Edexcel 数学
EDX FP2 Further Pure Mathematics 2 Concept Map
18 个知识节点 · FP2
1. Algebra & Inequalities
Rational Inequalities（分式不等式）
📖 Definition将分式不等式转为临界点+符号区间问题，输出完整解集。
🔑 Key先求分子/分母零点。
按临界点分段做 sign chart。
分母为零点必须剔除。
🎯 Exam focusFP2 常把看似复杂式压成一次判号题，漏掉不可取点会失分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 统一移项成 \frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless 0。
Step 2 \rightarrow 列临界点并判区间符号。
Step 3 \rightarrow 按严格/非严格写最终区间。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q1
Using algebra, solve a rational inequality in x.
因式分解分子分母 \rightarrow 标临界点 \rightarrow 逐区间判号 \rightarrow 写解集并去除分母零点。
[M1] 正确建立符号分析结构。
[M1] 临界点处理正确。
[A1] 解集区间正确。
EDX WFM02/01 Jun 2023 Q1
Solve an inequality involving reciprocal/rational terms.
通分化简 \rightarrow 转成单分式不等式 \rightarrow sign chart 解区间。
[M1] 代数化简方向正确。
[A1] 最终不等式解正确。
Algebraic Rearrangement（代数重排与标准化）
📖 Definition把复杂题干表达整理为可直接套公式/判别的标准形式。
🔑 Key常见目标：线性分式、可分离变量、标准 trig/hyperbolic 结构。
保持等价变形并写清定义域。
🎯 Exam focusMS 对首个可得分步骤很看重：正确重排往往给首个方法分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别目标标准形式。
Step 2 \rightarrow 分步等价重排。
Step 3 \rightarrow 写必要限制条件。
EDX WFM02/01 Jan 2023 Q3(a)
Show that a given expression can be rewritten in a required form for r\ge 1.
从左式因式分解/通分 \rightarrow 应用已知恒等变形 \rightarrow 达到题给形式。
[M1] 至少一处关键代数变形正确。
[A1] 完整达到目标形式。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q3(a)
Express a composite algebraic/trig quantity in a simplified target form.
识别主结构 \rightarrow 替换中间变量 \rightarrow 消去冗余项得标准式。
[M1] 重排路径正确。
[A1] 目标式正确。
Partial Fractions & Integration（部分分式与代数积分）
📖 Definition把有理函数拆成部分分式，进而做精确积分与面积计算。
🔑 Key先做 long division（若分子次数不低）。
分母因式分解后设 \frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{x^2+...}。
积分常出现 \ln|x-a| 与 \arctan 型。
🎯 Exam focusFP2 几乎每年都有“in partial fractions”+“Use algebraic integration to show exact area”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先拆成部分分式并解系数。
Step 2 \rightarrow 逐项积分。
Step 3 \rightarrow 代上下限并写 exact area。
EDX WFM02/01 Jan 2023 Q2 & Q8(c)
Express a rational function in partial fractions, then use algebraic integration to show exact area of R.
分母因式分解 \rightarrow 设部分分式并比较系数 \rightarrow 逐项积分 \rightarrow 代上下限得 exact area。
[M1] 正确设部分分式结构。
[A1] 系数求解正确。
[M1] 积分表达式正确。
[A1] 面积精确值正确。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q3(b) & Q10(b)
Use your partial fraction result to evaluate an integral / show area exactly.
调用(a)结果 \rightarrow 逐项积分（含 \ln 项）\rightarrow 上下限代入并化简。
[DM1] 依赖(a)的分式分解。
[M1] 积分步骤正确。
[A1] 最终 exact 结果正确。
2. Complex Numbers: Polar
Modulus/Argument/Polar（模辐角与极式）
📖 Definition将复数在 a+bi 与 r(\cos\theta+i\sin\theta) 间切换，处理模与辐角。
🔑 Key|z|=\sqrt{a^2+b^2}，\arg z 需象限修正。
极式：z=r\operatorname{cis}\theta。
🎯 Exam focus常考 exact arg、主辐角判断与复数幂前的极式准备。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先算 r=|z|。
Step 2 \rightarrow 用反正切并做象限修正。
Step 3 \rightarrow 写极式或继续幂运算。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q2(a)
Determine modulus and show the argument of a given complex number.
由实虚部算 |z| \rightarrow 求 reference angle \rightarrow 按象限写 \arg z。
[B1] |z| 正确。
[M1] 辐角方法正确。
[A1] \arg z 正确。
EDX WFM02/01 Jan 2022 Q1(a)
Express a complex number in trigonometric/polar form.
先化 a+bi \rightarrow 求 r,\theta \rightarrow 写 r(\cos\theta+i\sin\theta)。
[M1] 极式结构正确。
[A1] r,\theta 正确。
de Moivre & Complex Roots（棣莫弗与复根）
📖 Definition通过 de Moivre 处理幂与开方，给出全部根并转回 a+bi。
🔑 Key[r\operatorname{cis}\theta]^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)。
n 次根角度：\frac{\theta+2k\pi}{n}。
🎯 Exam focus常见组合：先算 z^n 再解 w^m=z 的全部根。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写极式。
Step 2 \rightarrow de Moivre 做幂/开方。
Step 3 \rightarrow 列全根并化到 a+bi。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q2(b)(c)
Using de Moivre, determine z^4 and solve w^2=z in a+bi form.
极式写 z \rightarrow 指数乘法求 z^4 \rightarrow 平方根取两角并回到代数式。
[M1] de Moivre 使用正确。
[M1] 根角处理正确。
[A1] 根结果完整正确。
EDX WFM02/01 Jan 2022 Q1(b)
Find complex roots of an equation via trigonometric form.
把常数写极式 \rightarrow 角度均分 \rightarrow 写全体根。
[M1] 均分角策略正确。
[A1] 全根正确。
3. Complex Loci
Loci: Line & Circle（复平面轨迹）
📖 Definition将复数条件转 Cartesian 方程，识别直线/圆及其区域。
🔑 Key设 z=x+iy。
模条件给距离，辐角条件给扇区/边界线。
代回可得到 ax+by+c=0 或圆方程。
🎯 Exam focusFP2 高频是“先代数求轨迹方程，再在 Argand 图上阴影区域”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 设 z=x+iy。
Step 2 \rightarrow 用模/共轭条件转实方程。
Step 3 \rightarrow 识别图形并画区域。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q1(a)(b)
Find equation of locus in the form ax+by+c=0, then shade the required region.
代 z=x+iy \rightarrow 化简到线性方程 \rightarrow 用不等式方向定阴影侧。
[M1] 正确代入 x,y。
[A1] 轨迹方程正确。
[B1] 区域阴影正确。
EDX WFM02/01 Nov 2021 Q6(a)
Given a locus of point P in Argand diagram, show it is a circle.
将条件写成距离形式 \rightarrow 平方展开 \rightarrow 配方得圆方程。
[M1] 距离方程建立正确。
[A1] 圆方程/圆心半径正确。
Argand Regions & Extremes（复平面区域与极值）
📖 Definition在模与辐角联合约束下求可行区域，并优化目标辐角/距离。
🔑 Key区域常由圆盘+扇区交集构成。
最小正辐角常在边界点出现。
🎯 Exam focusMS 给分点分离：先图形正确，再边界极值论证。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 分别画每条约束。
Step 2 \rightarrow 取交集区域。
Step 3 \rightarrow 用几何边界求 extremum。
EDX WFM02/01 Jun 2023 Q2(b)(c)
Given |z-z_1|\le 1 and an argument range, find the smallest possible positive value of \arg z.
画圆与角域 \rightarrow 定可行区域 \rightarrow 取原点引切线/边界角求最小正辐角。
[M1] 区域图形结构正确。
[M1] 极值点选择合理。
[A1] 最小正辐角正确。
EDX WFM02/01 Jan 2023 Q6
Sketch locus and determine intersection-related complex value.
先画给定轨迹 \rightarrow 联立第二轨迹条件 \rightarrow 解交点复数。
[B1] 轨迹草图要点正确。
[M1] 联立求交方法正确。
[A1] 目标复数正确。
4. Complex Transformations
z-plane to w-plane Mapping（复映射）
📖 Definition通过给定变换 w=f(z) 把 z 平面对象映到 w 平面。
🔑 Key常用 z=x+iy,w=u+iv 分离实虚部。
线/圆在映射后可能变线/圆。
🎯 Exam focus高频：求实轴、虚轴或特定曲线的像。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 将 w=f(x+iy) 拆成 u,v。
Step 2 \rightarrow 套原轨迹条件（如 x=0）。
Step 3 \rightarrow 消参得到像方程。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q7
A transformation from z-plane to w-plane maps given curves/axes. Determine corresponding images.
令 z=x+iy 代入映射式 \rightarrow 对指定条件代换 x=0 或 y=0 \rightarrow 消去参数写像。
[M1] 实虚分离正确。
[M1] 条件代入正确。
[A1] 像方程正确。
EDX WFM02/01 Jun 2022 Q3
Find image of a given locus under transformation T.
先参数化原轨迹 \rightarrow 代 w=f(z) \rightarrow 化简成标准曲线。
[M1] 参数化/代入正确。
[A1] 像的几何方程正确。
Images of Axes/Circles（轴线与圆的像）
📖 Definition专门处理实轴、虚轴、|z|=r 在复映射下的图像特征。
🔑 Key实轴：y=0。
虚轴：x=0。
圆：x^2+y^2=r^2。
🎯 Exam focusEdexcel 常把“imaginary axis image is line, real axis image is circle”组合在同题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 取原曲线方程。
Step 2 \rightarrow 代映射关系得到 u,v 参数式。
Step 3 \rightarrow 消参并识别线/圆。
EDX WFM02/01 Jan 2022 Q7
Transformation maps imaginary axis to a line and real axis to a circle. Determine both images.
分别令 x=0、y=0 \rightarrow 得两组 (u,v) 关系 \rightarrow 化简为 line/circle 方程。
[M1] 一条轴像处理正确。
[DM1] 依赖同法完成另一条轴像。
[A1] 两像方程正确。
EDX WFM02/01 Jun 2021 Q2
Transformation maps |z|=2 onto a circle C. Determine equation of C.
由 x^2+y^2=4 与映射关系联立 \rightarrow 消去 x,y \rightarrow 得 u,v 圆方程。
[M1] 正确使用 |z|=2 条件。
[A1] 像圆方程正确。
5. Differential Equations I
First-order with Integrating Factor（一阶线性方程积分因子）
📖 Definition将 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) 乘 integrating factor 后变成全微分求解。
🔑 Key积分因子 \mu=e^{\int P(x)dx}。
\frac{d}{dx}[\mu y]=\mu Q。
🎯 Exam focusMS 关键是先写对 \mu，再给出乘后左侧为导数结构。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 标准化为线性一阶。
Step 2 \rightarrow 求 \mu。
Step 3 \rightarrow 两边积分并解 y。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q6(a)
Determine the general solution of a first-order differential equation (particle model context).
整理成 y'+P(t)y=Q(t) \rightarrow 取 \mu \rightarrow 积分得 general solution。
[M1] 线性标准化正确。
[M1] integrating factor 正确。
[A1] 通解正确。
EDX WFM02/01 Jun 2022 Q4(a)
Find the general solution of the given differential equation.
识别一阶线性 \rightarrow 用积分因子 \rightarrow 化为可直接积分。
[M1] 方法路径正确。
[A1] 通解正确。
Particular Solution with Conditions（初值/条件特解）
📖 Definition在通解基础上代入初值或几何条件确定常数。
🔑 Key先 general solution，再代 (x_0,y_0) 或导数条件。
涉及 turning point 需再用 y'=0。
🎯 Exam focus常见双条件：先求常数，再求首个 turning point 的坐标/时间。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写出通解。
Step 2 \rightarrow 代条件求常数。
Step 3 \rightarrow 按附加几何/动力学条件收尾。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q6(b)
Determine the particular solution for the motion of the particle.
将初始条件代入(a)通解 \rightarrow 解常数 \rightarrow 写特解。
[M1] 正确代入初值。
[A1] 常数正确。
[A1] 特解正确。
EDX WFM02/01 Jun 2023 Q4(b)
Find the particular solution of the differential equation using given condition.
从通解代边界条件 \rightarrow 求参数 \rightarrow 给出完整特解。
[M1] 条件代入正确。
[A1] 特解正确。
Second-order: CF + PI（二阶常系数方程）
📖 Definition解二阶线性方程需先找 complementary function，再构造 particular integral。
🔑 Key先解 auxiliary equation 得 CF。
PI 形式按 RHS 选型（多项式/指数/三角），共振需乘 x。
总解：y=\text{CF}+\text{PI}。
🎯 Exam focusFP2 的 DE 主力题型：RMS 会独立给 CF 分、PI 形式分、代回求系数分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 解特征方程求 CF。
Step 2 \rightarrow 选合适 PI 形式并代回求系数。
Step 3 \rightarrow 写 GS，必要时再代条件得 PS。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q8(c)(d)
Solve a transformed second-order differential equation and hence obtain the general solution of (I).
先对齐二阶常系数模板 \rightarrow 求 CF \rightarrow 设 PI 并代回求系数 \rightarrow 合并成 GS。
[B1] CF 正确。
[B1] PI 形式正确。
[M1] 代回并求系数过程正确。
[A1] GS 正确（CF+PI）。
EDX WFM02/01 Jan 2022 Q2
Determine the general solution of a second-order differential equation.
解辅助方程 \rightarrow 写 CF \rightarrow 设 PI（含必要 x 因子）\rightarrow 得通解。
[M1] auxiliary equation/CF 正确。
[M1] PI 设置正确。
[A1] 通解完整正确。
6. Differential Equations II
Substitution Transforms（代换降阶/线性化）
📖 Definition用指定替换（如 t=\ln x, v=y-2x, x=t^2）把原方程变为可解形式。
🔑 Key严格按题给 substitution 微分。
目标是把方程化成标准一阶或可分离形式。
🎯 Exam focus“Show that substitution transforms (I) to (II)”是 FP2 招牌题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 对 substitution 求导并替换。
Step 2 \rightarrow 代回 (I) 化简到 (II)。
Step 3 \rightarrow 解 (II)。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q4(a)
Show that a given substitution transforms differential equation (I) into (II).
先写 y 与新变量关系导数 \rightarrow 代回原式 \rightarrow 整理得(II)。
[M1] 正确求导 substitution。
[M1] 代回并消元方向正确。
[A1] 成功得到题给(II)。
EDX WFM02/01 Jan 2022 Q8(a)
Show that transformation v=y-2x transforms (I) into (II).
代 y=v+2x 与 \frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dx}+2 \rightarrow 回代并化简。
[M1] 代换微分关系正确。
[A1] 目标方程(II)正确。
Reverse Substitution to Final Form（反代回原变量）
📖 Definition先在新变量里解出通解，再反代回 x,y 并整理常数。
🔑 Key先解(II)再 reverse。
常数位置需符合题目形式要求。
🎯 Exam focusMS 常单独给分给“reverses substitution and makes y subject”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 完整解(II)。
Step 2 \rightarrow 用 substitution 反代。
Step 3 \rightarrow 化简到题目要求形式。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q8(c)
By solving (II), determine a general solution of (I).
先解(II)得新变量函数 \rightarrow 反代回 y,x \rightarrow 整理常数项。
[M1] (II) 求解结构正确。
[DM1] 依赖求解结果正确反代。
[A1] 原方程通解正确。
EDX WFM02/01 Nov 2021 Q7(c)
Hence determine the general solution of differential equation (I).
调用(b)结果 \rightarrow reverse substitution \rightarrow 写最终 y(x) 通解。
[M1] 反代步骤正确。
[A1] 最终通解正确。
7. Trig & Hyperbolic Methods
Trig Identities & sec/tan Forms（三角恒等与 sec/tan）
📖 Definition围绕 \sec x,\tan x 做恒等化简、导数积分与结构证明。
🔑 Key1+\tan^2x=\sec^2x。
乘除 \cos x 常可降复杂度。
导数：(\tan x)'=\sec^2x, (\sec x)'=\sec x\tan x。
🎯 Exam focusFP2 高频是“prove identity + differentiate/integrate sec/tan composite”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 统一主函数（常转 sec/tan）。
Step 2 \rightarrow 套基本恒等式。
Step 3 \rightarrow 化成目标表达。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q8(a)
For all values where defined, prove a trigonometric identity in sec/tan form.
左式分解重写 \rightarrow 用 1+\tan^2x=\sec^2x \rightarrow 精简到右式。
[M1] 使用核心恒等式。
[M1] 代数化简链正确。
[A1] 恒等式成立。
EDX WFM02/01 Jun 2023 Q6
Given y=\sec x (or related), derive required expression/relationship.
先求导并代入 \sec,\tan 关系 \rightarrow 整理到题给目标。
[M1] 求导正确。
[A1] 目标关系正确。
Hyperbolic/Exponential Links（双曲函数与指数联系）
📖 Definition利用 \sinh,\cosh,\tanh 与指数定义互换，处理方程与导数。
🔑 Key\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2, \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2。
\cosh^2x-\sinh^2x=1。
🎯 Exam focus教材中 FP2 对 hyperbolic 常与指数重排、恒等式和解方程绑定。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选 hyperbolic 或 exponential 表示。
Step 2 \rightarrow 用恒等式/定义变形。
Step 3 \rightarrow 解目标并回写要求形式。
EDX WFM02/01 Jan 2023 Q8
A question involving hyperbolic/exponential equivalence and simplification.
先把双曲函数写指数式 \rightarrow 合并同类 \rightarrow 化为题设目标。
[M1] 定义替换正确。
[A1] 化简结果正确。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q7
Given an exponential model y=e^{...}, derive a transformed relation using substitution.
取对数或变量替换 \rightarrow 转为线性/可分离结构 \rightarrow 求参数关系。
[M1] 变换思路正确。
[A1] 最终关系正确。
8. Series Expansion
Maclaurin Expansion（麦克劳林展开）
📖 Definition在 x=0 附近展开函数，提取前几项用于近似与系数比较。
🔑 Keyf(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots。
组合函数先求导后代 0。
🎯 Exam focusMS 会拆分为“导数值正确”“级数结构正确”“指定阶数正确”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求所需阶导数。
Step 2 \rightarrow 代 Maclaurin 模板。
Step 3 \rightarrow 截断到指定次幂。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q10
Find the Maclaurin expansion of a given function up to a stated order.
算 f(0),f'(0),f''(0),... \rightarrow 代公式 \rightarrow 保留指定项。
[M1] 至少一个导数项正确。
[M1] Maclaurin 结构正确。
[A1] 展开到指定阶正确。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q10
Use expansion to obtain coefficients in a series form.
先展开基础函数 \rightarrow 代入组合式 \rightarrow 收集系数。
[M1] 基础展开正确。
[A1] 系数结果正确。
Series-based Approximation（级数近似应用）
📖 Definition将 Maclaurin/binomial 展开用于数值近似、误差判断或参数求解。
🔑 Key近似时保留到题目要求阶数。
比较系数可反求常数。
误差量级由下一项判断。
🎯 Exam focus常见“Hence find approximate value”或“determine constants from series”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选合适展开式。
Step 2 \rightarrow 代入并截断。
Step 3 \rightarrow 数值代算或系数比较。
EDX WFM02/01 Jun 2024 Q10(b)
Hence use your series to obtain an approximation / determine constants.
调用(a)展开 \rightarrow 代指定 x 或比较同次幂系数 \rightarrow 得近似/参数。
[M1] 正确调用前序展开。
[A1] 近似值或参数正确。
EDX WFM02/01 Jan 2024 Q3(b)
Use a derived algebraic/series expression to determine a requested exact or approximate result.
先写可计算闭式/级数式 \rightarrow 代条件 \rightarrow 输出结果。
[M1] 方法选择正确。
[A1] 最终结果正确。