Edexcel 数学
EDX P1 Pure Mathematics 1 Concept Map
18 个知识节点 · P1
1. Algebra Fundamentals
Indices & Surds（指数与根式）
📖 Definition用 index laws 与 surd rationalisation 统一处理幂次与根式表达。
🔑 Key指数律：a^m a^n=a^{m+n}, a^{-n}=\frac1{a^n}, (a^m)^n=a^{mn}。
根式：\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b, 分母有根号时用共轭有理化。
🎯 Exam focusEDX 常把 simplification + exact value 绑定，若用小数代替 exact surd 会丢 A mark。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 统一写成同底数幂。
Step 2 \rightarrow 负指数转分式。
Step 3 \rightarrow 有理化分母并整理成最简 surd。
EDX WMA11/01 Jan 2023 Q1
Simplify an expression involving a^{-\frac12}, a^{\frac32} and surd terms, giving exact form.
先同底数合并指数 \rightarrow 负幂转倒数 \rightarrow 根式部分用共轭有理化 \rightarrow 化成最简 exact form。
[M1] 至少一处指数律正确应用。
[M1] 共轭有理化结构正确。
[A1] 化简结果完全正确（exact）。
EDX WMA11/01 May 2024 Q1(a)
Write a mixed index-surd expression in the form k\sqrt m where k,m\in\mathbb{Z}.
先把分式幂转根式 \rightarrow 合并同类 surd \rightarrow 提取整数系数。
[B1] 形式转化方向正确。
[M1] surd 合并过程正确。
[A1] k\sqrt m 最终正确。
Factor / Remainder Theorem（因式与余式定理）
📖 Definition通过 f(a) 的值判定 (x-a) 是否为因式，并用除法求完整分解。
🔑 Key余式定理：f(a) 是 (x-a) 的余式。
因式定理：若 f(a)=0，则 (x-a) 是因式。
配合 polynomial division 找二次因式。
🎯 Exam focus高频为“先求参数 k 使其可整除，再完全因式分解”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 代入根条件写 f(a)=0。
Step 2 \rightarrow 解参数。
Step 3 \rightarrow 除以线性因式并分解剩余二次式。
EDX WMA11/01 May 2023 Q2
Given (x-2) is a factor of f(x), find parameter and hence factorise fully.
用 f(2)=0 求参数 \rightarrow 代回多项式 \rightarrow 长除/综合除法 \rightarrow 完全分解。
[M1] 正确建立 f(2)=0。
[A1] 参数正确。
[M1] 多项式除法结构正确。
[A1] 完全分解正确。
EDX WMA11/01R May 2024 Q2
Find the remainder when a cubic is divided by (x+1), then use a root condition to solve a constant.
先算 f(-1) 得余式 \rightarrow 套给定 root/factor 条件建方程 \rightarrow 解常数。
[B1] 余式值正确。
[M1] 条件方程建立正确。
[A1] 常数结果正确。
2. Functions & Graphs
Function Notation & Composite（函数记号与复合）
📖 Definition处理 f(x),g(x) 的代入、复合与定义域限制。
🔑 Key复合：(f\circ g)(x)=f(g(x))。
定义域需同时满足内层与外层可定义。
Piecewise 题要分区间判定。
🎯 Exam focus常见失分是只算表达式不写 domain restriction。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确先做内层后做外层。
Step 2 \rightarrow 展开并化简。
Step 3 \rightarrow 单独写定义域不等式。
EDX WMA11/01 Oct 2023 Q3(a)
Given f and g, find (f\circ g)(x) and state its domain.
代入 g(x) 到 f \rightarrow 化简代数式 \rightarrow 由分母/根式条件写 domain。
[M1] 复合代入正确。
[A1] 代数化简正确。
[B1] 定义域陈述正确。
EDX WMA11/01 Jan 2024 Q2(a)
Find (g\circ f)(x) and compare with (f\circ g)(x).
分别做两次复合 \rightarrow 对比表达式 \rightarrow 说明一般不交换。
[M1] 一组复合正确。
[DM1] 依赖前一步得到另一组复合。
[A1] 比较结论正确。
Inverse Function（反函数）
📖 Definition当函数在给定定义域上一一对应时，可构造 f^{-1}(x)。
🔑 Key反函数求法：y=f(x) 交换 x,y 后解 y。
需先限制定义域以保证单调。
验证：f(f^{-1}(x))=x。
🎯 Exam focusEDX 爱考“给定 restricted domain，求反函数 + 反函数定义域”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 y=f(x) 并交换变量。
Step 2 \rightarrow 解出 y。
Step 3 \rightarrow 写反函数定义域/值域对应。
EDX WMA11/01 May 2024 Q3
Find the inverse of a quadratic function with restricted domain.
先利用给定区间确认单调 \rightarrow 交换 x,y \rightarrow 解出分支并按区间取合法分支。
[B1] 正确使用限制区间。
[M1] 交换变量并求解结构正确。
[A1] 反函数表达式正确。
[B1] 反函数定义域正确。
EDX WMA11/01 Jan 2023 Q4(b)
Given f^{-1}(x), solve f(x)=k.
把 f(x)=k 改写为 x=f^{-1}(k) \rightarrow 代值计算 \rightarrow 检查原定义域。
[M1] 反函数关系使用正确。
[A1] 求得 x 正确。
[B1] 合法性检查正确。
Graph Transformations（图像变换）
📖 Definition通过平移、伸缩、对称把已知基本图像快速映射到新函数图像。
🔑 Keyy=f(x+a)：左移 a。
y=f(x)-b：下移 b。
y=f(-x)：关于 y-轴对称。
y=f(kx)：横向缩放比例 \frac1k。
🎯 Exam focusEDX 高频是“给原图像 + 写新图像轴截距/触点坐标”，以及变换顺序判断。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先识别 inside / outside 变换。
Step 2 \rightarrow 用关键点映射（根、顶点、截距）。
Step 3 \rightarrow 标注新图像与坐标轴关系。
EDX WMA11/01 May 2024 Q3(a)
Given sketch of y=f(x), draw y=f(x+3) and show intercept coordinates.
先把原图整体左移 3 \rightarrow 各关键点 (x,y)\mapsto(x-3,y) \rightarrow 标注新截距。
[B1] 变换方向正确。
[M1] 关键点映射正确。
[A1] 轴截距坐标完整正确。
EDX WMA11/01 May 2024 Q3(b)
Sketch y=f(-3x) on separate axes and label all intercept/touch points.
先关于 y-轴对称 \rightarrow 再做横向比例 \frac13 压缩 \rightarrow 标注切触点与截距。
[M1] 反射/伸缩规则正确。
[B1] 关键点位置合理。
[A1] 最终草图与坐标标注正确。
3. Quadratics & Inequalities
Quadratic Equations（二次方程）
📖 Definition利用 factorisation、completing square 或 formula 求二次方程根。
🔑 Key求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。
判别式：\Delta=b^2-4ac 决定根的个数。
根与系数：\alpha+\beta=-\frac ba, \alpha\beta=\frac ca。
🎯 Exam focus常考含参数判别式和“已知一根求另一根”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 整理成 ax^2+bx+c=0。
Step 2 \rightarrow 选最稳方法（公式优先）。
Step 3 \rightarrow 参数题联用 \Delta 或根系关系。
EDX WMA11/01 May 2023 Q4
Solve a parameterised quadratic and state condition for equal roots.
先公式求一般根 \rightarrow equal roots 令 \Delta=0 \rightarrow 解参数。
[M1] 正确代入求根公式。
[A1] 一般根表达正确。
[M1] 判别式条件应用正确。
[A1] 参数答案正确。
EDX WMA11/01 Oct 2023 Q2
Given one root of a quadratic, find the other root and hence the quadratic.
用根和/根积关系 \rightarrow 求另一根 \rightarrow 还原二次式。
[M1] 根系关系正确使用。
[A1] 另一根正确。
[A1] 二次式正确。
Quadratic Inequalities（二次不等式）
📖 Definition通过因式分解与抛物线符号区间判断不等式解集。
🔑 Key先解对应方程找临界点。
开口方向由 a 决定。
严格/非严格不等式决定端点是否包含。
🎯 Exam focus失分点在区间方向写反，或忽略不等号是否取等。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 因式分解并找 roots。
Step 2 \rightarrow 画 sign chart。
Step 3 \rightarrow 按题意选区间并写端点符号。
EDX WMA11/01 Jan 2024 Q4(a)
Solve ax^2+bx+c>0 where the quadratic is given in factorised form.
读出两个零点 \rightarrow 分三区间判符号 \rightarrow 取正区间写解集。
[B1] 零点正确。
[M1] 符号区间判定正确。
[A1] 解集区间正确。
EDX WMA11/01R May 2024 Q5(a)
Find values of k for which x^2+px+k\le 0 has real solutions.
存在解 \Rightarrow 抛物线与 x-轴关系满足 \Delta\ge0 \rightarrow 解 k 范围。
[M1] 建立判别式不等式。
[A1] 参数范围正确。
4. Coordinate Geometry
Straight Line Geometry（直线解析几何）
📖 Definition利用 slope、point-slope、distance/midpoint 建立直线方程与几何关系。
🔑 Key斜率：m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}。
垂直：m_1m_2=-1。
点斜式：y-y_1=m(x-x_1)。
🎯 Exam focus常考“垂直平分线”“三角形直角判定”“交点坐标”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求关键斜率。
Step 2 \rightarrow 用点斜式写方程。
Step 3 \rightarrow 与另一条线联立求交点/参数。
EDX WMA11/01 Jan 2023 Q2(a)
Given coordinates of P,Q,R, show angle PQR=90^\circ.
算 m_{PQ},m_{QR} \rightarrow 验证 m_{PQ}m_{QR}=-1 \rightarrow 得直角。
[M1] 至少一个斜率正确。
[A1] 两斜率正确。
[A1] 垂直结论正确。
EDX WMA11/01 May 2024 Q4
Find equation of the line through a point and perpendicular to a given line.
先求已知线斜率 \rightarrow 取负倒数 \rightarrow 点斜式建方程并整理。
[M1] 负倒数斜率正确。
[A1] 直线方程正确。
Circle Geometry（圆的解析几何）
📖 Definition在标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 下处理圆心半径、切线与交点。
🔑 Key一般式配方得圆心半径。
切线半径垂直。
直线与圆联立可判相交/相切/相离。
🎯 Exam focus常见题是“由条件确定圆方程”与“判定 tangent 条件”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 圆方程先 complete square。
Step 2 \rightarrow 提取中心和半径。
Step 3 \rightarrow 联立直线后用判别式或距离判切线。
EDX WMA11/01 May 2023 Q6
Find centre and radius from a general circle equation, then determine if a line is tangent.
对 x,y 分别配方 \rightarrow 读 (a,b),r \rightarrow 点到线距离与 r 比较判定。
[M1] 配方法结构正确。
[A1] 圆心半径正确。
[M1] 切线判定方法正确。
[A1] 结论正确。
EDX WMA11/01 Oct 2023 Q5
A circle passes through two points and has centre on a given line. Find its equation.
设圆心在给定直线上 \rightarrow 用等距条件建方程 \rightarrow 求圆心与半径 \rightarrow 写标准式。
[M1] 等距方程建立正确。
[DM1] 依赖联立求圆心。
[A1] 圆方程正确。
5. Sequences & Series
Arithmetic / Geometric（等差与等比）
📖 Definition用通项与前 n 项和公式刻画序列增长模式。
🔑 KeyAP: u_n=a+(n-1)d, S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]。
GP: u_n=ar^{n-1}, S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}。
🎯 Exam focus高频为“已知两项求参数，再求第 n 项或和”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判 AP 还是 GP。
Step 2 \rightarrow 用给定项列方程解参数。
Step 3 \rightarrow 代入通项/求和公式。
EDX WMA11/01 Jan 2024 Q6(a)
In an arithmetic sequence, given two terms, find a,d and then u_{20}.
列两条通项方程 \rightarrow 解 a,d \rightarrow 回代求 u_{20}。
[M1] AP 方程建立正确。
[A1] 参数正确。
[A1] 指定项正确。
EDX WMA11/01 May 2023 Q7(a)
For a geometric sequence, find the common ratio and sum to n terms.
由两项比值求 r \rightarrow 代 GP 求和公式 \rightarrow 整理。
[M1] r 求法正确。
[M1] 求和公式使用正确。
[A1] 结果正确。
Sigma Notation & Series（求和符号与级数）
📖 Definition通过 \Sigma 公式高效求和，并连接 AP/GP 与多项式和。
🔑 Key\sum_{r=1}^{n} r=\frac{n(n+1)}2, \sum r^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, \sum r^3=[\frac{n(n+1)}2]^2。
🎯 Exam focusEDX 常给复杂和式，要求拆成已知基础和。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 拆项成 \sum r,\sum r^2 等。
Step 2 \rightarrow 代标准公式。
Step 3 \rightarrow 代入上下限并化简。
EDX WMA11/01 May 2024 Q7(b)
Evaluate \sum_{r=1}^{n}(3r^2-2r+1) in terms of n.
线性拆分 \rightarrow 分别代 \sum r^2,\sum r,\sum 1 \rightarrow 合并。
[M1] 正确拆分求和。
[M1] 至少一个标准求和公式正确。
[A1] 最终化简正确。
EDX WMA11/01 Oct 2023 Q6(b)
Given \sum_{r=1}^{k} (ar+b)=90, find k.
先写闭式 \rightarrow 代常数变二次方程 \rightarrow 解正整数 k。
[M1] 闭式构造正确。
[A1] 方程正确。
[A1] 合法 k 正确。
6. Trigonometry
Circular Measure & Sector（弧度制与扇形）
📖 Definition以弧度为核心处理弧长、扇形面积与复合图形面积问题。
🔑 Key弧长：s=r\theta。
扇形面积：A=\frac12 r^2\theta（\theta 用 radians）。
三角形面积：\frac12 ab\sin C。
🎯 Exam focusEDX 常把 sector + triangle 组合成实际情境总面积题，要求弧度单位一致。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 统一角度到 radians。
Step 2 \rightarrow 分块求 area（sector/triangle）。
Step 3 \rightarrow 合并并按题意取 sf。
EDX WMA11/01 May 2024 Q5(a)
A sector has radius 6 m and angle 1.3 rad. Find its area.
直接套 A=\frac12 r^2\theta \rightarrow 代 r=6,\theta=1.3 \rightarrow 得面积。
[M1] 扇形面积公式正确。
[A1] 数值正确。
EDX WMA11/01 May 2024 Q5(c)
Find total area of a garden made from a triangle, right-angled triangle and a sector.
分三块面积 \rightarrow triangle 用 \frac12 ab\sin C 或直角面积 \rightarrow 加上 sector \rightarrow 合并并取 3 s.f.
[M1] 至少两块面积方法正确。
[DM1] 依赖前步做总面积合并。
[A1] 最终总面积正确（3 s.f.）。
Trig Ratios & Identities（三角比与恒等式）
📖 Definition运用基本恒等式与图像性质化简 trig 表达式。
🔑 Key\sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tan^2x=\sec^2x。
同角替换时保持定义域一致。
常与 exact values 结合。
🎯 Exam focus高频是“show that”题，必须给出可追踪等价变形链。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 目标式选择主恒等式。
Step 2 \rightarrow 统一成 \sin,\cos 或 \tan。
Step 3 \rightarrow 代数化简到目标形式。
EDX WMA11/01 Jan 2024 Q5(a)
Show that a given trig expression simplifies to \frac{1-\sin x}{\cos x}.
分子分母同除 \cos x \rightarrow 用 \sin^2x+\cos^2x=1 转换 \rightarrow 化到目标。
[M1] 使用有效 trig 恒等式。
[M1] 合理代数化简步骤。
[A1] 目标式得证。
EDX WMA11/01 May 2023 Q8(a)
Find exact values of trig ratios for a given acute angle condition.
由已知比值构造直角三角形 \rightarrow 求第三边 \rightarrow 写 exact trig values。
[M1] 几何构造/恒等式方法正确。
[A1] exact 比值正确。
Trig Equations（三角方程）
📖 Definition在指定区间内求三角方程全部解，核心是 general solution + interval filter。
🔑 Key\sin x=a, \cos x=a, \tan x=a 各有标准解型。
给区间时必须枚举全部象限解。
角度与弧度单位要一致。
🎯 Exam focus常见失分是漏第二象限/第四象限解。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 化到基本 trig 方程。
Step 2 \rightarrow 写 reference angle。
Step 3 \rightarrow 在给定区间逐个列解。
EDX WMA11/01 Jan 2024 Q5(b)
Solve 2\sin^2x-3\sin x+1=0 for 0^\circ\le x<360^\circ.
令 u=\sin x 因式分解 \rightarrow 解 \sin x 值 \rightarrow 分象限列全部角。
[M1] 代换或因式分解正确。
[M1] 至少一组角解正确。
[A1] 全部角解完整正确。
EDX WMA11/01R May 2024 Q6
Solve a trig equation in radians on [0,2\pi).
先化简到单一 trig 比 \rightarrow 找 principal value \rightarrow 在 [0,2\pi) 枚举。
[M1] 化简到标准方程。
[A1] 弧度解正确且完整。
7. Exponential & Logarithm
Laws & Simplification（指数对数运算律）
📖 Definition利用 exp/log laws 将复杂表达式化成可计算或可比较形式。
🔑 Key\log_a xy=\log_a x+\log_a y, \log_a x^k=k\log_a x, a^{\log_a x}=x。
换底：\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}。
🎯 Exam focusEDX 常考“化简到 p\log q 或 \ln 单一形式”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先看可否合并/拆分 log。
Step 2 \rightarrow 指数与对数互逆消去。
Step 3 \rightarrow 统一底数与符号。
EDX WMA11/01 May 2024 Q8(a)
Simplify a logarithmic expression to a single logarithm.
用加减法则合并 \rightarrow 幂次提到前面 \rightarrow 整理成单 log。
[M1] 至少一条 log law 应用正确。
[A1] 目标单 log 形式正确。
EDX WMA11/01 Jan 2023 Q8(a)
Express an exponential form in terms of \ln.
先取自然对数 \rightarrow 用 log laws 展开 \rightarrow 化简。
[M1] 取对数步骤正确。
[A1] \ln 形式正确。
Exponential/Log Equations（指数与对数方程）
📖 Definition通过同底化、取对数或换元求解指数/对数方程，并检查定义域。
🔑 Key指数方程可同底比较指数。
对数方程先写定义域：真数 >0。
潜在增根需回代检验。
🎯 Exam focus最常失分在漏写或漏检 \log 的真数正条件。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 domain constraints。
Step 2 \rightarrow 同底或取 log 转线性/二次。
Step 3 \rightarrow 解后逐个回代检验。
EDX WMA11/01 Jan 2024 Q8(b)
Solve \log_3(x+2)+\log_3(x-1)=2.
先写 x>1 \rightarrow 合并对数为单式 \rightarrow 转二次方程 \rightarrow 检验舍增根。
[B1] 定义域条件正确。
[M1] 合并对数并转方程正确。
[A1] 合法解正确。
EDX WMA11/01 May 2023 Q8(b)
Solve an equation of the form a^{2x}-ba^x+c=0.
令 u=a^x \rightarrow 解二次 u \rightarrow 回到 x 并取合法分支。
[M1] 换元结构正确。
[M1] 二次求解正确。
[A1] x 最终解正确。
8. Calculus Core
Differentiation（微分）
📖 Definition通过求导得到变化率、切线斜率、stationary point 与函数增减性。
🔑 Key幂函数：\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}。
链式：\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)。
stationary: \frac{dy}{dx}=0。
🎯 Exam focusEDX 高频“求导 + 代点 + 切线方程”连问。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 逐项求导并化简。
Step 2 \rightarrow 代指定 x 求斜率。
Step 3 \rightarrow 点斜式写切线/法线。
EDX WMA11/01 Jan 2023 Q1
Given y=2x^{\frac12}+3x^{-\frac12}, find \frac{dy}{dx} and evaluate at x=2.
逐项应用幂次法则 \rightarrow 化简导函数 \rightarrow 代 x=2 得梯度。
[M1] 至少一项正确求导。
[A1] 导函数正确。
[M1] 代值步骤正确。
[A1] 斜率值正确。
EDX WMA11/01 May 2024 Q9(a)
Find stationary points of a polynomial and classify them.
先求 \frac{dy}{dx} \rightarrow 解 \frac{dy}{dx}=0 得 x \rightarrow 用符号变化或二阶导判极值性质。
[M1] 导函数正确建立。
[A1] stationary x 值正确。
[B1] 分类结论正确。
Integration & Area（积分与面积）
📖 Definition用反导求函数原函数与曲线下面积，并结合边界处理定积分。
🔑 Key\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C（n\ne -1）。
定积分面积：\int_a^b f(x)dx。
两曲线面积：\int_a^b (y_{top}-y_{bottom})dx。
🎯 Exam focus常见连问：先积分求函数，再求 enclosed area。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先做不定积分并加 +C。
Step 2 \rightarrow 用已知点确定常数。
Step 3 \rightarrow 定积分代上下限算面积。
EDX WMA11/01 Jan 2023 Q9
Given \frac{dy}{dx}, find equation of curve using a point, then find area under curve.
先积分得 y \rightarrow 代点求 C \rightarrow 在给定区间做定积分。
[M1] 积分结构正确。
[A1] 函数表达式正确。
[M1] 面积定积分设置正确。
[A1] 面积值正确。
EDX WMA11/01 May 2024 Q10
Find area enclosed by a curve and a line between intersection points.
先联立求交点 \rightarrow 判上减下 \rightarrow 定积分计算面积。
[M1] 交点求法正确。
[M1] 面积积分表达式正确。
[A1] 最终面积正确。