Edexcel 数学
EDX FP3 Further Pure Mathematics 3 Concept Map
18 个知识节点 · FP3
1. Matrix Core
Determinant & Inverse (3×3)（三阶行列式与逆矩阵）
📖 Definition通过 cofactor/adjugate 方法处理三阶矩阵可逆性与逆矩阵。
🔑 Key\det(A)\neq 0\Rightarrow A^{-1} 存在。
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)。
3×3 要稳定控制符号。
🎯 Exam focusFP3 常考“先 determinant 条件，再完整 inverse”并给细分 method marks。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先展开 \det(A)。
Step 2 \rightarrow 写 cofactor matrix。
Step 3 \rightarrow 转置成 adj 并除以 \det(A)。
EDX WFM03/01 Jun 2023 Q1
Given a 3×3 matrix, find conditions for singular/non-singular and hence determine inverse.
先算 \det(A) 得参数条件 \rightarrow 在可逆前提下构造 cofactors \rightarrow 写 A^{-1}。
[M1] determinant 展开结构正确。
[A1] 条件结论正确。
[M1] cofactor/adjugate 方法正确。
[A1] 逆矩阵正确。
EDX WFM03/01 Jan 2021 Q3
Find exact values of parameter p for which matrix M has no inverse, then determine M^{-1} when invertible.
设 \det(M)=0 解 p \rightarrow 对可逆情况求 adjugate \rightarrow 除以 determinant。
[M1] 设 \det=0 正确。
[A1] p 值正确。
[M1] 逆矩阵流程正确。
[A1] 最终逆矩阵正确。
Transformation & Volume Scale（矩阵变换与体积倍率）
📖 Definition三维线性变换的体积放缩由 |\det(A)| 决定。
🔑 KeyV' = |\det(A)|V。
负号仅表示取向翻转，不影响体积绝对值。
🎯 Exam focus常见压轴小问：由体积变化反求参数或验证矩阵合理性。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求 \det(A)。
Step 2 \rightarrow 写体积倍率方程。
Step 3 \rightarrow 解未知参数或原体积。
EDX WFM03/01 Nov 2021 Q4
Matrix transformation maps a tetrahedron to one with volume 50; determine parameter.
体积关系 50=|\det(M)|\times V \rightarrow 求 \det(M) 的参数表达 \rightarrow 解参数。
[M1] 使用体积倍率关系。
[M1] determinant 参数式正确。
[A1] 参数结论正确。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q2
Transformation by matrix T maps line/shape; infer scale effect and transformed object.
先分析矩阵作用 \rightarrow 用 determinant/列向量变换 \rightarrow 写几何结论。
[M1] 变换方法正确。
[A1] 放缩或像对象结论正确。
2. Eigenvalues & Eigenvectors
Characteristic Equation（特征方程）
📖 Definition由 \det(M-\lambda I)=0 求 eigenvalues，含重根判别。
🔑 Key3×3 常得三次方程。
已知一根时可降次。
重根需注意 algebraic multiplicity。
🎯 Exam focusFP3 高频：给定一条 eigenvalue 信息，要求补齐其余 eigenvalues。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 \det(M-\lambda I)=0。
Step 2 \rightarrow 用已知根因式分解。
Step 3 \rightarrow 解剩余二次/线性因子。
EDX WFM03/01 Apr 2023 Q2
Given 2 is an eigenvalue of A, determine the other two eigenvalues.
在特征多项式中提 (\lambda-2) \rightarrow 降成二次 \rightarrow 求另外两根。
[M1] 特征方程建立正确。
[M1] 因式分解/降次正确。
[A1] 其余特征值正确。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q2
Matrix M has exactly two distinct eigenvalues \lambda_1<\lambda_2; determine required value(s).
由特征方程与 distinct 条件 \rightarrow 处理重复根结构 \rightarrow 得参数/eigenvalue。
[M1] 正确使用 \det(M-\lambda I)。
[A1] distinct 条件应用正确。
Normalised Eigenvectors（单位化特征向量）
📖 Definition对每个 eigenvalue 求特征向量并归一化到单位长度。
🔑 Key解 (M-\lambda I)\mathbf{v}=0。
单位化：\hat v=\frac{v}{\|v\|}。
🎯 Exam focusMS 常把“any correct eigenvector”与“normalised eigenvector”分开给分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 解齐次线性系统。
Step 2 \rightarrow 取最简比例向量。
Step 3 \rightarrow 归一化并检查方向。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q4(a)(b)
Given one vector is an eigenvector, find corresponding eigenvalue and another eigenvector for \lambda=-3.
先算 Mv 对比 \lambda v \rightarrow 再解 (M+3I)v=0 \rightarrow 得向量。
[M1] 正确建立 eigenvector 方程。
[A1] eigenvalue 正确。
[A1] eigenvector 正确。
EDX WFM03/01 Jan 2022 Q5(c)
Determine a normalised eigenvector corresponding to a given eigenvalue.
先解出基础 eigenvector \rightarrow 算模长 \rightarrow 除以模长得单位向量。
[M1] eigenvector 求解正确。
[A1] normalised 结果正确。
3. Diagonalisation
Orthogonal Diagonalisation（正交对角化）
📖 Definition实对称矩阵可写为 P^TMP=D（或 M=PDP^T），其中 P 由正交单位特征向量组成。
🔑 KeyP 列向量需两两正交且单位化。
D 对角元素是对应 eigenvalues。
🎯 Exam focusFP3 极高频综合题，常以“find orthogonal matrix P and diagonal matrix D”收尾。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求完整 eigen-system。
Step 2 \rightarrow 组单位正交矩阵 P。
Step 3 \rightarrow 按列顺序写 D。
EDX WFM03/01 Jan 2021 Q4(c)
Hence find an orthogonal matrix P and a diagonal matrix D such that P^TMP=D.
由前两问特征值/向量 \rightarrow 单位化并组 P \rightarrow 同序写 D。
[M1] 正确组装 P。
[A1] 对角矩阵 D 正确。
[A1] 次序一致且正交条件满足。
EDX WFM03/01 Jun 2022 Q5(c)
Determine diagonal matrix D and orthogonal matrix P for a given matrix M.
求 eigenpairs \rightarrow normalise eigenvectors \rightarrow 组 P, D。
[M1] 采用对角化框架正确。
[A1] P,D 正确。
Matrix Powers via \(PDP^{-1}\)（对角化求矩阵幂）
📖 Definition利用对角化快速计算 M^n 或变换迭代效果。
🔑 KeyM^n=PD^nP^{-1}。
D^n 只需对角元逐项幂。
🎯 Exam focus常见在“hence find transformed vector/line after repeated application”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先对角化。
Step 2 \rightarrow 计算 D^n。
Step 3 \rightarrow 回代得到 M^n 或像。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q4(c) follow-up
Using diagonalisation result, determine derived matrix expression efficiently.
写 M=PDP^{-1} \rightarrow 幂次转到 D \rightarrow 回代求结果。
[M1] 正确使用 PDP^{-1} 结构。
[A1] 结果矩阵/向量正确。
EDX WFM03/01 Oct 2020 Q4
Use eigen-structure to simplify repeated matrix action.
先写本征基分解 \rightarrow 每方向单独放缩 \rightarrow 合成最终向量。
[M1] 本征分解思路正确。
[A1] 迭代结果正确。
4. Conics: Ellipse/Hyperbola
Ellipse Focus & Eccentricity（椭圆焦点与离心率）
📖 Definition在标准椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 中处理焦点、离心率与法线几何。
🔑 Keye=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}。
焦点 (\pm ae,0) 或 (0,\pm ae)。
可用参数点 (a\cos\theta,b\sin\theta)。
🎯 Exam focusFP3 高频：先算 eccentricity，再结合法线/焦点做长度或轨迹证明。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 a,b 并求 e。
Step 2 \rightarrow 写焦点坐标。
Step 3 \rightarrow 代参数点处理线段或法线。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q3
For ellipse E, find eccentricity and use focus information in a follow-up geometric result.
先由方程读 a,b \rightarrow 算 e 与 focus S \rightarrow 代点关系收尾。
[B1] eccentricity 公式正确。
[A1] e 值正确。
[M1] 焦点几何使用正确。
[A1] 结论正确。
EDX WFM03/01 Jan 2022 Q8
Determine eccentricity of ellipse and deduce a related metric property.
直接求 e \rightarrow 用椭圆定义或焦点距离关系推导目标量。
[M1] 求 e 方法正确。
[A1] 推导结果正确。
Hyperbola Geometry（双曲线几何）
📖 Definition处理双曲线参数、焦点、离心率及与直线/参数线的结合。
🔑 Key标准型决定渐近线与焦点。
离心率 e>1。
常与参数角 \theta 和轨迹结合。
🎯 Exam focus常见题：给 hyperbola 与参数条件，推导点轨迹或化为 ellipse/hyperbola 方程。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写标准参数与焦点数据。
Step 2 \rightarrow 引入题设线/点关系。
Step 3 \rightarrow 消参得到目标轨迹。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q1
The hyperbola H has ... and eccentricity e. Determine required parameters and follow-up geometry.
先按标准型求 a,b,e \rightarrow 代入题给约束 \rightarrow 解目标量。
[M1] 双曲线参数关系正确。
[A1] 关键参数正确。
EDX WFM03/01 Jun 2021 Q8
Given a hyperbola setup, show that as \theta varies, a point lies on an ellipse with a given equation.
写点坐标参数式 \rightarrow 消去 \theta \rightarrow 化到椭圆标准式。
[M1] 参数化正确。
[M1] 消参路径正确。
[A1] 椭圆方程正确。
Tangents from External Point（外点作圆锥曲线切线）
📖 Definition从曲线外一点引切线，利用联立判别式或参数切线方程求切线与切点。
🔑 Key联立后“相切”条件为判别式 \Delta=0。
亦可用参数点切线式（ellipse/hyperbola）再代外点。
🎯 Exam focusFP3 里 hyperbola/ellipse 常考“过定点作两条切线 + 切点坐标/轨迹”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 设过外点直线 y=mx+c 或参数切线。
Step 2 \rightarrow 与曲线联立并令 \Delta=0。
Step 3 \rightarrow 解斜率与切点并筛选两条切线。
EDX WFM03/01 Oct 2020 Q5(b)(c)
Given hyperbola H, find equations of tangents through an external point and coordinates of contact points.
设过定点直线 \rightarrow 与 H 联立得二次 \rightarrow 令 \Delta=0 解两条切线 \rightarrow 回代求切点。
[M1] 联立并形成二次式。
[M1] 使用相切判别式 \Delta=0。
[A1] 两条切线方程正确。
[A1] 切点坐标正确。
EDX WFM03/01 Jun 2023 Q6(a)(b)
For ellipse E, derive tangent and normal equations at a parametric point P.
参数点求切线斜率 \rightarrow 点斜式写 tangent \rightarrow 负倒数写 normal。
[M1] 切线求法正确。
[A1] tangent 方程正确。
[A1] normal 方程正确。
5. Parametric Curves
Parametric Differentiation（参数方程微分）
📖 Definition对 x(t),y(t) 用 \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} 与二阶导处理曲线性质。
🔑 Key\frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x}。
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})/\frac{dx}{dt}。
🎯 Exam focusFP3 常考给 parametric curve，要求切线斜率、凹凸性、stationary 条件。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求 dx/dt,dy/dt。
Step 2 \rightarrow 写 dy/dx。
Step 3 \rightarrow 需要时再求二阶导。
EDX WFM03/01 Apr 2023 Q6
A curve has parametric equations; find derivative information and related coordinate results.
求 \dot x,\dot y \rightarrow 得 dy/dx \rightarrow 代特定 t 求斜率/点。
[M1] 正确使用 \frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x}。
[A1] 斜率/坐标正确。
EDX WFM03/01 Jun 2022 Q5
For a parametric curve, derive an equation involving tangent/normal features.
由参数导数得切线斜率 \rightarrow 取负倒数得法线 \rightarrow 写直线式。
[M1] 导数步骤正确。
[A1] 法线或目标式正确。
Tangents/Normals & Loci（参数曲线切法线与轨迹）
📖 Definition结合参数点的切线/法线方程，推进到轨迹或几何性质。
🔑 Key切线：点斜式。
法线斜率 m_n=-1/m_t。
常需消去参数得到 locus。
🎯 Exam focus题型经常是“normal intersects conic again”或“as parameter varies, show locus ...”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 在参数点求切法线。
Step 2 \rightarrow 与其他曲线/轴联立。
Step 3 \rightarrow 消去参数给结论。
EDX WFM03/01 Jan 2021 Q8
Point P=(5\cos\theta,4\sin\theta) on ellipse, line l is normal at P; derive required relation.
先对椭圆参数式求切线斜率 \rightarrow 得 normal l \rightarrow 联立焦点条件推结论。
[M1] 切线/法线斜率正确。
[M1] 联立关系正确。
[A1] 最终关系正确。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q6
For a conic point in parametric form, establish equation of line/normal and deduce a second point property.
参数代入 \rightarrow 写线方程 \rightarrow 二次联立得另一点并化简。
[M1] 线方程结构正确。
[A1] 推导结果正确。
6. Hyperbolic Functions
sinh/cosh/tanh Identities（双曲恒等式）
📖 Definition用指数定义与恒等式处理双曲函数化简、证明、求值。
🔑 Key\cosh^2x-\sinh^2x=1。
\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}。
加法/倍角关系常与指数互证。
🎯 Exam focusFP3 高频：先用定义证明，再做计算/方程。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 必要时改写指数形式。
Step 2 \rightarrow 套恒等式。
Step 3 \rightarrow 化到目标结构。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q5(a)
Use definitions in terms of exponentials to prove a hyperbolic identity.
将 \sinh,\cosh 全部写成指数 \rightarrow 通分整理 \rightarrow 得目标恒等式。
[M1] 正确替换至少两项为指数式。
[M1] 代数整理正确。
[A1] 结论成立。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q4(a)
Show a given relation between hyperbolic expressions using exponential definitions.
指数替换 \rightarrow 合并同类 \rightarrow 回写双曲函数形式。
[M1] 替换正确。
[A1] 目标关系正确。
arsinh/arcosh/artanh（反双曲函数）
📖 Definition求反双曲函数值、导数与积分，并与对数形式互转。
🔑 Key\operatorname{arsinh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})。
\operatorname{arcosh}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),x\ge1。
\operatorname{artanh}x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}。
🎯 Exam focusMS 会检查定义域合法性（如 arcosh 输入需 \ge1）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判断可取范围。
Step 2 \rightarrow 用对数闭式或反函数定义。
Step 3 \rightarrow 求导/积分时保持函数链条完整。
EDX WFM03/01 Jun 2023 Q8(a)
Differentiate x\,\operatorname{arcosh}(5x) with respect to x.
用乘法法则 \rightarrow 再链式求 (\operatorname{arcosh}(5x))' \rightarrow 化简。
[M1] 乘法法则结构正确。
[M1] arcosh 导数链式正确。
[A1] 导函数正确。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q4(b)(c)
Evaluate/transform expressions involving \operatorname{arsinh}, \operatorname{artanh} using logarithmic forms.
先写反双曲对数式 \rightarrow 代值化简 \rightarrow 检查域与符号。
[M1] 对数形式写对。
[A1] 数值/表达正确。
7. Vector Geometry in 3D
Line/Plane Equations（直线与平面方程）
📖 Definition在 3D 中建立向量式、参数式、Cartesian 式并互转。
🔑 Key线：\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf d。
平面：\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0。
两向量叉乘可给平面法向。
🎯 Exam focusFP3 高频：由点与法向写平面，再转成参数或坐标形式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 提取方向向量/法向量。
Step 2 \rightarrow 写目标方程形式。
Step 3 \rightarrow 按题意互转。
EDX WFM03/01 Jun 2023 Q4
Plane \Pi_1 contains point A and is normal to a given vector; determine equation(s).
直接用 \mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf a)=0 \rightarrow 展开得 Cartesian \rightarrow 必要时写 parametric。
[M1] 平面方程结构正确。
[A1] 方程正确。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q9
Given plane vector equation, derive related line/plane form and subsequent relation.
从向量式读两方向向量与点 \rightarrow 求法向并写对应 Cartesian/line。
[M1] 正确提取向量信息。
[A1] 转化方程正确。
Angles & Distances（空间角度与距离）
📖 Definition计算线线、线面、点线、点面的角度与最短距离。
🔑 Key线面角：用方向向量与法向互补。
点到平面距离：\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}。
点到线距离常用叉乘。
🎯 Exam focus题目常把几种距离混合，最后要求 exact surd。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 确认向量对象（direction/normal）。
Step 2 \rightarrow 选对应公式。
Step 3 \rightarrow 写 exact 值并说明最短性。
EDX WFM03/01 Apr 2023 Q4/7
Find acute angle between a line and a plane, and determine shortest distance from point to plane/line.
先求法向与方向点积 \rightarrow 转角 \rightarrow 用距离公式或叉乘法求最短距。
[M1] 角度方法正确。
[M1] 距离公式应用正确。
[A1] exact 值正确。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q8
Determine a geometric distance in 3D from line/plane setup.
先写所需点或交点 \rightarrow 建立最短距离表达式 \rightarrow 计算并化简。
[M1] 几何建模正确。
[A1] 最终距离正确。
Shortest Distance Between Skew Lines（异面直线最短距离）
📖 Definition两条不相交且不平行直线的最短距离由公共垂线方向给出。
🔑 Key公共垂线方向：\mathbf n=\mathbf d_1\times\mathbf d_2。
距离：\frac{|(\mathbf a_2-\mathbf a_1)\cdot \mathbf n|}{\|\mathbf n\|}。
🎯 Exam focusFP3 在 3D 向量题里非常高频，且常作为多问题最终高分点。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 提取两线方向向量 \mathbf d_1,\mathbf d_2。
Step 2 \rightarrow 算 \mathbf n=\mathbf d_1\times\mathbf d_2。
Step 3 \rightarrow 代投影公式求 exact distance。
EDX WFM03/01 Nov 2021 Q6
For two skew lines l_1,l_2, determine the shortest distance between them.
取各线一点 \mathbf a_1,\mathbf a_2 \rightarrow 算 \mathbf n=\mathbf d_1\times\mathbf d_2 \rightarrow 用投影公式求最短距离。
[M1] 叉乘方向 \mathbf n 正确。
[M1] 正确使用投影距离公式。
[A1] 最短距离正确。
EDX WFM03/01 Apr 2023 Q4(c)
Use line/plane data to obtain a shortest distance expression and evaluate exactly.
先化为两线或点面距离模型 \rightarrow 写向量投影式 \rightarrow exact 化简。
[M1] 模型转化正确。
[A1] 距离值正确。
8. 3D Intersections
Line-Plane Intersection（线面交点）
📖 Definition将直线参数式代入平面方程解参数，求唯一交点或判断关系。
🔑 Key代 \mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf d 入平面。
若无解则平行；若恒成立则线在面内。
🎯 Exam focusFP3 高频在 multi-step 题中作为中间桥梁，影响后续距离题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写线参数式。
Step 2 \rightarrow 代平面方程解 \lambda。
Step 3 \rightarrow 回代取交点。
EDX WFM03/01 Jan 2024 Q8(c)
Substitute parametric line into plane equation to find intersection point.
代入 \rightarrow 解 \lambda \rightarrow 回代得坐标并用于后续。
[M1] 代入线方程正确。
[A1] 交点正确。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q9
Find point where a derived line meets a given plane.
写 line DE 参数式 \rightarrow 代入 \Pi \rightarrow 解参数并求点。
[M1] 参数方程建立正确。
[A1] 交点结果正确。
Plane-Plane Relations（平面间关系）
📖 Definition判断平面平行/垂直/相交，并求夹角或交线。
🔑 Key法向量平行 \Rightarrow 平面平行。
法向点积 =0\Rightarrow 垂直。
交线方向 =\mathbf n_1\times\mathbf n_2。
🎯 Exam focus常见组合：先求交线，再求与另一线/面的角度或距离。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 比较法向量。
Step 2 \rightarrow 若相交求交线方向。
Step 3 \rightarrow 求夹角或后续量。
EDX WFM03/01 Jun 2024 Q9(b)
Given two planes, determine relation and derive required vector equation.
先取 \mathbf n_1,\mathbf n_2 判关系 \rightarrow 用叉乘求交线方向 \rightarrow 写向量式。
[M1] 法向关系判断正确。
[M1] 交线方向求法正确。
[A1] 结果方程正确。
EDX WFM03/01 Apr 2023 Q4
Use two plane equations to eliminate variables and deduce geometric relationship.
联立两平面 \rightarrow 消元得交线条件 \rightarrow 写几何结论。
[M1] 联立消元正确。
[A1] 关系与方程正确。