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EDX P4 Pure Mathematics 4 Concept Map
21 个知识节点 · P4
1. Advanced Binomial
Fractional Binomial（分数指数二项展开）
📖 Definition对 (1+u)^n（n\notin\mathbb{N}）按幂次展开并截断。
🔑 Key(1+u)^n=1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^2+\cdots。
按“first non-zero terms”准确截断。
🎯 Exam focusP4 常把展开与数值近似（如 surd approximation）连问。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 u,n。
Step 2 \rightarrow 写出目标项数。
Step 3 \rightarrow 代值近似并控精度。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q2(a)(b)
Expand (1+\frac{4x}{3})^{\frac{1}{4}} and use x=\frac13 for a rational approximation.
套二项展开 \rightarrow 取前三个非零项 \rightarrow 代 x=\frac13 得近似。
[M1] 展开结构正确。
[A1] 系数化简正确。
[M1] 代值近似步骤正确。
[A1] 近似结果正确。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q1(a)
Find first four terms of a fractional binomial expansion in ascending powers of x.
写通项 \rightarrow 逐项化简到 x^3。
[M1] 通项方法正确。
[A1] 四项正确。
Range of Validity（展开有效区间）
📖 Definition由 (1+u)^n 的收敛条件确定 |u|<1 对应的 x 区间。
🔑 Key若 u=kx 则 |kx|<1\Rightarrow |x|<\frac1{|k|}。
要写区间形式。
🎯 Exam focusP4 常单独给 1 mark：expansion valid range。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 |u|<1。
Step 2 \rightarrow 解 x 不等式。
Step 3 \rightarrow 区间化表达。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q1(b)
Find the range of values of x for which the binomial expansion is valid.
从展开内核 u 写 |u|<1 \rightarrow 解出 x 范围。
[M1] 收敛条件正确写出。
[A1] 区间正确。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q2(a) follow-up
State the validity interval after finding the first terms.
直接由 |x|<\cdots 写答案区间。
[B1] 有效区间正确。
2. Vectors in 3D
Position Vectors（位置向量与点坐标）
📖 Definition通过 \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB} 快速求目标点坐标。
🔑 Key向量分量逐项相加减。
坐标与向量表示需保持一致顺序。
🎯 Exam focusP4 典型 Q2(a) 先算 B，再给参数点 C。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写向量关系式。
Step 2 \rightarrow 分量运算。
Step 3 \rightarrow 转点坐标。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q2(a)
Given \vec{OA} and \vec{AB}, find coordinates of B.
用 \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB} \rightarrow 分量相加 \rightarrow 写成 (x,y,z)。
[M1] 向量关系正确。
[A1] B 坐标正确。
EDX WMA14/01 Jan 2023 Q2(a)
Find unknown point from two position vectors in 3D.
分量计算 \rightarrow 输出坐标。
[M1] 分量法正确。
[A1] 结果正确。
Perpendicular Condition（垂直条件与参数）
📖 Definition利用 \vec{u}\cdot\vec{v}=0 建立参数方程并解多值参数。
🔑 Key点乘为 0 表垂直。
常得到二次方程，需给全部可行根。
🎯 Exam focusP4 高频：\vec{OC}\perp\vec{BC} 求参数 a。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写 \vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}。
Step 2 \rightarrow 点乘设零。
Step 3 \rightarrow 解方程得参数值。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q2(b)
Given \vec{OC}\perp\vec{BC}, find possible values of a.
先写 \vec{BC} \rightarrow 代 \vec{OC}\cdot\vec{BC}=0 \rightarrow 解二次。
[M1] 构造 \vec{BC} 正确。
[DM1] 点乘方程正确。
[DM1] 解二次过程正确。
[A1] 参数值全对。
EDX WMA14/01 Jan 2024 vector question
Use perpendicular vectors to derive an equation in a scalar parameter.
写点乘零条件 \rightarrow 解标量。
[M1] 条件方程正确。
[A1] 参数正确。
3. Implicit Differentiation
Implicit First Derivative（隐函数一阶导）
📖 Definition对隐式曲线 F(x,y)=0 逐项微分求 \frac{dy}{dx}。
🔑 Keyy 项需链式法：\frac{d}{dx}y^n=ny^{n-1}\frac{dy}{dx}。
整理成 \frac{dy}{dx}=\cdots。
🎯 Exam focusP4 常给曲线方程并在点上求切/法线。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 全式对 x 微分。
Step 2 \rightarrow 收集 \frac{dy}{dx} 项。
Step 3 \rightarrow 代指定点。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q3
For 8x^3-xy^2=9, find normal at (2,5).
先隐式微分求 \frac{dy}{dx} \rightarrow 代 (2,5) 得切线斜率。
[M1] 至少一个 y 项链式正确。
[DM1] 导数式整理正确。
[A1] 点上斜率正确。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q1
Implicitly differentiate xy^2=x^2y+6 as part of tangent-finding.
全式微分 \rightarrow 收集 y' \rightarrow 化简。
[M1] 微分结构正确。
[A1] y' 正确。
Tangent/Normal Equation（切线与法线方程）
📖 Definition由点斜式写切线，再取负倒数写法线。
🔑 Key切线：y-y_1=m_t(x-x_1)。
法线：m_n=-\frac1{m_t}。
最终整理到 ax+by+c=0。
🎯 Exam focus常要求 a,b,c 为整数，需清分母。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求 m_t。
Step 2 \rightarrow 转 m_n 并写方程。
Step 3 \rightarrow 整理整数系数。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q3
Find equation of normal at point in form ax+by+c=0.
由隐导得 m_t \rightarrow 法线斜率 m_n \rightarrow 点斜式整理。
[M1] 法线斜率关系正确。
[A1] 方程形式正确。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q1
Find tangent line to implicit curve at (2,3) in integer-coefficient form.
代点求斜率 \rightarrow 点斜式 \rightarrow 标准式。
[M1] 点斜式正确。
[A1] 最终标准式正确。
4. Integration Techniques
Integration by Parts（分部积分）
📖 Definition处理多项式×指数/三角等乘积积分。
🔑 Key\int u\,dv=uv-\int v\,du。
选 u 让求导变简单，dv 易积分。
🎯 Exam focusP4 典型 exact integral，常要求“in simplest form”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选 u,dv。
Step 2 \rightarrow 套 parts 公式。
Step 3 \rightarrow 代上下限并整理。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q3(i)
Use integration by parts to find exact value of \int_0^4 x^2e^{2x}dx.
取 u=x^2,dv=e^{2x}dx \rightarrow 分部两次或递推 \rightarrow 代限。
[M1] parts 结构正确。
[DM1] 后续积分推进正确。
[A1] exact 值正确。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q1
Evaluate \int_0^{\pi/6}x\cos 3x\,dx exactly.
取 u=x,dv=\cos3x\,dx \rightarrow 分部 \rightarrow 代限。
[M1] 分部步骤正确。
[A1] 最终结果正确。
Integration by Substitution（换元积分）
📖 Definition识别复合函数结构，令 u=g(x) 降低积分复杂度。
🔑 Key若见 \frac{g'(x)}{g(x)} 常导向 \ln|g(x)|。
定积分可换限或换回 x。
🎯 Exam focusP4 常要求证明结果形如 a+b\ln c。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选 (u)。
Step 2 \rightarrow 变换 (dx)。
Step 3 \rightarrow 积分并代限。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q3(ii)
Use substitution to show an integral equals a+b\ln 2 (or similar).
令内部表达为 u \rightarrow 变成有理/对数积分 \rightarrow 代限得常数+log。
[M1] 换元选择正确。
[DM1] 变换与积分正确。
[A1] 目标形式常数正确。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q5
Evaluate a composite-function integral using substitution with exact constants.
设 (u) 后积分 \rightarrow exact 化简。
[M1] 换元结构正确。
[A1] 结果正确。
5. Parametric Curves
Parametric to Cartesian（参数方程转直角方程）
📖 Definition消去参数 (t)，建立 x,y 关系并写有效区间。
🔑 Key常用 \sin^2t+\cos^2t=1。
需给 (x) 的范围 (p\le x\le q)。
🎯 Exam focusP4 常先得根式关系，再化成有理式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从 x,y 表达 \sin t,\cos t。
Step 2 \rightarrow 用恒等式消参。
Step 3 \rightarrow 回写定义域。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q3(a)(b)
Given parametric equations, show Cartesian form and hence rewrite as rational expression with domain.
由 x 解 \sin t \rightarrow 代入 y 式并消 (t) \rightarrow 整理并写 (p,q)。
[M1] 消参数思路正确。
[DM1] 代换与恒等式正确。
[A1] Cartesian 式正确。
[A1] 区间正确。
EDX WMA14/01 2023 parametric question
Convert parameter form into Cartesian and infer key constants.
消参 \rightarrow 提取常数。
[M1] 消参正确。
[A1] 常数正确。
Parameter Domain Mapping（参数域映射）
📖 Definition将 (t) 的区间映射到 (x) 或 (y) 的取值范围。
🔑 Key若 (x=f(t)) 单调可直接映射端点。
非单调需找极值点。
🎯 Exam focus很多同学能消参但漏写 (p\le x\le q) 而失分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 确认单调性。
Step 2 \rightarrow 映射端点/极值。
Step 3 \rightarrow 写最终范围。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q3(a)
Find constants (p,q) giving x-domain of the Cartesian curve.
将 (t\in[\pi/2,2\pi]) 代入 x(t) \rightarrow 求最小最大 x。
[M1] 映射方法正确。
[A1] (p,q) 正确。
EDX WMA14/01 Jun 2024 parametric part
State valid Cartesian range from parameter restrictions.
参数域转 x 域 \rightarrow 区间表达。
[B1] 区间正确。
6. Related Rates
Geometric Rates（几何相关变化率）
📖 Definition在几何量随时间变化时，用链式规则连接面积/体积/角度变化率。
🔑 Key\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}。
所有变量单位要一致。
🎯 Exam focusP4 高频是扇形/立体几何 related rates 题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写几何量公式。
Step 2 \rightarrow 对 t 微分。
Step 3 \rightarrow 代指定时刻与单位。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q4
Given segment area with \theta increasing at 0.1 rad/s, find rate of increase when \theta=\frac{\pi}{3}.
先得 \frac{dA}{d\theta}=K(1-\cos\theta) \rightarrow 乘 \frac{d\theta}{dt} \rightarrow 代 \theta=\frac{\pi}{3}。
[M1] 建立链式率关系。
[A1] K 正确。
[M1] 代时刻求值正确。
[A1] 单位与结果正确。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q2
For expanding cube, relate \frac{dS}{dt}, \frac{dx}{dt}, and \frac{dV}{dt}.
由 S=6x^2 得 \frac{dx}{dt}\propto\frac1x \rightarrow 再代 V=x^3 得 \frac{dV}{dt}=pV。
[M1] 面积率推导正确。
[DM1] 体积率表达正确。
[A1] 常数正确。
Chain Rule in Rates（链式法在变化率）
📖 Definition用 \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} 连接中间变量。
🔑 Key常见两步链：A(\theta),\theta(t) 或 V(x),x(t)。
正负号反映增减趋势。
🎯 Exam focus评分点通常拆为“公式结构分 + 代值分”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写全链。
Step 2 \rightarrow 分别求各因子。
Step 3 \rightarrow 乘并简化单位。
EDX WMA14/01 Jun 2024 Q4(b)
Find \frac{dA}{dt} using \frac{dA}{d\theta} and \frac{d\theta}{dt}.
链式连乘 \rightarrow 代 \theta 和速率。
[M1] 链式结构正确。
[A1] 数值正确。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q2(b)
Show \frac{dV}{dt}=pV from known \frac{dS}{dt}.
先得 \frac{dx}{dt} \rightarrow 带入 \frac{dV}{dt}=3x^2\frac{dx}{dt} \rightarrow 转成 V 形式。
[M1] 连接关系正确。
[A1] 最终形式正确。
Polyhedron Rates（多面体变化率）
📖 Definition在规则多面体中先建立 A(x),V(x)，再由 \frac{dA}{dt} 推出 \frac{dV}{dt}。
🔑 Key常见链：\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}, \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dx}\frac{dx}{dt}。
可消去 x 得 \frac{dV}{dt}=pV 或相关比例式。
🎯 Exam focusP4 高频就是 icosahedron/cube 体表关系，考“show that”推导完整度。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写几何公式 A(x),V(x)。
Step 2 \rightarrow 分别对 x 微分。
Step 3 \rightarrow 用 \frac{dA}{dt} 求 \frac{dx}{dt}，再代回 \frac{dV}{dt}。
EDX WMA14/01 Jan 2022 Q4(a)(b)(c)
For a regular icosahedron, show surface-area formula, then derive \frac{dV}{dt} from given \frac{dA}{dt}.
先得 A=5\sqrt3x^2 \rightarrow 写 (V) 与 x 的关系并求导 \rightarrow 链式连接 (A,V,t) \rightarrow 代 (x=2) 求数值率。
[M1] 面积/体积公式建立正确。
[DM1] 导数与链式连接正确。
[A1] 目标比例式正确。
[A1] 指定时刻速率正确。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q2
Cube expansion: show \frac{dx}{dt}=\frac{k}{x}, hence show \frac{dV}{dt}=pV.
由 S=6x^2 与 \frac{dS}{dt} 常数得 \frac{dx}{dt} \rightarrow 再代 V=x^3 导出比例微分方程。
[M1] \frac{dx}{dt} 推导正确。
[DM1] 体积率表达正确。
[A1] 常数 (p) 正确。
7. Differential Equations
Separable DE（可分离微分方程）
📖 Definition将 \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) 分离为两边积分求解。
🔑 Key分离：\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx。
积分后加常数并用条件定 C。
🎯 Exam focusP4 模型题常转为可分离式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 分离变量。
Step 2 \rightarrow 两边积分。
Step 3 \rightarrow 代初值。
EDX WMA14/01 2024/2023 DE question
Solve a first-order separable differential equation from a model context.
变量分离 \rightarrow 积分 \rightarrow 用条件求常数。
[M1] 分离正确。
[M1] 积分正确。
[A1] 常数与解正确。
EDX WMA14/01 Jan 2024 DE modelling question
Use separable method to derive closed-form expression for dependent variable.
重排到 y-only 与 x-only \rightarrow 积分。
[M1] 重排正确。
[A1] 结果正确。
DE Modelling（微分方程建模）
📖 Definition将物理/几何增长情境转为 DE，再解释参数含义与长期行为。
🔑 Key例如 \frac{dV}{dt}=pV 表示相对增长率常数。
单位解释不可省。
🎯 Exam focusP4 看重“show that”与解释性语句。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从文字建立关系。
Step 2 \rightarrow 推导到标准 DE 形式。
Step 3 \rightarrow 解释 p 的意义。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q2(b)
Show that \frac{dV}{dt}=pV for expanding cube.
由面积率常数推 \frac{dx}{dt} \rightarrow 代入体积导数 \rightarrow 证比例关系。
[M1] 推导路径正确。
[A1] p 值正确。
EDX WMA14/01 2022 modelling item
Interpret a DE parameter in the context of a geometric growth problem.
由公式读出参数对应的物理速率。
[B1] 解释正确。
8. Polar/Curve Geometry
Polar Relations（极坐标关系）
📖 Definition在 (r,\theta) 与 Cartesian 间转换，处理曲线方程与积分。
🔑 Keyx=r\cos\theta, y=r\sin\theta, r^2=x^2+y^2。
面积元常见 \frac12\int r^2 d\theta。
🎯 Exam focusP4 后段常出现 polar curve 的导数、面积或交点。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 选转换方向。
Step 2 \rightarrow 代入并化简。
Step 3 \rightarrow 处理区间。
EDX WMA14/01 2024 Q7
Convert and manipulate a polar-type curve relation for further calculation.
用基本换元 \rightarrow 化成可微/可积形式。
[M1] 转换正确。
[A1] 化简正确。
EDX WMA14/01 2023 Q7
Use polar identities to derive a required expression or bound.
极式替换 \rightarrow 目标式推导。
[M1] 身份式使用正确。
[A1] 结论正确。
Area from Curves（曲线面积）
📖 Definition通过定积分计算曲线与坐标轴/直线围成面积。
🔑 Key单曲线面积：\int_a^b y\,dx。
两曲线面积：\int_a^b(y_{top}-y_{bottom})dx。
🎯 Exam focusP4 常与参数/极坐标/法线结合成综合题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先求边界交点。
Step 2 \rightarrow 写正确上减下。
Step 3 \rightarrow exact 或规定精度。
EDX WMA14/01 2022 Q8/9
Find area enclosed by curve(s) and axis/line in exact form.
先边界 \rightarrow 定积分 \rightarrow 整理。
[M1] 积分表达正确。
[A1] 面积正确。
EDX WMA14/01 2024 Q8
Compute a geometric area from an advanced curve setup.
表达面积 \rightarrow 代数积分 \rightarrow 化简。
[M1] 设置正确。
[A1] 结果正确。
9. Numerical Methods
Newton-Raphson（牛顿迭代）
📖 Definition用切线近似快速求方程根：x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}。
🔑 Key需先写 f(x)=0 形式与导数。
起始值选在目标根附近。
🎯 Exam focusP4 后段常考 2-3 次迭代并比较精度。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写 (f,f')。
Step 2 \rightarrow 代公式求 (x_2,x_3)。
Step 3 \rightarrow 报告到指定位数。
EDX WMA14/01 2024 Q8(d)
Use Newton-Raphson to improve an approximate root.
写迭代公式 \rightarrow 连续代入 \rightarrow 收敛值。
[M1] 公式正确。
[A1] 迭代值正确。
EDX WMA14/01 2023 Q8
Apply one-step or two-step NR method from a given initial estimate.
按给定起点迭代 \rightarrow 报答案。
[M1] 代入正确。
[A1] 结果正确。
Iteration Convergence（迭代收敛判定）
📖 Definition判定给定迭代格式是否收敛并选择合适初值区间。
🔑 Key常用条件 |g'(x)|<1 近根处收敛。
也可用数值趋势判断。
🎯 Exam focusP4 常给“show convergence/choose interval”技巧分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 (g(x))。
Step 2 \rightarrow 检查 |g'|。
Step 3 \rightarrow 结合迭代值说明。
EDX WMA14/01 2024 Q8(c)
Use iterative scheme and explain convergence to required root.
计算几步值 \rightarrow 观察收敛 \rightarrow 对应理论条件说明。
[M1] 迭代过程正确。
[B1] 收敛说明合理。
EDX WMA14/01 2023 numerical method part
Assess suitability of an iterative formula for convergence.
计算或导数检验 \rightarrow 给结论。
[M1] 检验方法正确。
[A1] 结论正确。
10. Modelling & Interpretation
Growth/Decay Interpretation（增长衰减解释）
📖 Definition将数学结果（参数、极限、速率）翻译为情境意义。
🔑 Key正参数常对应增长，负参数对应衰减。
极限值常是物理上界/下界。
🎯 Exam focus建模题最后常有解释分，非纯计算。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别参数单位。
Step 2 \rightarrow 对结果给现实解释。
Step 3 \rightarrow 检查合理性。
EDX WMA14/01 Oct 2023 Q2 context
Interpret constant(s) in the cube expansion rate model.
说明 (k,p) 对应边长变化率与体积相对变化率。
[B1] 解释正确且贴合单位。
EDX WMA14/01 2024 modelling tail-part
State practical meaning of derived rate/limit in context.
把数值映射回情境对象与单位。
[B1] 情境解释正确。
Mark Dependency Control（得分依赖链控制）
📖 Definition按 M→DM→A 的依赖顺序组织解答，避免跳步断分。
🔑 KeyA marks 依赖有效方法分。
先列方程/公式，再代入数值，最后结论。
🎯 Exam focusP4 计算长题多，规范链路比“秒出答案”更稳。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写方法结构。
Step 2 \rightarrow 展示关键中间式。
Step 3 \rightarrow 写最终答案与格式。
EDX WMA14/01 2024 MS pattern
Long solutions (implicit/rates/integration) award marks in a dependency chain.
结构式 \rightarrow 推导 \rightarrow 精确结论，逐层拿分。
[M1] 结构完整。
[DM1] 推导依赖正确。
[A1] 最终结果正确。
EDX WMA14/01 2022 MS pattern
Method marks precede accuracy marks across most multi-part questions.
先方法后数值，避免只写答案丢分。
[B1] 依赖关系理解正确。