Edexcel 数学
EDX M2 Mechanics 2 Concept Map
17 个知识节点 · M2
1. Vector Kinematics
Vector (\mathbf{v}, \mathbf{a}\) Modelling（向量速度加速度建模）
📖 Definition在二维运动中把速度、加速度写成 \mathbf{i},\mathbf{j} 分量，分方向分析。
🔑 Key\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}, \mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}。
模长：|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}。
方向角常用 \tan\theta=\frac{v_y}{v_x}。
🎯 Exam focusM2 常考“先求向量，再求 speed 或 angle”，并要求角度象限判断正确。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写分量函数。
Step 2 \rightarrow 分别微分/代值。
Step 3 \rightarrow 用模长与反三角函数求 speed/方向。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q1(a)(b)
Find velocity vector, speed and direction angle from component motion.
先由分量速度写 \mathbf{v} \rightarrow 用 Pythagoras 求 speed \rightarrow 用 \tan^{-1} 求方向并定象限。
[M1] 速度向量结构正确。
[A1] 向量分量正确。
[M1] 正确使用模长/反正切。
[A1] speed 正确。
[A1] 角度正确。
EDX WME02/01 Oct 2023 Q1
A particle has vector motion in \mathbf{i},\mathbf{j}. Find magnitude and direction at a stated time.
代入给定 t \rightarrow 得 v_x,v_y \rightarrow 算 |\mathbf{v}| 与方向角。
[M1] 代时刻求分量正确。
[A1] 向量值正确。
[A1] 速度与方向正确。
Integrating Vector Motion（向量运动积分）
📖 Definition由 \mathbf{v}(t) 积分得到 \mathbf{r}(t)，并用初始条件确定常数向量。
🔑 Key\mathbf{r}=\int \mathbf{v}\,dt。
初值条件：\mathbf{r}(t_0)=\mathbf{r}_0 用于求积分常数。
分量独立积分。
🎯 Exam focus常考“先求 \mathbf{r}(t)，再求某时刻位置/位移”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 逐分量积分。
Step 2 \rightarrow 代初值解常数。
Step 3 \rightarrow 回代求目标位置。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q3(b)
Given \mathbf{v}(t), find \mathbf{r}(t) using a boundary condition and then position at t=\frac{2\pi}{3}.
积分 \mathbf{v} \rightarrow 用 t=0 初始位置定常数 \rightarrow 代 t=\frac{2\pi}{3} 求 \mathbf{r}。
[M1] 向量积分结构正确。
[A1] 不定积分正确。
[M1] 正确应用边界条件。
[A1] 一项分量正确。
[A1] 两项分量均正确。
EDX WME02/01 Mar 2024 Q2(c)
Integrate a scalar/vector velocity model to obtain displacement over an interval.
先做不定积分或定积分 \rightarrow 保留分量一致 \rightarrow 得区间位移。
[M1] 积分操作正确。
[A1] 积分表达式准确。
[A1] 位移结果正确。
2. Relative Motion
Relative Velocity Equations（相对速度方程）
📖 Definition相对运动用向量差描述：\mathbf{v}_{A/B}=\mathbf{v}_A-\mathbf{v}_B。
🔑 Key船流/风速题核心是 ground velocity = own velocity + medium velocity。
相遇条件常转为相对位移平行于相对速度。
🎯 Exam focus高频是“minimum time / shortest path / true bearing”，关键是分量坐标建立准确。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 设统一坐标（东-北）。
Step 2 \rightarrow 写相对速度。
Step 3 \rightarrow 用几何条件解时间或航向。
EDX WME02/01 Jun 2024 Q2
Use relative velocity to determine course angle needed to reach a target with drift.
写 \mathbf{v}_{ground}=\mathbf{v}_{boat}+\mathbf{v}_{drift} \rightarrow 分量方程 \rightarrow 解航向角。
[M1] 相对速度框架正确。
[A1] 分量方程正确。
[A1] 角度答案正确。
EDX WME02/01 Oct 2022 Q2
Two moving particles with constant vectors. Determine whether and when they meet.
先写 \mathbf{r}_A(t),\mathbf{r}_B(t) \rightarrow 令两分量同值联立 \rightarrow 验证同一 t。
[M1] 建立相遇联立方程。
[A1] 时间值正确。
[A1] 相遇判定正确。
Bearing & Interception（方位角与拦截）
📖 Definition将 bearing 转为坐标分量，通过位置方程求最短截获策略。
🔑 Keybearing \beta 常转为：东向 v\sin\beta、北向 v\cos\beta。
拦截要求同一时刻同一位置。
🎯 Exam focus考官喜欢把文字方向描述和向量坐标转换结合，方向定义错误会连锁失分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把 bearing 转分量。
Step 2 \rightarrow 写拦截方程组。
Step 3 \rightarrow 求时间后反算速度或角度。
EDX WME02/01 May 2023 Q2
Convert given bearings to vectors and find interception time.
先由 bearing 得速度分量 \rightarrow 写两对象位置向量 \rightarrow 联立解 t。
[M1] bearing 转分量正确。
[M1] 拦截联立结构正确。
[A1] 时间答案正确。
EDX WME02/01 Jun 2024 Q4
Determine required heading for interception under current/wind effect.
用相对速度方向对准目标位移 \rightarrow 建立角度方程 \rightarrow 求 heading。
[M1] 相对方向条件正确。
[A1] 方程解正确。
[A1] heading 正确。
2D Projectiles & Trajectory（二维抛体与轨迹）
📖 Definition将抛体在水平与竖直方向分离建模，结合 elimination 求轨迹、飞行时间与落点条件。
🔑 Key水平：x=u\cos\theta\,t。
竖直：y=u\sin\theta\,t-\frac12gt^2。
消去 t 可得轨迹方程 y(x)。
🎯 Exam focusM2 常把 projectile 与相对位移/拦截合并，重点在建立“同一时刻”条件，而非单纯代公式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 分别写 x(t),y(t)。
Step 2 \rightarrow 由水平式求 t 或直接消去。
Step 3 \rightarrow 代竖直式解参数，并检查物理解（t>0）。
EDX WME02/01 May 2023 Q7
A particle is projected and passes through a fixed point. Find the required parameter/angle.
写 x=u\cos\theta\,t, y=u\sin\theta\,t-\frac12gt^2 \rightarrow 用给定点消去 t \rightarrow 解目标参数。
[M1] 正确建立两分量方程。
[M1] 正确消元或代时刻。
[A1] 参数/角度正确。
EDX WME02/01 Jun 2024 Q4(b)
Use projectile equations to determine whether an intercept/hit is possible and find the meeting time.
先写抛体位置与目标位置 \rightarrow 联立同一时刻条件 \rightarrow 解 t 并验证可行。
[M1] 拦截联立结构正确。
[DM1] 依赖联立求得同一 t。
[A1] 结论与数值正确。
3. Forces, Power, Resistance
Power-Force-Speed Link（功率牵引力速度关系）
📖 Definition利用 P=Fv 把发动机功率、牵引力与速度联系到动力学方程。
🔑 KeyP=Fv\Rightarrow F=\frac{P}{v}。
上坡常含 mg\sin\alpha 与阻力项。
稳速时 a=0。
🎯 Exam focusM2 高频：先由 N2L 求有效驱动力，再用 P=Fv 求功率或速度。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 沿斜坡写 \Sigma F=ma。
Step 2 \rightarrow 得牵引力 F。
Step 3 \rightarrow 代入 P=Fv。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q2(a)
Find engine power needed to pull a car-trailer system up a slope at constant speed.
稳速令 a=0 \rightarrow 写阻力+重力分量平衡 \rightarrow 求牵引力后乘速度。
[M1] 方程包含正确力项。
[A1] 未化简方程正确。
[A1] 力值正确。
[M1] 正确使用 P=Fv。
[A1] 功率答案正确。
EDX WME02/01 Aug 2024 Q2
Use given power and resistance model to find speed.
先写 F_{drive}=\frac{P}{v} \rightarrow 代入动力学平衡式 \rightarrow 解 v。
[M1] 建立 P=Fv 关系。
[M1] 动力学方程结构正确。
[A1] 速度值正确。
Work-Energy with Resistance（阻力做功与能量）
📖 Definition用能量守恒扩展式：初始 KE = 末态 KE + 增量 GPE + 阻力做功。
🔑 Key\Delta KE = W_{net}。
阻力做负功：W_R=Rd。
坡面位能变化 mgh = mgd\sin\alpha。
🎯 Exam focusEdexcel 常针对 trailer-only 或 subsystem-only 建式，选错系统会丢 M1。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先选系统边界。
Step 2 \rightarrow 写 KE/GPE/阻力项。
Step 3 \rightarrow 解距离或速度并检验正值。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q2(b)
Using work-energy for trailer only, find distance moved before stopping.
写 KE_{lost}=\Delta GPE+W_R \rightarrow 全部化为 d 方程 \rightarrow 解 d。
[M1] 正确使用功-能原理。
[A1] 一元方程结构正确。
[A1] 方程准确。
[A1] 距离答案正确。
EDX WME02/01 May 2023 Q4
Determine speed after travelling distance with resistance and slope.
写能量变化方程 \rightarrow 将势能与阻力功并入 \rightarrow 解末速。
[M1] 能量项完整。
[A1] 方程正确。
[A1] 末速度正确。
4. Variable Acceleration
\(a(t)\) Models（时间函数加速度模型）
📖 Definition当加速度随时间变化时，通过积分链 a\rightarrow v\rightarrow x 求运动量。
🔑 Keyv=\int a\,dt, x=\int v\,dt。
每次积分都需常数，靠初值求定。
🎯 Exam focus常见连问：先验证给定参数，再求时刻加速度，再求位移。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从 a(t) 积分得 v(t)。
Step 2 \rightarrow 用速度初值定常数。
Step 3 \rightarrow 再积一次求位移。
EDX WME02/01 Mar 2024 Q2(a)(b)(c)
Given polynomial/exponential time model, explain parameter value, then find acceleration and displacement.
先代入条件解参数 \rightarrow 微分/积分转换 \rightarrow 带上下限求位移。
[M1] 解释参数方程正确。
[A1] 参数值与解释正确。
[M1] 正确微分/积分。
[A1] 加速度值正确。
[M1] 位移积分结构正确。
[A1] 位移正确。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q3(a)
Find force vector from time-dependent acceleration.
先求 \mathbf{a}(t) \rightarrow 用 \mathbf{F}=m\mathbf{a} 得力向量。
[M1] 求 \mathbf{a} 方法正确。
[M1] 正确应用 \mathbf{F}=m\mathbf{a}。
[A1] 力向量正确。
\(a(v)\) / \(a(x)\) Models（速度/位移函数加速度）
📖 Definition当 a 以 v 或 x 表示时，用链式关系 a=v\frac{dv}{dx} 连接变量。
🔑 Keya=v\frac{dv}{dx}。
若给 a(v) 可分离变量积分求 v(t) 或 x(v)。
🎯 Exam focus常考“求 stopping distance / maximum speed”，核心是变量替换与积分边界。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别用 a=v\frac{dv}{dx} 还是 a=\frac{dv}{dt}。
Step 2 \rightarrow 建可积分形式。
Step 3 \rightarrow 代边界求常数与结果。
EDX WME02/01 Oct 2023 Q3
Given acceleration as a function of speed, determine distance to reduce speed from u to v.
改写为 v\frac{dv}{dx}=a(v) \rightarrow 分离并积分 u\to v \rightarrow 求 x。
[M1] 正确使用 a=v\frac{dv}{dx}。
[M1] 积分边界设置正确。
[A1] 距离结果正确。
EDX WME02/01 Jun 2024 Q5
Use a variable-acceleration relation to find terminal/critical speed.
令临界条件 a=0 或极值条件 \rightarrow 代模型解 v。
[M1] 临界条件设定正确。
[A1] 速度结果正确。
5. Momentum in 2D
2D Momentum Vectors（二位动量向量）
📖 Definition碰撞前后动量作为向量守恒，分量方程常与几何条件并用。
🔑 Keym_1\mathbf{u}_1+m_2\mathbf{u}_2=m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2。
可在 \mathbf{i},\mathbf{j} 分别守恒。
🎯 Exam focusM2 明确会给向量答案分；只写模长通常不够。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写向量 CLM 母式。
Step 2 \rightarrow 分 i,j 分量。
Step 3 \rightarrow 回到向量形式输出。
EDX WME02/01 Aug 2024 Q1
For two particles in 2D, find unknown post-collision velocity vector.
写总动量向量守恒 \rightarrow 分量方程联立 \rightarrow 得 \mathbf{v}。
[M1] 向量 CLM 结构正确。
[A1] 未化简方程正确。
[A1] 速度向量正确。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q1(a)
Compute total kinetic energy before collision from vector speeds.
先算每粒子 |\mathbf{u}|^2 \rightarrow 代 \frac12m|\mathbf{u}|^2 求和。
[M1] KE 结构式正确。
[A1] 未化简表达式正确。
[A1] KE 总值正确。
Impulse as Vector Change（冲量向量变化）
📖 Definition冲量是动量变化向量：\mathbf{I}=m(\mathbf{v}-\mathbf{u})。
🔑 Key作用与反作用冲量大小相等方向相反。
若题目要 vector form，必须含 \mathbf{i},\mathbf{j}。
🎯 Exam focusMS 常单独给分给“vector form”与“单位”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写 m(\mathbf{v}-\mathbf{u})。
Step 2 \rightarrow 展开成 i,j 分量。
Step 3 \rightarrow 按题意给方向或大小。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q1(b)
Find change in momentum of particle (A) in vector form.
直接用 \Delta\mathbf{p}=m(\mathbf{v}-\mathbf{u}) \rightarrow 化成 i,j 分量。
[M1] 动量变化结构正确。
[A1] 向量分量正确。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q1(c)
Use impulse-momentum to obtain velocity of particle (B).
利用 \mathbf{I}_B=-\mathbf{I}_A \rightarrow 写 m_B(\mathbf{v}_B-\mathbf{u}_B)= -\Delta\mathbf{p}_A \rightarrow 解 \mathbf{v}_B。
[M1] 冲量反向关系使用正确。
[A1] 未化简方程正确（ft 允许）。
[A1] 最终向量速度正确。
6. Impact & Restitution
CLM + Restitution Coupling（守恒与恢复系数耦合）
📖 Definition一维碰撞常需同时用 CLM 与 e-equation 才能解全未知。
🔑 KeyCLM：m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2。
恢复系数：v_2-v_1=e(u_1-u_2)。
🎯 Exam focusM2 高频把这两式放在同一问，DM mark 明确依赖两个 M mark。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写 CLM。
Step 2 \rightarrow 再写 restitution。
Step 3 \rightarrow 联立解目标速度。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q4(a)
Two particles collide in 1D. Use CLM and restitution to show a given expression for speed.
按顺序写 CLM 与 e 式 \rightarrow 联立消元 \rightarrow 推到给定结果。
[M1] CLM 方法正确。
[A1] CLM 方程正确。
[M1] restitution 方法正确。
[A1] restitution 方程正确。
[DM1] 依赖双方法联立求解。
[A1] 结论正确。
EDX WME02/01 Jan 2023 Q5(a)
Find post-impact velocity in terms of (e).
CLM \rightarrow restitution \rightarrow 联立得 v(e)。
[M1] CLM 结构正确。
[M1] restitution 结构正确。
[A1] v(e) 正确。
Second-Collision Conditions（二次碰撞条件）
📖 Definition判断二次碰撞本质是比较第一次碰后相对速度方向与大小。
🔑 Key若后方粒子速度大于前方且方向同向，则可能追上再撞。
常转成关于 e 的不等式区间。
🎯 Exam focusEdexcel 常给 B1 在“先写两粒子碰后速度表达式”，再用不等式拿最终区间。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写碰后速度 v_A(e),v_B(e)。
Step 2 \rightarrow 写追及条件不等式。
Step 3 \rightarrow 与 0<e<1 合并。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q4(b)
Given post-collision speeds in terms of (e), find range of (e) for a second collision.
先写两速度式 \rightarrow 建立 (v_{rear}>v_{front}) 不等式 \rightarrow 合并物理范围。
[B1] 至少一个速度表达式正确。
[B1] 另一速度表达式正确。
[M1] 二次碰撞不等式建立正确。
[A1] (e) 区间正确。
EDX WME02/01 Oct 2023 Q5(b)
Decide if a second impact occurs for a given (e).
代入给定 e 到速度式 \rightarrow 比较相对速度符号 \rightarrow 判定是否再碰。
[M1] 比较方法正确。
[A1] 判定结论正确。
7. Centres of Mass
Composite Lamina Moments（复合薄片质心）
📖 Definition复合图形质心通过面积加权矩求得，空洞区域视作负面积。
🔑 Key\bar x=\frac{\sum A_ix_i}{\sum A_i}, \bar y=\frac{\sum A_iy_i}{\sum A_i}。
挖去部分 A<0。
🎯 Exam focusM2 典型题：大圆减小圆（或扇形）求质心坐标，再带参数化简。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 列每部分面积与质心位置。
Step 2 \rightarrow 写总矩方程。
Step 3 \rightarrow 化简并检查范围。
EDX WME02/01 Mar 2024 Q3(a)
A circular lamina with a removed disc has centre of mass at X. Derive expression for parameter (k).
按正负面积列矩 \rightarrow 关于轴取矩为 0 \rightarrow 整理得 k 关系式。
[B1] 面积与距离设定正确。
[M1] 取矩方程结构正确。
[A1] 未化简方程正确。
[A1] 推导结论正确。
EDX WME02/01 Oct 2022 Q3
Find centroid of a composite lamina formed by adding/removing simple shapes.
写每个子图形 A,x,y \rightarrow 代入加权公式 \rightarrow 得总质心。
[M1] 加权质心方法正确。
[A1] 至少一坐标正确。
[A1] 两坐标均正确。
Centroid with Parameters（参数化质心约束）
📖 Definition当质心位置受区间或角度条件约束时，通过不等式与几何关系解参数范围。
🔑 Key参数条件常来自几何可行性，如 0<k<\frac{R}{R-r}。
再代特殊比例求角度/斜率。
🎯 Exam focus常考“证明参数范围”“由参数求倾角 \alpha”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从质心公式提参数。
Step 2 \rightarrow 用几何边界写不等式。
Step 3 \rightarrow 再求衍生量（如 \tan\alpha）。
EDX WME02/01 Mar 2024 Q3(b)(c)
Find valid range of (k), then evaluate geometry quantity when (k=\frac49\).
先由位置约束写 k 不等式 \rightarrow 代指定 (k) \rightarrow 用几何比求 \tan\alpha。
[M1] 正确建立参数不等式。
[A1] 范围正确。
[B1] 指定 (k) 代入正确。
[A1] 几何目标量正确。
EDX WME02/01 Jan 2023 Q6
Use centroid condition to determine unknown geometric parameter.
质心坐标与给定条件联立 \rightarrow 解参数 \rightarrow 验证在几何可行区间。
[M1] 联立结构正确。
[A1] 参数值正确。
[B1] 可行性判断正确。
8. Modelling Synthesis
Multi-model Pipeline（多模型串联）
📖 DefinitionM2 真题常把向量、动力学、能量或碰撞串成 pipeline，核心是阶段切换清晰。
🔑 Key阶段标签：Kinematics \rightarrow Dynamics \rightarrow Energy/Impact。
每阶段只用有效定律。
🎯 Exam focus高分关键不是复杂算术，而是阶段间变量传递（如 v, t, e, k）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先画阶段流程图。
Step 2 \rightarrow 每段写主方程。
Step 3 \rightarrow 变量回代并最终一致性检查。
EDX WME02/01 Jan 2022 Q2 + Q3
A context linking power/resistance and later vector kinematics quantities.
先在动力学段求力/功率 \rightarrow 再切向量运动段求 \mathbf{r},\mathbf{v} \rightarrow 统一输出。
[M1] 第一模型方程正确。
[DM1] 依赖第一段进入第二段。
[M1] 第二模型主方程正确。
[A1] 关键中间量正确。
[A1] 最终答案正确。
EDX WME02/01 Mar 2024 Q1-Q3
Paper flow requiring vector momentum, variable acceleration and centroid reasoning.
先做 vector impact \rightarrow 再做 calculus motion \rightarrow 最后做 centroid moments。
[M1] 模型切换逻辑正确。
[A1] 各段核心方程正确。
[A1] 综合结果正确。
MS Dependency Control（评分依赖链控制）
📖 Definition按 Edexcel M2 的 M/A/DM 依赖顺序写解题流程，确保失误后仍保 method marks。
🔑 Key先保 M：正确项数、维度、分解。
A 常依赖 M；DM 明确依赖前序 M。
向量题需注意形式分（component / vector form）。
🎯 Exam focusM2 的 DM 标记比 M1 更密集，写“母式”是稳分关键。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 每问先写结构式。
Step 2 \rightarrow 再代值与化简。
Step 3 \rightarrow 标注 units、方向与有效位。
EDX WME02/01 Jan 2022 MS Notes Q4
Understand why solving speed needed both CLM and restitution before gaining DM1.
先写两个独立方法式 \rightarrow 再联立消元 \rightarrow 才触发 DM1 链。
[B1] 正确识别双方法要求。
[B1] 正确识别 DM 依赖关系。
[A1] 能落实到书写顺序。
EDX WME02/01 Aug 2024 MS General Principles
Apply mechanics marking principles to avoid avoidable method loss.
先检查维度与项数 \rightarrow 再做精算 \rightarrow 末尾校验方向与单位。
[M1] 方法框架符合 MS。
[A1] 表达规范，具 follow-through 友好性。