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EDX P3 Pure Mathematics 3 Concept Map
22 个知识节点 · P3
1. Functions & Transformations
Modulus Graph & Vertex（模函数图像与顶点）
📖 Definition对 y=a|x-h|+k，顶点在 (h,k)，图像是 V-shape。
🔑 Key顶点：(h,k)。
斜率左右分别为 \pm a。
平移规则：y=f(x-c) 右移 c，y=bf(x) 纵向伸缩。
🎯 Exam focusP3 经常先问 vertex，再接 inequality/变换后的像点。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写成标准模形式。
Step 2 \rightarrow 直接读 (h,k)。
Step 3 \rightarrow 对变换应用坐标映射。
EDX WMA13/01 May 2024 Q1(a)(c)
For f(x)=2|x-5|+10, state vertex and image of vertex under y=3f(x-2).
先读顶点 (5,10) \rightarrow 右移 2 得 (7,10) \rightarrow 纵向乘 3 得 (7,30)。
[B1] 顶点坐标一项正确。
[B1] 顶点完整正确。
[B1] 变换后 x 坐标正确（FT）。
[B1] 变换后 y 坐标正确（FT）。
EDX WMA13/01 Jan 2024 Q1
Identify key features of a modulus-transformed graph and map key point(s).
标准式读顶点 \rightarrow 根据 inside/outside 变换做点映射。
[M1] 变换方向判断正确。
[A1] 关键点坐标正确。
Composite & Inverse Functions（复合与反函数）
📖 Definition处理 f(f(x))、f^{-1}(x)、g\circ f 与约束定义域。
🔑 Key复合：(g\circ f)(x)=g(f(x))。
反函数：交换 x,y 后解 y。
分式函数需先写不可取值。
🎯 Exam focusP3 常把 ff(6)、求 f^{-1}、再做 g(f(a)) 连成一题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确先后层。
Step 2 \rightarrow 代入后代数化简。
Step 3 \rightarrow 反函数写 domain restriction。
EDX WMA13/01 Oct 2023 Q2(a)(b)(c)
Given f(x)=\frac{x+3}{x-4}, find ff(6), f^{-1}(x), and exact a for g(f(a))=7.
先算 f(6) 再代入 f \rightarrow 交换变量求 f^{-1} \rightarrow 由 g(f(a))=7 反推 f(a)=\sqrt2 并解 a。
[M1] 复合代入结构正确。
[A1] ff(6) 正确。
[M1] 反函数求解步骤正确。
[A1] f^{-1} 正确并有限制。
[M1] 方程回代求 a 正确。
[A1] exact a 正确。
EDX WMA13/01 Jan 2023 Q2
Evaluate composite and inverse expressions for rational functions.
先处理定义域 \rightarrow 再做代入与反解。
[M1] 定义域意识正确。
[A1] 目标表达式正确。
2. Modulus Equations/Inequalities
Modulus Inequalities（模不等式）
📖 Definition将含 |\cdot| 不等式转为分段线性不等式求解区间。
🔑 Key|u|>v（v>0）等价 u>v 或 u<-v。
若 v\le0 需先判全真/无解。
最终答案用区间表达。
🎯 Exam focus评分关键是“去模后有中间步骤”，只报答案不给 M marks。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先隔离模项。
Step 2 \rightarrow 去模拆两支。
Step 3 \rightarrow 合并区间并化简分数。
EDX WMA13/01 May 2024 Q1(b)
Solve 2|x-5|+10>6x algebraically.
移项成 |x-5|>3x-5 \rightarrow 分两支解线性不等式 \rightarrow 合并得 x<\frac52。
[M1] 去模拆分方法正确。
[A1] 最终不等式区间正确。
EDX WMA13/01 Jan 2024 Q1
Solve an absolute-value inequality with a linear right side, no calculator method.
整理到 |u|\gtrless v \rightarrow 分支求解 \rightarrow 区间并集。
[M1] 分支结构正确。
[A1] 解集正确。
Case-Splitting Algebra（分情况代数）
📖 Definition通过 piecewise 结构对不同区间给出不同线性表达并分别求解。
🔑 Key|x-h|=\begin{cases}x-h,&x\ge h\\h-x,&x<h\end{cases}。
每个分支解完需回代检查区间一致性。
🎯 Exam focus在 modulus 题中用于拿 method 分与防增根。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 设分界点。
Step 2 \rightarrow 分支建立线性式。
Step 3 \rightarrow 解并做区间过滤。
EDX WMA13/01 May 2024 Q1(b) Alt
Solve modulus inequality by writing explicit piecewise equations.
按 x\ge5 与 x<5 分两支 \rightarrow 各解不等式 \rightarrow 区间兼容过滤。
[M1] 分段表达正确。
[DM1] 分段结果与区间一致。
[A1] 最终集合正确。
EDX WMA13/01 Oct 2023 Q1-style
Use case splitting on piecewise/rational absolute setup.
先定阈值 \rightarrow 分段代数求解 \rightarrow 过滤。
[M1] 分情况方法正确。
[A1] 合法解保留正确。
3. Algebraic Fractions
Partial Fractions（部分分式）
📖 Definition将有理函数拆成简单分式用于积分或化简。
🔑 Key线性因子：\frac{A}{x-a}。
重根需重复项。
比较系数/代特值求常数。
🎯 Exam focusP3 常问先写成 \frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+C 再积分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先做 long division 若次数不真分。
Step 2 \rightarrow 设 PF 结构。
Step 3 \rightarrow 用代点+比较系数求常数。
EDX WMA13/01 May 2024 Q2(a)
Write g(x)=\frac{2x^2-5x+8}{x-2} in the form Ax+\frac{B}{x-2}+C.
先除法得 2x-1+\frac{6}{x-2} \rightarrow 对应读出常数。
[M1] 正确建立 PF/除法结构。
[DM1] 三个常数求解过程。
[A1] 分解表达式正确。
EDX WMA13/01 Jan 2024 Q2
Decompose a rational expression prior to integration.
真分处理 \rightarrow 设 PF \rightarrow 求常数。
[M1] 方法正确。
[A1] 常数正确。
PF Integration（分式积分）
📖 Definition将分式拆开后逐项积分，log 项保留 exact form。
🔑 Key\int\frac{1}{x-a}dx=\ln|x-a|+C。
线性项按幂函数积分。
定积分要先代上限再减下限。
🎯 Exam focus常见“show that result = \alpha+\beta\ln 3”格式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 用 PF 结果逐项积分。
Step 2 \rightarrow 代 limits 并整理 log。
Step 3 \rightarrow 化成题目要求常数+log 形式。
EDX WMA13/01 May 2024 Q2(b)
Hence show that \int_4^8 g(x)dx=\alpha+\beta\ln 3.
代入(a)分解式积分 \rightarrow 端点代入 \rightarrow 合并为 44+6\ln3 型。
[M1] 对 \frac{1}{x-2} 积分结构正确。
[A1] 不定积分表达正确（FT）。
[DM1] 定积分代上下限并合并。
[A1] \alpha,\beta 正确。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q3(i)
Integrate a polynomial power form exactly in simplest form.
先幂次积分 \rightarrow 化简常数。
[M1] 幂函数积分方法正确。
[A1] 最终积分正确。
4. Logarithms & Linear Forms
Log-Log Straight Line（双对数直线化）
📖 Definition对幂函数模型取对数，把非线性关系转成直线关系。
🔑 Key若 y=Cx^n，则 \log y=n\log x+\log C。
斜率给指数，截距给系数。
🎯 Exam focusP3 常考“sketch \log y against \log x”并标两轴截距。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 取同底对数。
Step 2 \rightarrow 写 Y=mX+c 形式。
Step 3 \rightarrow 从方程读截距并作图。
EDX WMA13/01 May 2024 Q3(i)
For y=10^6x^{-3}, sketch \log_{10}y against \log_{10}x and state intercepts.
取 \log_{10} 得 \log y=6-3\log x \rightarrow 直线斜率 -3 \rightarrow 轴截距 (0,6),(2,0)。
[B1] 直线趋势正确。
[B1] y-截距正确。
[B1] x-截距正确。
EDX WMA13/01 Jan 2024 Q3(i)
Linearise a power-law relation on log scales and identify gradient/intercept.
log 化 \rightarrow 读 slope/intercept \rightarrow 标注。
[M1] 线性化方程正确。
[A1] 图像信息正确。
Exponential Model Parameters（指数模型参数）
📖 Definition从对数线性关系反求 N=ab^t 或同类增长模型参数。
🔑 Key若 \log_3 N=2t+4，则 N=3^{2t+4}=81\cdot9^t。
参数在原模型中要保留正值约束。
🎯 Exam focus常与实际情境（population/sales/temperature）参数拟合联动。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从线性式分离截距与斜率。
Step 2 \rightarrow 指数化回原变量。
Step 3 \rightarrow 写成 ab^t 标准型。
EDX WMA13/01 May 2024 Q3(ii)
Given linear relation between \log_3N and t, show N=ab^t and find constants.
由图得 \log_3N=2t+4 \rightarrow 两边以 3 为底反对数 \rightarrow N=81\cdot9^t。
[B1] 线性关系正确写出。
[M1] 反对数步骤正确。
[A1] a,b 正确。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q4(a)(b)
For an exponential pond-weed model, determine parameter and time from conditions.
代初值求常数 \rightarrow 再代另一时刻解时间 \rightarrow 精度处理。
[M1] 建立参数方程正确。
[A1] 参数与时间正确。
5. Trigonometric Structure
Identity Conversion（恒等式转化）
📖 Definition用 double-angle 与 reciprocal identities 把 trig 式转到可解/可积形式。
🔑 Key\sin2x=2\sin x\cos x, \cos2x=2\cos^2x-1。
\csc x=\frac1{\sin x}, \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}。
🎯 Exam focusP3 often asks “Show that ... can be written as ...”作为后续求解桥梁。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先统一函数族（全 \sin/\cos）。
Step 2 \rightarrow 用 double-angle 变形。
Step 3 \rightarrow 化为单一目标式。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q2(a)
Show that 8\cos\theta=3\csc\theta can be written as \sin2\theta=k.
写 \csc\theta=\frac1{\sin\theta} \rightarrow 两边乘 \sin\theta \rightarrow 用 \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta。
[B1] reciprocal identity 正确。
[M1] double-angle 转换正确。
[A1] k 值正确。
EDX WMA13/01 Oct 2023 Q3(a)
Using \cos(A+B), prove \cos2A\equiv2\cos^2A-1.
代 A=B 入和角公式 \rightarrow 用 \sin^2A=1-\cos^2A \rightarrow 得证。
[M1] 和角公式使用正确。
[A1] 恒等结论无误。
\(R\sin(\cdot)\) Form（幅角合成）
📖 Definition把 a\sin2x+b\cos2x+c 合成为 R\sin(2x+\alpha)+c 以便求极值。
🔑 KeyR=\sqrt{a^2+b^2}，\tan\alpha=\frac{b}{a}（结合象限）。
最大值 =R+c。
🎯 Exam focusP3 高频“先化式，再求最大值与发生位置”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写成 a\sin2x+b\cos2x+c。
Step 2 \rightarrow 求 R,\alpha。
Step 3 \rightarrow 由相位条件解 x。
EDX WMA13/01 May 2024 Q4(a)(b)(c)
For f(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3, express in R\sin(2x+\alpha)+c, then find maximum and second smallest positive x.
先变成 a\sin2x+b\cos2x+c \rightarrow 合成为 R\sin(2x+\alpha)+c \rightarrow 由 \sin=1 解 x 序列取第二小。
[M1] 双角化简正确。
[A1] a,b,c 正确。
[M1] 合成 R,\alpha 方法正确。
[A1] R,\alpha 数值正确。
[B1] 最大值正确。
[A1] 指定 x 正确。
EDX WMA13/01 Jan 2023 Q4
Rewrite trig linear combination as single sine/cosine and deduce extrema.
先统一频率 \rightarrow 幅角合成 \rightarrow 极值定位。
[M1] 合成结构正确。
[A1] 极值结论正确。
6. Trig Equation & Integral
Trig Equations (Mixed)（混合三角方程）
📖 Definition将复合 trig 方程化简到可枚举的标准角方程。
🔑 Key常用代换与恒等式化到 \sin\theta=c, \cos\theta=c 或 \tan\theta=c。
区间内需列全解。
🎯 Exam focus评分强调“show all stages”，纯计算器不给 method marks。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 用已证恒等式降维。
Step 2 \rightarrow 化到单一 trig 方程。
Step 3 \rightarrow 区间列解并取精度。
EDX WMA13/01 Jun 2023 Q9(b)
Using result from (a), solve a mixed equation for 0<\theta<2\pi.
先代已证恒等式 \rightarrow 化成 \cot\theta 或 \sin\theta 方程 \rightarrow 按象限求全部解。
[M1] 代入已证式正确。
[M1] 化简到标准方程。
[A1] 至少一组解正确。
[A1] 全部解完整正确。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q2(b)
Hence find the smallest positive solution of 8\cos\theta=3\csc\theta.
用(a)得 \sin2\theta=\frac34 \rightarrow 求主角 \rightarrow 回到 \theta 取最小正值。
[M1] 角度计算次序正确。
[A1] 最小正解正确。
Exact Trig Integrals（精确三角积分）
📖 Definition通过恒等变形把 trig 被积函数化到基础积分模板。
🔑 Key\int\sin x\,dx=-\cos x。
复合结构先代恒等式简化再积分。
定积分保持 exact value。
🎯 Exam focusP3 常问“Hence, or otherwise, find exact value of integral”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 用已知恒等式替换 integrand。
Step 2 \rightarrow 逐项积分。
Step 3 \rightarrow 代限并整理 exact 常数。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q3(ii)
Show by algebraic integration that \int_0^{\pi/3}\frac{4\sin x}{1+2\cos x}dx=\ln a.
设 u=1+2\cos x 或直接识别 \frac{u'}{u} \rightarrow 积分成 \ln \rightarrow 代上下限求 a。
[M1] 对 \frac{u'}u 结构识别正确。
[A1] 不定积分正确。
[DM1] 代限与 log 合并正确。
[A1] \ln a 常数正确。
EDX WMA13/01 Jun 2023 Q9(c)
Using the result from part (a), evaluate an exact trig integral.
先替换 integrand \rightarrow 化为基础积分 \rightarrow exact 计算。
[M1] 替换与化简正确。
[A1] exact 值正确。
Triple-Angle Proof Chain（三倍角证明链）
📖 Definition通过 compound-angle 与 double-angle 把 \sin3\theta 相关表达化到单角多项式。
🔑 Key\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta。
常配合 \cos2\theta=1-2\sin^2\theta 做单变量化。
🎯 Exam focusP3 常见 8-10 分大题：先 prove 恒等式，再解方程，再做 exact integral。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从 \sin(2\theta+\theta) 展开。
Step 2 \rightarrow 用 \sin^2+\cos^2=1 消元。
Step 3 \rightarrow 代入方程并求解/积分。
EDX WMA13/01 Oct 2022 Q9(a)(b)(c)
Show a mixed expression simplifies to a single trig form using \sin3\theta, then solve for \theta, then evaluate an exact integral.
先三倍角恒等式推导 \rightarrow 化到 \sin\theta 多项式 \rightarrow 解角并回到积分表达。
[M1] compound-angle 展开正确。
[M1] 单角化简链正确。
[A1] 证明结论正确。
[M1] 方程求解结构正确。
[A1] 角解正确。
[A1] 积分 exact 值正确。
EDX WMA13/01 Jun 2023 Q9
Use an established trig identity chain to solve a follow-up equation efficiently.
调用(a)结论 \rightarrow 减少代数复杂度 \rightarrow 枚举区间解。
[M1] 正确使用已证结果。
[A1] 后续解答正确。
7. Numerical Methods
Root Bracketing（根区间判定）
📖 Definition用连续函数在端点异号证明区间内存在根。
🔑 Key若 f(a)f(b)<0 且连续，则 (a,b) 有根。
需同时给 sign change 与 continuity 叙述。
🎯 Exam focusP3 迭代题前常先给“show root in [1,2]”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 计算 f(a),f(b)。
Step 2 \rightarrow 指出异号。
Step 3 \rightarrow 连续性+结论。
EDX WMA13/01 Oct 2023 Q1(a)
Show f(x)=x^2-5x+e^x has a root \alpha in [1,2].
算 f(1),f(2) 异号 \rightarrow 说明 f continuous \rightarrow conclude root in interval。
[M1] 端点代值与符号判断正确。
[A1] 连续性与存在根结论完整。
EDX WMA13/01 Jan 2024 Q8(a) pre-iteration logic
Establish a valid interval/starting structure before iteration.
先定位方程根所在合理区间 \rightarrow 再启动迭代。
[M1] 区间判定合理。
[A1] 逻辑结论正确。
Fixed-Point Iteration（不动点迭代）
📖 Definition用 x_{n+1}=g(x_n) 重复迭代逼近方程根或最值点。
🔑 Key必须给出至少一个中间迭代值。
最终答案按指定 dp/sf。
起始值影响收敛速度。
🎯 Exam focus评分通常：M1 for substitution, A1 for x_2, A1 for converged value。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 代起始值算 x_2。
Step 2 \rightarrow 连续迭代直到稳定。
Step 3 \rightarrow 写到题目精度。
EDX WMA13/01 Oct 2023 Q1(b)
Using x_{n+1}=5-\frac{e^{x_n}}{x_n}, x_1=1, find x_2 and estimate root \alpha.
代 x_1 得 x_2 \rightarrow 继续迭代至收敛 \rightarrow 写 \alpha 到 4 d.p.
[M1] 一次迭代代入正确。
[A1] x_2 正确。
[A1] 收敛值正确。
EDX WMA13/01 May 2024 Q8(c)
Use given iteration formula to find horizontal distance at maximum height.
按给定 x_{n+1} 公式算 x_2 \rightarrow 重复到稳定 \rightarrow 报 2 d.p.
[M1] 迭代流程正确。
[A1] x_2 正确。
[A1] 最终距离正确。
8. Differentiation in Context
Product + Exponential Stationary（乘积指数函数极值）
📖 Definition对 (ax+b)e^{kx} 用乘积法求导并解 stationary point。
🔑 Key\frac{d}{dx}[uv]=u'v+uv'。
指数项可提公因子 e^{kx} 简化方程。
🎯 Exam focusP3 常在首题考 product rule + stationary。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 乘积求导。
Step 2 \rightarrow 提 e^{kx} 并令导数 0。
Step 3 \rightarrow 解线性方程得 x。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q1
Find x-coordinate of stationary point on y=(2x+5)e^{3x}.
乘积求导 \rightarrow 提 e^{3x} \rightarrow 解 6x+17=0 得 x=-\frac{17}{6}。
[M1] 乘积法结构正确。
[DM1] 因子提取并设零。
[A1] x 值正确。
EDX WMA13/01 May 2024 Q8(b)
Show maximum of h=1.5x-0.5xe^{0.02x} occurs at a logarithmic x-equation.
求导 \rightarrow 令 \frac{dh}{dx}=0 \rightarrow 整理成含 \ln 的方程。
[M1] 求导与设零正确。
[A1] 目标方程形式正确。
Implicit / Inverse Derivative（隐函数/反导数关系）
📖 Definition在 x=f(y) 或隐式关系下通过链式法求 \frac{dy}{dx}。
🔑 Key若有 x=f(y)，则 \frac{dx}{dy}=f'(y)，且 \frac{dy}{dx}=\frac1{dx/dy}。
需避免把 y 当常数。
🎯 Exam focusP3 后段常要求“find dx/dy, hence show dy/dx in terms of x”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先对 y 求 dx/dy。
Step 2 \rightarrow 取倒数得 dy/dx。
Step 3 \rightarrow 用原关系代换成 x 表达。
EDX WMA13/01 May 2024 Q9(b)(i)(ii)
For x=4\sin2y-1, find \frac{dx}{dy}, hence show \frac{dy}{dx} in terms of x.
先得 \frac{dx}{dy}=8\cos2y \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac1{8\cos2y} \rightarrow 由 \sin2y=\frac{x+1}{4} 转 \cos2y 为 x 式。
[M1] dx/dy 正确。
[M1] 取倒数与链式关系正确。
[DM1] 代换到 x 的过程正确。
[A1] 最终 dy/dx 正确。
EDX WMA13/01 Jun 2023 Q10(a)
Differentiate relation given as x in terms of y and simplify.
对 y 微分 \rightarrow 整理分式 \rightarrow 化简。
[M1] 微分方法正确。
[A1] 化简结果正确。
9. Parametric & Normal Geometry
Parametric Curve \(x=f(y)\)（参数曲线）
📖 Definition把 y 作为参数分析曲线位置、切线与几何量。
🔑 Key给定参数点先验证坐标。
切线/法线要在同参数值处计算斜率。
常与三角式参数结合。
🎯 Exam focusP3 末题喜欢 x=4\sin2y-1 这类 “x as function of y” 题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 代参数验证点。
Step 2 \rightarrow 求导得到切线斜率。
Step 3 \rightarrow 写法线并处理几何。
EDX WMA13/01 May 2024 Q9(a)(b)
Given x=4\sin2y-1, verify point P(k,\frac{\pi}{3}) and derive slope relations.
代 y=\frac\pi3 得 k=2 \rightarrow 继续求导关系用于法线。
[B1] 点验证正确。
[M1] 参数求导结构正确。
[A1] 斜率表达正确。
EDX WMA13/01 Jun 2023 Q10
From a parametric-type relation, find tangents parallel to axis.
求导后令 dx/dy=0 或 dy/dx=\infty \rightarrow 解参数并回代方程。
[M1] 平行条件设置正确。
[A1] 切线方程正确。
Normal Line & Triangle Area（法线与三角形面积）
📖 Definition利用法线方程与坐标轴交点构造几何图形并求面积。
🔑 Key法线斜率 m_n=-\frac1{m_t}。
与 x/y 轴交点可由直线方程直接求。
面积常用 \frac12\times 底 \times 高。
🎯 Exam focus典型是“normal at P cuts axis at N, find exact area of triangle OPN”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求切线斜率并转法线。
Step 2 \rightarrow 写法线方程求交点。
Step 3 \rightarrow 用坐标法求面积。
EDX WMA13/01 May 2024 Q9(c)
Normal at P meets x-axis at N. Find exact area of triangle OPN in form a\pi+b\pi^2.
先算 m_t,m_n \rightarrow 求 N 坐标 \rightarrow 用坐标几何表达三角形面积并整理成 a\pi+b\pi^2。
[M1] 法线斜率与方程正确。
[M1] 轴交点坐标正确。
[A1] exact 面积形式与常数正确。
EDX WMA13/01 Jun 2023 Q10(b)
Find equations of tangents/normal from derivative condition and deduce geometric result.
解参数点 \rightarrow 写切法线 \rightarrow 代入几何量。
[M1] 直线方程建立正确。
[A1] 几何结论正确。
10. Modelling & Optimization
Exponential Growth Limit（指数增长极限）
📖 Definition在饱和型模型中通过 t\to\infty 求极限上界。
🔑 Key若模型形如 A=\frac{Mpe^{kt}}{pe^{kt}+q}，则 t\to\infty\Rightarrow A\to M。
参数先由初值/观测点求。
🎯 Exam focusP3 常连问：show parameter p，求时间 T，再求 maximum possible。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 代初值求参数。
Step 2 \rightarrow 代目标值求 T（用 ln）。
Step 3 \rightarrow 令 t\to\infty 求上限。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q4(a)(b)(c)
For pond-weed model, show p=2.4, find T, and maximum possible area.
代 t=0 求 p \rightarrow 代 A=50 解 T \rightarrow 取极限得最大面积 80。
[M1] 参数方程建立正确。
[A1] p 正确。
[M1] ln 求 T 步骤正确。
[A1] T 正确。
[B1] 最大上限正确。
EDX WMA13/01 Jan 2023 model question
Interpret model limit and justify whether target value is reachable.
写极限上界 \rightarrow 与目标比较给可达性判断。
[M1] 极限分析正确。
[A1] 结论正确。
Projectile Iteration Model（抛射模型与迭代）
📖 Definition在复合指数轨迹模型中先求落地距离，再求最高点位置并用迭代逼近。
🔑 Key落地：令 h=0。
最高点：令 \frac{dh}{dx}=0。
若方程不可显式解，用给定 iteration formula。
🎯 Exam focusP3 大题整合：代数求 d+导数方程+迭代收敛。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 令高度为零解 d。
Step 2 \rightarrow 求导设零得到含 ln 方程。
Step 3 \rightarrow 迭代求最大高度位置。
EDX WMA13/01 May 2024 Q8(a)(b)(c)
For h=1.5x-0.5xe^{0.02x}, find d, derive max-point equation, and use iteration for x at max height.
令 h=0 得 d \rightarrow 导数设零推到 x=50\ln(\frac{150}{50-x}) 型 \rightarrow 用给定迭代算 x_2 与极值位置。
[M1] 落地方程建立正确。
[A1] d 数值正确。
[M1] 导数与极值方程推导正确。
[A1] 目标方程形式正确。
[M1] 迭代步骤正确。
[A1] 最大点 x 值正确。
EDX WMA13/01 Jan 2024 Q8-style
Use model equations to combine calculus and numerical iteration in context.
先解析化简 \rightarrow 再迭代到精度。
[M1] 解析推导正确。
[A1] 数值结果正确。
Differential Equation Model（微分方程建模）
📖 Definition将增长/衰减情境写为 \frac{dN}{dt}=kN 或 logistic 型，并解出参数与预测值。
🔑 Key指数模型：\frac{dN}{dt}=kN\Rightarrow N=N_0e^{kt}。
若给限值则常为分式饱和模型。
参数由初值与观测点确定。
🎯 Exam focusP3 套卷常把“show parameter + estimate time/quantity + interpret limit”连成一问。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 建微分方程并积分。
Step 2 \rightarrow 代条件解常数。
Step 3 \rightarrow 反求时间并解释模型含义。
EDX WMA13/01 Jan 2022 Q4
From a growth model with exponential terms, show parameter value, find time to reach target, and deduce upper limit.
由初值定参数 \rightarrow 代目标值解 t（用 \ln）\rightarrow 取 t\to\infty 得极限。
[M1] 参数方程建立正确。
[A1] 参数正确。
[M1] ln 解时刻方法正确。
[A1] 时间正确。
[B1] 模型上限解释正确。
EDX WMA13/01 2022/2023 modelling question
Interpret a first-order growth-type model and compute a practical quantity (e.g. monthly total or threshold time).
先解通式 \rightarrow 代给定条件 \rightarrow 转换到题目单位（days/months）。
[M1] 模型解法正确。
[A1] 实际量计算正确。