rightarrow 代闭式 \rightarrow 合并同类项。
[M1] 至少一条标准求和正确代入。
[M1] 代数化简链正确。
[A1] 目标恒等式得证。
EDX WFM01/01 May 2024 Q6(a)
Prove by induction a statement involving a finite sum of powers.
先验 n=1 \rightarrow 假设 n=k 成立 \rightarrow 对 k+1 增量展开并化到目标式。
[B1] base case 正确。
[M1] induction step 结构正确。
[A1] 完整推出 k+1。
Summation Manipulation（求和变形与参数化）
📖 Definition把复杂求和改写成可比较形式，或转化为 an^b+cn^d 型。
🔑 Key位移指标：\sum_{r=1}^{n}(r+1)^2 可与 \sum r^2 联系。
多项式拟合常用比较系数。
🎯 Exam focus题目常给 “Hence show ... where a,b,c,d are integers”，考结构化变形。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先用前一问结果。
Step 2 \rightarrow 指标替换并拆分。
Step 3 \rightarrow 整理成要求模板。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q8(b)
Hence show a second summation can be written as an^b+cn^d, determine constants.
调用(a)公式 \rightarrow 做指数/指标重写 \rightarrow 比较系数求 a,b,c,d。
[M1] 正确使用前一问结论。
[M1] 有效代数重写。
[A1] 常数全对。
EDX WFM01/01 May 2024 Q8
A summation expression is simplified to a compact polynomial form in n.
先拆项 \rightarrow 代标准和 \rightarrow 化简为目标幂式。
[M1] 拆项方向正确。
[A1] 最终多项式正确。
7. Proof by Induction
Divisibility Statements（整除型归纳）
📖 Definition通过数学归纳法证明某表达式对所有正整数可被指定整数整除。
🔑 Key结构：Base case + Inductive hypothesis + k\to k+1。
关键在于把 k+1 式拆成“旧式 + 可整除项”。
🎯 Exam focusMS 对“假设写清”和“完成可整除结论句”都有独立分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 验证 n=1。
Step 2 \rightarrow 假设 n=k 成立。
Step 3 \rightarrow 展开 n=k+1，提取假设项并完成整除结论。
EDX WFM01/01 May 2024 Q8
Prove by induction that a given expression is divisible by a fixed integer for all n\in\mathbb{N}.
base case \rightarrow IH \rightarrow 代 k+1 展开 \rightarrow 写成“整除项+整除项”。
[B1] base case 正确。
[M1] 归纳假设使用正确。
[A1] 推出 k+1 可整除。
EDX WFM01/01 Jan 2023 Q9
Prove by induction a divisibility result for all positive integers n.
按标准三段式完成 \rightarrow 结尾明确“therefore true for all positive integers”。
[B1] 起始验证正确。
[M1] 正确构造 k+1 递推。
[A1] 全称结论完整。
Formula Identities（恒等式归纳证明）
📖 Definition证明求和或代数恒等式对任意 n 成立，强调代数闭环。
🔑 Key目标常是 S_n=F(n)。
递推核心：S_{k+1}=S_k+u_{k+1}。
最后需整理成 F(k+1) 完整形态。
🎯 Exam focus高失分点：做到中途但没有精确化成目标右端 F(k+1)。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 S_1 检验。
Step 2 \rightarrow 假设 S_k=F(k)。
Step 3 \rightarrow 算 S_{k+1}=F(k)+u_{k+1} 并化到 F(k+1)。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q10(i)
Prove by induction that a closed form for a sequence/summation holds for n\in\mathbb{N}.
base \rightarrow IH \rightarrow 递推到 k+1 并整理成同结构闭式。
[B1] base case 正确。
[M1] 递推链条正确。
[A1] 成功化为 F(k+1)。
EDX WFM01/01 May 2024 Q6(a)
Prove a finite sum identity using induction.
设 P(k) 成立 \rightarrow 对 k+1 加上新项 \rightarrow 因式化到目标式。
[M1] 假设与新项连接正确。
[A1] 终式正确。
8. Further Coordinate Geometry
Parabola: Focus/Normal（抛物线焦点与法线）
📖 Definition在参数点上结合微分几何、焦点/准线性质处理长度与方程。
🔑 Key标准型 y^2=4ax 焦点 (a,0)，准线 x=-a。
法线斜率 m_n=-\frac{1}{m_t}。
参数法常设 (at^2,2at)。
🎯 Exam focus常见连问：先求 normal equation，再与曲线再交、面积比、参数求值。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 用参数点写切线/法线斜率。
Step 2 \rightarrow 建立法线方程并联立求再交点。
Step 3 \rightarrow 用焦点-准线距离或面积关系收尾。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q7
For parabola y^2=4x-type, show normal at P has given equation and find second intersection Q.
先微分得切线斜率 \rightarrow 取负倒数写法线 \rightarrow 联立回抛物线求 Q。
[M1] 求导与法线斜率正确。
[A1] 法线方程正确。
[M1] 联立求交方法正确。
[A1] Q 坐标正确。
EDX WFM01/01 Jan 2023 Q8
For parabola y^2=4ax, use focus/directrix geometry and area ratio to determine exact a.
先写焦点与准线 \rightarrow 由题给直线交点表达关键长度 \rightarrow 用面积比方程解 a。
[M1] 焦点/准线模型正确。
[M1] 面积比方程建立正确。
[A1] a 精确值正确。
Rectangular Hyperbola（矩形双曲线）
📖 Definition研究 xy=c 的几何与代数性质，常与斜率、切线、法线、面积结合。
🔑 Keyxy=c\Rightarrow y=\frac{c}{x}。
导数 \frac{dy}{dx}=-\frac{c}{x^2}。
点上切线：x_1y+xy_1=2c。
🎯 Exam focusEdexcel 高频出现在压轴：给一条过点直线与 xy=c 交点关系求参数。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把几何条件转代数方程。
Step 2 \rightarrow 联立双曲线与直线。
Step 3 \rightarrow 用根系/距离/面积条件解参数。
EDX WFM01/01 May 2024 Q9
The rectangular hyperbola H has equation xy=c. Use given geometric conditions to find unknown constants.
设交点坐标满足 xy=c \rightarrow 联立题设直线关系 \rightarrow 用消元/根系求参数。
[M1] 联立模型正确。
[DM1] 依赖联立结果继续推导参数。
[A1] 参数值正确。
EDX WFM01/01 Jan 2024 Q3
Given hyperbola xy=c with additional constraints, determine point/parameter values.
把约束翻译成 x,y 关系 \rightarrow 与 xy=c 同解 \rightarrow 选合法解并回代。
[M1] 方程构建正确。
[A1] 关键坐标或参数正确。