Edexcel 数学
EDX P2 Pure Mathematics 2 Concept Map
24 个知识节点 · P2
1. Algebraic Proof & Logic
Proof by Exhaustion（穷举证明）
📖 Definition在有限可行集上列举全部情况并逐一验证目标命题成立。
🔑 Key先从条件化简可行参数范围。
穷举必须 complete 且 mutually exclusive。
最后要有“therefore true”收束语句。
🎯 Exam focusWMA12 高频给整数条件，要求表格穷举并说明“always multiple/divisible”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 用约束消元缩小候选值。
Step 2 \rightarrow 列所有行并算目标量。
Step 3 \rightarrow 明确写出结论（always ...）。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q1
Given integer constraints c=3a+1, a+b+c=15, prove by exhaustion that abc is always a multiple of 4.
先化为 4a+b=14 \rightarrow 枚举可行 (a,b,c) 组 \rightarrow 逐行算 abc 并验证均可被 4 整除。
[B1] 至少一组可行 (a,b,c) 正确。
[M1] 两组及以上穷举结构正确。
[A1] 全部可行情况完整且结论正确。
EDX WMA12/01 Jan 2023 Q1
Use exhaustive checking to verify an integer divisibility statement under given linear constraints.
按约束列有限候选 \rightarrow 逐项代入目标表达式 \rightarrow 统一指出 divisibility 结论。
[M1] 可行集构造正确。
[A1] 检查与最终命题一致。
Counterexample Strategy（反例结构）
📖 Definition对“for all”命题，只需给一个合法反例即可否定。
🔑 Key反例必须满足题目 domain。
先算命题左侧，再判 prime/equality 等性质。
要明确写“statement is false”。
🎯 Exam focusP2 常见在数论样式命题（prime/divisible）快速判伪。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选最小可验证值（如 n=1,2）。
Step 2 \rightarrow 算出表达式并判性质。
Step 3 \rightarrow 给出 falsity conclusion。
EDX WMA12/01 May 2022 Q3(i)
Show that “(n+1)^3-n^3 is prime for all n\in\mathbb{N}” is false.
取小整数如 n=3 \rightarrow 算 (4)^3-3^3=37 或换可合数案例 n=1\Rightarrow7 继续测试到合数 n=2\Rightarrow19, n=4\Rightarrow61；给出合法 composite 反例并否命题。
[M1] 选择合法 n 并计算表达式。
[A1] 给出能否定“for all”的有效反例与结论。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q3(i)
Disprove a universal integer statement by giving one explicit counterexample.
锁定 domain \rightarrow 代入单个值 \rightarrow 得到不满足结论的结果 \rightarrow conclude false。
[B1] 反例数值合法。
[A1] 反例确实推翻原命题。
Inequality Proof（不等式证明）
📖 Definition通过同号分析与等价变形，从已知不等式推出目标不等式结论。
🔑 Key注意变形中乘除因子符号。
必要时移项到一侧并因式分解。
最后要回写“therefore ...”。
🎯 Exam focusP2 常见“Given ... prove ...”且要求 detailed reasoning，不能只写数值代入。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把目标改写成同一侧形式。
Step 2 \rightarrow 用条件替换并做符号判断。
Step 3 \rightarrow 完整收束结论。
EDX WMA12/01 May 2024 Q5(a)
Given positive x,y with (x-y)^3>x^3-y^3, prove that y>x.
两边展开并移项 \rightarrow 提取公因子 xy(y-x) 结构 \rightarrow 结合 x,y>0 判号得 y>x。
[M1] 展开/移项结构正确。
[DM1] 依赖正数条件做符号判断。
[A1] 证明结论严谨正确。
EDX WMA12/01 May 2024 Q5(b)
Using a counterexample, show the result is not true for all real numbers.
选负数情形构造 (x,y) \rightarrow 代入原命题与结论 \rightarrow 显示冲突。
[B1] 反例取值合法。
[A1] 反例能否定全称命题。
2. Binomial Expansion
Fractional Binomial（分数/负指数二项展开）
📖 Definition把 (1+u)^n（n\notin\mathbb{N}）展开为前若干项幂级数。
🔑 Key(1+u)^n=1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3+\cdots。
按题意截断到指定幂次。
🎯 Exam focusWMA12 典型问“first four terms”并要求系数最简（整数/分数）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 u 与 n。
Step 2 \rightarrow 写到目标幂次。
Step 3 \rightarrow 合并化简并检查符号。
EDX WMA12/01 May 2024 Q1(a)
Find first four terms of the expansion of (1-\frac{x}{6})^{-9} in ascending powers of x.
套一般项 \rightarrow 代 u=-\frac{x}{6},n=-9 \rightarrow 写到 x^3 并化简系数。
[M1] 二项展开结构正确。
[A1] 至少两项化简正确。
[A1] 前四项完整正确。
EDX WMA12/01 May 2022 Q1
Expand a binomial with rational coefficients and give integer coefficients where required.
先提公因子/重写成 (1+u)^n \rightarrow 展开前四项 \rightarrow 系数化整。
[M1] 展开路径正确。
[A1] 指定项与系数正确。
Coefficient Extraction（系数提取）
📖 Definition把“复杂表达式”的目标次幂系数拆成可匹配的项并求和。
🔑 Key目标 x^k 只来自特定项组合。
注意外部乘项会改变幂次（如 (ax+b)\times expansion）。
🎯 Exam focus常见在“Hence find coefficient of x^3”跟在二项展开后。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 标记每项幂次。
Step 2 \rightarrow 列出所有能产生 x^k 的组合。
Step 3 \rightarrow 相加得最终系数。
EDX WMA12/01 May 2024 Q1(b)
Hence find the coefficient of x^3 in (10x-3)(1-\frac{x}{6})^{-9}.
调用(a)展开 \rightarrow 取 10x\cdot x^2 与 (-3)\cdot x^3 两部分 \rightarrow 相加。
[M1] 至少一项贡献正确。
[A1] 两项贡献合并正确。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q3(b)
Use expansion from part (a) to equate coefficients and determine parameter k.
先写线性因子乘展开式 \rightarrow 提取常数项/x 项 \rightarrow 按题目条件联立求 k。
[M1] 系数匹配思路正确。
[DM1] 依赖前面展开项正确建方程。
[A1] 参数值正确。
3. Sequences & Recurrence
Arithmetic Series Modelling（等差数列建模）
📖 Definition由项信息与和信息联立求 a,d，再解 S_n 条件。
🔑 Keyu_n=a+(n-1)d, S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]。
大于/小于条件最后常转二次不等式。
🎯 Exam focusP2 高频：先求 a,d 再问最小 n 满足 S_n>\text{threshold}。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从已知项与和写两式。
Step 2 \rightarrow 解 a,d。
Step 3 \rightarrow 代 S_n 解不等式并取最小整数。
EDX WMA12/01 May 2024 Q2
Given 6th term is 2 and sum of first 10 terms is -80, find a,d, hence smallest n with S_n>8000.
列 a+5d=2 与 5(2a+9d)=-80 \rightarrow 解 a,d \rightarrow 代 S_n 得二次不等式 \rightarrow 取最小整数。
[B1] 一条方程正确。
[B1] 两条方程完整正确。
[M1] 联立求解 a,d。
[A1] a,d 正确。
[M1] 正确建立 S_n 不等式。
[DM1] 二次求根并选整数。
[A1] 最小 n 正确。
EDX WMA12/01 Jan 2023 Q2
Use term and sum information to determine AP parameters and a later sum condition.
先解参数 \rightarrow 代回 S_n \rightarrow 检验边界整数。
[M1] 参数方程建模正确。
[A1] 目标 n 正确。
Recurrence Cycle Sum（递推循环求和）
📖 Definition识别递推序列的周期结构并快速求大项和。
🔑 Key先算前几项找周期。
大和可写为“完整周期和 + 剩余项”。
注意项序号对应。
🎯 Exam focusWMA12 常用简单递推生成 3-cycle，再问 \sum_{r=1}^{100}u_r。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 由递推算 u_2,u_3,u_4。
Step 2 \rightarrow 识别周期 p 与周期和。
Step 3 \rightarrow 分解 100 项为周期块求和。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q2
For u_1=3,\ u_{n+1}=2-\frac{4}{u_n}, find u_2,u_3,u_4 and \sum_{r=1}^{100}u_r.
计算前几项得循环 3,\frac23,-4 \rightarrow 周期和为 -\frac13 \rightarrow 分解 100 项为 33 个周期加 1 项。
[M1] 递推计算至少一步正确。
[A1] 三项值正确。
[M1] 周期和方法正确。
[A1] 最终总和正确。
EDX WMA12/01 Jan 2024 Q2
Find a large-index sum for a recurrence by identifying repeating pattern.
先找最短周期 \rightarrow 用整除与余数分块求和。
[M1] 周期识别正确。
[A1] 求和结果正确。
4. Polynomial Methods
Factor & Remainder（因式与余式）
📖 Definition利用余式定理与因式条件构造参数方程，再分解多项式。
🔑 Key余式：f(a)。
若 (mx+n) 为因式，则 f(-\frac{n}{m})=0。
常与“给定余式值”联立求参数。
🎯 Exam focusP2 高频一题多问：先找参数，再 fully factorise。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写出每个因式/余式对应的 f(\cdot) 方程。
Step 2 \rightarrow 联立解参数。
Step 3 \rightarrow 代回并分解。
EDX WMA12/01 May 2024 Q4(a)(b)(c)(i)
Given f(x)=(x-2)(2x^2+5x+k)+21, and (2x-1) is a factor, find k and factorise f(x).
先由余式定理得 f(2)=21 \rightarrow 因式条件 f(\frac12)=0 求 k \rightarrow 代回展开并再分解。
[B1] 余式判断正确。
[M1] 建立 f(\frac12)=0 方程。
[A1] k 正确。
[M1] 后续分解方法正确。
[A1] 完全分解正确。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q4
Given (2x+1) is a factor and another remainder condition, find a,b then factorise cubic.
写 f(-\frac12)=0 与 f(2)=\text{remainder} \rightarrow 联立求 a,b \rightarrow 代回完成分解。
[M1] 两条件方程正确。
[DM1] 参数联立求解。
[A1] 参数正确。
[A1] 因式分解正确。
Real Root Counting（实根个数判定）
📖 Definition通过分解后因子的判别式/图像性质判断方程实根个数。
🔑 Key二次因子 ax^2+bx+c 由 \Delta 判根。
整体根数由各因子实根情况叠加。
要写“reason”才能拿满。
🎯 Exam focus常与 factorisation 紧连，最后 1-2 分专考“number of real solutions with reason”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先分解到线性×二次。
Step 2 \rightarrow 对二次算 \Delta。
Step 3 \rightarrow 写出总实根数与理由。
EDX WMA12/01 May 2024 Q4(c)(ii)
Hence find number of real solutions of f(x)=0, giving a reason.
由 f(x)=(2x-1)(x^2+x+1) \rightarrow 线性给 1 根 \rightarrow 二次 \Delta=1-4<0 无实根 \rightarrow 总共 1 根。
[M1] 正确从因式结构出发判根。
[A1] 根数与理由完整正确。
EDX WMA12/01 Jan 2024 Q4(ii)
State number of real roots after obtaining polynomial factors.
线性因子直接读根 \rightarrow 二次因子判别式判有/无实根 \rightarrow 汇总。
[M1] 判别式方法正确。
[A1] 根数结论正确。
5. Logarithms & Exponentials
Log Laws Manipulation（对数律变形）
📖 Definition把多项 log 表达式用幂律/积商律转为可解单式。
🔑 Keyk\log_a M=\log_a M^k, \log_a M+\log_a N=\log_a(MN), \log_a M-\log_a N=\log_a\frac{M}{N}。
🎯 Exam focus评分常拆成“one correct log law”+“combine correctly”两层 method marks。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先处理系数到指数。
Step 2 \rightarrow 合并 log。
Step 3 \rightarrow 去 log 转代数方程。
EDX WMA12/01 May 2024 Q3(i)
Using laws of logarithms, solve 2\log_2(2-x)=4+\log_2(x+10).
先 2\log_2(2-x)=\log_2(2-x)^2 与 4=\log_2 16 \rightarrow 合并得 (2-x)^2=16(x+10) \rightarrow 解二次。
[B1] 至少一条 log law 正确。
[M1] 合并为单一代数方程。
[A1] 去 log 方程正确。
[M1] 求解二次。
[A1] 合法根正确。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q4
Manipulate a multi-log equation into polynomial form before solving.
幂律 \rightarrow 积商律 \rightarrow 去对数 \rightarrow 二次求根。
[M1] 对数化简结构正确。
[A1] 代数方程正确。
Log Equation & Domain（对数方程与定义域）
📖 Definition解对数方程时必须同时满足真数正条件并剔除增根。
🔑 Key若有 \log_a(F(x))，则 F(x)>0。
去对数后所得根需回代原式检查。
🎯 Exam focus高频丢分：算出二次两根却未剔除非法根。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写所有真数 >0。
Step 2 \rightarrow 去对数求候选根。
Step 3 \rightarrow 回代剔除非法解。
EDX WMA12/01 May 2024 Q3(i)
From quadratic roots of the transformed equation, identify the valid solution of the original log equation.
二次得两根 \rightarrow 代入真数条件（如 2-x>0, x+10>0）\rightarrow 舍去非法根。
[M1] 定义域条件使用正确。
[A1] 最终合法根正确。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q4
Solve a log equation and explicitly reject the non-permissible root.
求候选解 \rightarrow 用真数正条件检验 \rightarrow 标注 rejected root。
[B1] 写出至少一个真数条件。
[A1] 舍根与最终答案正确。
Exponential Graph & Asymptote（指数图像与渐近线）
📖 Definition识别 y=a^x+c 图像特征：截距、单调性与水平渐近线。
🔑 Key若 a>1，函数递增。
y=a^x+c 的水平渐近线是 y=c。
y-截距在 x=0 处。
🎯 Exam focus常考 sketch + 标注 y-intercept 与 asymptote，再衔接数值积分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求 x=0 截距。
Step 2 \rightarrow 读平移量写渐近线。
Step 3 \rightarrow 按 a>1 画递增趋势。
EDX WMA12/01 May 2024 Q6(a)
Sketch y=a^x+4 (a>1), showing y-intercept and asymptote.
代 x=0 得截距 1+4=5 \rightarrow 渐近线 y=4 \rightarrow 画递增曲线。
[B1] y-截距正确。
[B1] 渐近线方程正确。
[A1] 草图形态正确。
EDX WMA12/01 May 2024 Q6(b)
Use tabulated values with trapezium rule for an exponential-based function.
按给表值代梯形公式 \rightarrow 得近似积分。
[M1] 梯形公式结构正确。
[A1] 估计值正确。
6. Trigonometry in Radians
Mixed Trig Equations（混合三角方程）
📖 Definition把 \tan,\sin,\cos 混合方程转为单一 trig 函数求解。
🔑 Key常用 \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}。
化简后常得 \sin\theta(...)=0 或 \cos\theta=c。
🎯 Exam focusmark scheme 强调“calculator-only”不给 method marks，必须展示化简链。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 把 \tan 转 \sin/\cos。
Step 2 \rightarrow 因式分解成两支。
Step 3 \rightarrow 在区间内列全解。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q3(a)
Solve 2\tan\theta+3\sin\theta=0, 0<\theta\le360^\circ.
转为 \sin\theta(2+3\cos\theta)=0 \rightarrow 分支解 \sin\theta=0 与 \cos\theta=-\frac23 \rightarrow 枚举区间解。
[M1] \tan 转换正确。
[DM1] 因式分支结构正确。
[A1] 一个角解正确。
[A1] 两个 \cos\theta 角解正确。
[B1] \sin\theta=0 分支解正确。
EDX WMA12/01 Jan 2024 Q3
Solve a mixed trig equation by reducing to a single ratio.
统一到 \sin,\cos \rightarrow 转标准方程 \rightarrow 结合象限求角。
[M1] 统一函数过程正确。
[A1] 区间解完整。
Transformed Arguments（角变换方程）
📖 Definition已知 \theta 解后，用线性角变换 (ax+b) 回推 x。
🔑 Key若 F(2x+40^\circ)=0，先令 u=2x+40^\circ 再解。
要取 smallest positive 时需筛选。
🎯 Exam focus“Hence or otherwise”经常从上一问的角解迁移到新变量。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 设新角 u。
Step 2 \rightarrow 用上一问解代回 u。
Step 3 \rightarrow 解 x 并筛最小正值。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q3(b)
Hence find the smallest positive solution of 2\tan(2x+40^\circ)+3\sin(2x+40^\circ)=0.
令 u=2x+40^\circ \rightarrow 套用(a)最小可行 u \rightarrow 解 x 并取 smallest positive。
[M1] 变量替换与回代正确。
[A1] 最小正 x 正确。
EDX WMA12/01 May 2023 Q3(b)
Use solutions of a base trig equation to solve a transformed-angle equation.
先搬运 base-angle 解 \rightarrow 反解线性角变换 \rightarrow 取题目要求区间。
[M1] 解迁移方法正确。
[A1] 目标区间解正确。
Trig Modelling（三角函数建模）
📖 Definition把情境周期数据写成 A+B\sin(kt+\phi) 并反求参数与时间。
🔑 Key振幅 =|B|，中线 =A。
周期 T=\frac{360^\circ}{k}（角度制）。
最大值时 \sin(...)=1。
🎯 Exam focus高频：由某时刻温度反推 k，再求最大温度与出现时刻。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 代已知时刻建方程求 k。
Step 2 \rightarrow 由振幅与中线求最大值。
Step 3 \rightarrow 解相位方程得时间并筛选区间。
EDX WMA12/01 May 2024 Q8(ii)(a)
Given H=10+12\sin(kt+18)^\circ and H=20 at 6 am, find all possible k with 0<k<20.
代 t=6 得 \sin(6k+18)^\circ=\frac56 \rightarrow 两主支角 \rightarrow 解 k 并筛范围。
[M1] 建立三角方程正确。
[M1] 两支角解法正确。
[A1] 合法 k 全部正确。
EDX WMA12/01 May 2024 Q8(ii)(b)(c)
With 0<k<10, find maximum temperature and the time it occurs.
最大值 =10+12=22 \rightarrow 令 kt+18=90+360n \rightarrow 解最早时刻并转化为 clock time。
[B1] 最大温度正确。
[M1] 解相位方程方法正确。
[A1] 时间答案正确到最近分钟。
7. Coordinate Geometry
Circle Diameter Proof（圆直径证明）
📖 Definition利用斜率乘积或勾股关系证明某弦为直径对应的直角性质。
🔑 Key若 \angle ACB=90^\circ，则 AB 为直径（反之亦然）。
可用 m_{AC}m_{BC}=-1 或 AB^2=AC^2+BC^2。
🎯 Exam focusP2 常把坐标几何与圆定理混合成 proof 题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 算关键斜率或边长平方。
Step 2 \rightarrow 证直角关系。
Step 3 \rightarrow 用圆定理下结论。
EDX WMA12/01 May 2022 Q3(ii)
Given points A,B,C lie on a circle, prove that AB is a diameter.
算 m_{AC},m_{BC} 或边长平方 \rightarrow 证 \angle ACB=90^\circ \rightarrow 得 AB 为直径。
[M1] 距离/斜率计算正确。
[M1] 直角关系证明成立。
[A1] 直径结论正确。
EDX WMA12/01 Jan 2023 Q5
Use coordinate geometry to justify a diameter/chord property in a circle.
坐标运算 \rightarrow 几何判定 \rightarrow 结论回连到 circle theorem。
[M1] 几何量求法正确。
[A1] 性质结论正确。
Distance/Gradient Circle Test（圆几何判定工具）
📖 Definition用距离公式与斜率关系在坐标系中判定圆上关系。
🔑 Key距离：d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}。
垂直：m_1m_2=-1。
直径判定常结合两者。
🎯 Exam focus用于 proof 题中提供“可评分的中间证据链”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先选最短路径（斜率法或距离法）。
Step 2 \rightarrow 计算并保留 exact form。
Step 3 \rightarrow 对应几何命题下结论。
EDX WMA12/01 May 2022 Q3(ii) Alt
Prove a diameter using distance-squared relation instead of gradients.
算 AB^2,AC^2,BC^2 \rightarrow 证 AB^2=AC^2+BC^2 \rightarrow 推直径。
[M1] 三段长度平方正确。
[A1] 勾股式与结论正确。
EDX WMA12/01 May 2024 geometry-style part
Use coordinate tests to justify perpendicular/diameter relation.
求斜率乘积或距离关系 \rightarrow 形成严格判定。
[M1] 判定工具使用正确。
[A1] 结论正确。
8. Differentiation & Stationary
Fractional/Negative Powers（分数负幂求导）
📖 Definition将根式改写幂函数后应用 power rule 求导。
🔑 Key\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1} 适用于分数/负指数。
整理导数时建议回到正幂或根式形式。
🎯 Exam focus常配 stationarity 条件 \frac{dy}{dx}=0 联动考查。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先把根式改写成 x^p。
Step 2 \rightarrow 逐项求导。
Step 3 \rightarrow 化简便于解方程。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q2(a)(b)
For y=\frac{27}{2}x^{\frac12}-3x^{-\frac12}, find \frac{dy}{dx}, then stationary point.
幂次求导 \rightarrow 令导数为 0 \rightarrow 解 x 并回代求 y。
[M1] 至少一项幂次求导正确。
[A1] 导函数正确。
[DM1] 由导函数解站点。
[A1] 坐标正确。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q5(a)
Differentiate a function with fractional powers before further analysis.
重写成幂函数 \rightarrow 求导 \rightarrow 整理。
[M1] 方法正确。
[A1] 导数正确。
Second Derivative Test（二阶导判别）
📖 Definition在 stationary point 处用 \frac{d^2y}{dx^2} 正负判最小/最大。
🔑 Key若 \frac{d^2y}{dx^2}>0 最小；<0 最大。
结论必须绑定“at x=...”证据。
🎯 Exam focus评分点通常是“second derivative + sign + conclusion”三联。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求 \frac{d^2y}{dx^2}。
Step 2 \rightarrow 代 stationary x。
Step 3 \rightarrow 写 sign 与极值类型。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q2(c)
Use second derivative to classify stationary point found in part (b).
二阶导 \rightarrow 代站点 x \rightarrow 由符号得 maximum/minimum。
[M1] 二阶导表达式正确。
[A1] 代值符号与分类结论正确。
EDX WMA12/01 May 2024 Q7
Classify stationary points after solving \frac{dy}{dx}=0.
对每个站点分别代二阶导 \rightarrow 逐个给分类。
[M1] 对站点应用测试正确。
[A1] 分类完整正确。
Area Between Curve & Tangent（曲线与切线围成面积）
📖 Definition先求切线方程，再用定积分计算曲线与直线之间的有界面积。
🔑 Key切线：在 x=x_0 用 y-y_0=m(x-x_0)。
面积：\int (y_{top}-y_{bottom})dx。
需先找交点界限。
🎯 Exam focusP2 末题常把 stationarity、tangent、region area 融合在一起。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求导得斜率并写切线。
Step 2 \rightarrow 求曲线与切线/坐标轴交点。
Step 3 \rightarrow 分段或单段积分求面积。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q9(b)
Find exact area of region bounded by curve, tangent at P(9,40), x-axis and y-axis.
先求切线式 \rightarrow 确定边界交点 \rightarrow 写 \int (\text{line}-\text{curve})dx 或分段面积 \rightarrow exact 化简。
[M1] 切线方程正确。
[M1] 积分边界设置正确。
[DM1] 面积积分计算依赖前步正确。
[A1] exact 面积正确。
EDX WMA12/01 May 2024 Q9(b)
Given equal shaded regions under a polynomial curve, find exact k.
先积分表达两区域面积 \rightarrow 列等面积方程 \rightarrow 解 k。
[M1] 面积方程建立正确。
[A1] k exact 值正确。
9. Numerical Integration
Trapezium Rule（梯形法则）
📖 Definition用等距节点函数值近似定积分面积。
🔑 Key\int_a^b f(x)dx\approx\frac h2[y_0+y_n+2(y_1+\cdots+y_{n-1})]。
h=\frac{b-a}{n}。
🎯 Exam focusP2 常给完整表格并要求 2 d.p.；括号结构错会丢 method mark。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求 h。
Step 2 \rightarrow 按首尾+中间双倍代入。
Step 3 \rightarrow 按题目精度取值。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q1(a)
Use trapezium rule with tabulated values to estimate area to 2 d.p.
算步长 h \rightarrow 代入梯形公式 \rightarrow 计算并四舍五入。
[B1] 步长 h 正确。
[M1] 梯形公式结构正确。
[A1] 数值正确到指定精度。
EDX WMA12/01 May 2022 Q2(b)
Estimate \int f(x)dx using all provided ordinates.
全节点代公式 \rightarrow 计算主估计值。
[M1] 节点使用完整。
[A1] 估计值正确。
Estimate Conversion（估值转换）
📖 Definition在已求近似积分基础上做线性组合得到新积分估值。
🔑 Key若 I\approx\int f(x)dx，则 \int [af(x)+b]dx\approx aI+b(b-a)。
注意定积分区间长度参与常数项。
🎯 Exam focus常见“Hence find”只需利用上一问估值，不必重做 trapezium。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写目标积分与已知积分关系。
Step 2 \rightarrow 做线性组合。
Step 3 \rightarrow 保持一致精度。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q1(b)(i)(ii)
Use estimate from part (a) to find two related definite integrals.
先写新积分=常数倍 \times 旧积分 \pm 常数面积 \rightarrow 直接代数换算。
[M1] 与(a)估值的关系式正确。
[A1] 第一个转换值正确。
[M1] 常数项面积处理正确。
[A1] 第二个转换值正确。
EDX WMA12/01 May 2022 Q2(c)
Hence or otherwise, convert a numerical integral estimate to a transformed integrand.
建立线性变换关系 \rightarrow 代入已有估值。
[M1] 转换公式正确。
[A1] 结果正确。
10. P2 Exam Synthesis
Calculator-Restricted Workflow（非计算器推导流程）
📖 Definition在“must show all stages”题中，评分依赖可追踪的 algebra/trig/log 推导链。
🔑 Key仅报最终角度/根常拿不到 M marks。
关键式（如 log law、trig identity）必须显式写出。
🎯 Exam focusWMA12 多题明确写“calculator-only not acceptable”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写核心转换公式。
Step 2 \rightarrow 显示每次等价变形。
Step 3 \rightarrow 最后才用数值近似。
EDX WMA12/01 Oct 2023 Q3 note
Trig equation with explicit instruction that calculator-only solutions are unacceptable.
必须写 \tan\to\sin/\cos 与分支求解 \rightarrow 再给角度数值。
[M1] 展示关键代数/恒等式变形。
[A1] 数值解正确并来源清晰。
EDX WMA12/01 May 2024 Q3 note
Log equation requiring full law-based manipulation, not direct solver output.
先对数律化简 \rightarrow 再去对数解二次 \rightarrow 过滤合法解。
[M1] 变形链完整。
[A1] 合法答案正确。
M/A/DM Dependency Control（得分依赖链控制）
📖 Definition通过先拿 method 再拿 accuracy 的顺序化书写，稳定最大化得分。
🔑 KeyA marks 依赖前置 M marks；DM marks 依赖更早 method。
先写结构式，再代数值，最后结论。
🎯 Exam focusP2 大题常见 M1-B1-DM1-A1 串联，跳步会断链。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先立模型方程（拿 M）。
Step 2 \rightarrow 规范代入和化简（拿 DM/A）。
Step 3 \rightarrow 写完整结论含单位/范围。
EDX WMA12/01 May 2024 Q2/Q3/Q4 marking pattern
Across AP, log and factor questions, marks are awarded in a dependency chain.
先公式结构 \rightarrow 再求值 \rightarrow 最后合法性与结论，避免只报答案。
[B1] 结构式出现。
[M1] 正确方法推进。
[DM1] 依赖前步的进一步计算。
[A1] 最终准确结论。
EDX WMA12/01 Jan 2022 Q1/Q2 notes
Trapezium and stationary-point questions show clear method-then-accuracy marking dependence.
先拿公式方法分 \rightarrow 再给数值精度分 \rightarrow 最后性质结论分。
[M1] 公式框架正确。
[A1] 精确结果正确。