Edexcel 数学
EDX S1 Statistics 1 Concept Map
18 个知识节点 · S1
1. Data Representation
Data Collection & Sampling（数据收集与抽样设计）
📖 Definition在统计建模前先确定 sampling frame、sampling method 与 bias control，保证推断有效。
🔑 Key常见方法：simple random, systematic, stratified, quota。
Bias 来源：non-response、undercoverage、measurement bias。
Stratified 核心：按比例抽样减少方差。
🎯 Exam focusEDX S1 虽以计算为主，但 exam comments 常要求解释“是否可靠/是否有偏”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先明确目标总体与样本框。
Step 2 \rightarrow 选择 sampling method 并写理由。
Step 3 \rightarrow 明确 bias risk 与改进措施。
EDX WST01/01 Jan 2023 Q4(c)
A sampling process is proposed. Explain one reason why the method may be biased and suggest an improvement.
先定位偏差来源（如覆盖不足/响应偏差）\rightarrow 给出可执行改进（随机化/分层/补抽）。
[B1] 正确识别一类 bias。
[B1] 改进建议合理且与 bias 对应。
EDX WST01/01 May 2024 Q1(e)
Compare two groups and justify conclusion using robust statistics.
先选 robust 指标（median/IQR）\rightarrow 再写“哪个更高/更分散”并用数值支持。
[B1] 正确选用统计量进行比较。
[B1] 结论与数据一致并有数值支撑。
Histogram & Interpolation（直方图与插值估计）
📖 Definition在 grouped continuous data 中，用 frequency density 构图并用线性插值估计 median/quantile。
🔑 Key柱高是 frequency density：\text{fd}=\frac f{\text{class width}}。
分位数位置：\frac{p}{100}n。
插值模板：x=L+\frac{k-c_f}{f_c}\times w。
🎯 Exam focusEDX 高频是“先补完整频数/柱高，再估 median 或 quartile”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先统一 class width 与 fd。
Step 2 \rightarrow 定位目标累计位次 k。
Step 3 \rightarrow 代插值公式，最后写单位。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q1(a)(b)
Use histogram to complete missing frequencies and estimate the median height.
由柱面积/高度补频数 \rightarrow 算累计频数定位 \frac n2 \rightarrow 在 median class 用线性插值。
[M1] 至少一处频数-柱高关系正确。
[A1] 缺失频数正确。
[M1] median 插值结构正确。
[A1] median 数值正确（awrt）。
EDX WST01/01 May 2024 Q3(a)(b)
Find unknown histogram bar height/width and estimate a quartile using interpolation.
先建立 area \propto frequency \rightarrow 解未知柱参数 \rightarrow 用 quartile 位置做分组插值。
[M1] 直方图比例关系建立正确。
[A1] 未知柱参数正确。
[M1] quartile 插值过程正确。
[A1] quartile 结果正确。
Stem-Leaf & Box Plot（茎叶图与箱线图）
📖 Definition从 raw/discrete data 读出 quartiles、median、range，并完成 box plot 与对比评论。
🔑 Key箱线图五数：min, Q_1, Q_2, Q_3, max。
Outlier 常用：Q_3+1.5\,IQR 与 Q_1-1.5\,IQR。
IQR=Q_3-Q_1。
🎯 Exam focusEDX 常把“补数据 + 箱线图 + 解释差异”打包，B marks 给结论+统计量支撑。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先按排序位置读 quartiles。
Step 2 \rightarrow 算 IQR 与 outlier fence。
Step 3 \rightarrow 画箱线图并写对比句（median/spread）。
EDX WST01/01 May 2024 Q1(a)(d)(e)
From back-to-back stem-and-leaf, find quartiles and draw comparative box plot.
定位 Q_1,Q_2,Q_3 \rightarrow 计算 outlier fence \rightarrow 画箱体与 whiskers \rightarrow 用 median/range 做比较。
[B1] 关键 quartile 至少一项正确。
[M1] outlier 规则应用正确。
[M1] 箱线图结构完整。
[A1] 箱线图数值位置正确。
[B1] 比较评论含统计量支撑。
EDX WST01/01 Oct 2023 Q2
Using stem-and-leaf data, identify quartiles/outliers and construct box plot.
按样本量确定 quartile 位置 \rightarrow 算 Q_3+1.5IQR \rightarrow 判离群并完成 box plot。
[B1] quartiles 正确。
[M1] outlier 边界计算正确。
[A1] 离群判定正确。
[M1] 箱线图关键点放置正确。
[A1] 图像完整规范。
2. Statistical Measures
Grouped Mean/SD（分组均值与标准差）
📖 Definition在 grouped data 中用 class midpoint 近似原始值，计算 \bar x 与 s。
🔑 Key\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}。
s=\sqrt{\frac{\sum fx^2}{\sum f}-\bar x^2}。
样本版本可能用 n-1 近似修正。
🎯 Exam focus高频失分在 \sum fx^2 或代入时 rounding 太早。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 列 midpoint、fx、fx^2。
Step 2 \rightarrow 先保留高精度算 \bar x。
Step 3 \rightarrow 再算 variance/s.d. 并最后 round。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q2(a)
Given \sum x, \sum x^2, show standard deviation to 3 s.f.
先算 \bar x \rightarrow 用 \frac{\sum x^2}{n}-\bar x^2 得 variance \rightarrow 开根并按要求有效数字。
[B1] mean 计算正确。
[M1] s.d. 结构公式正确。
[A1] s.d. 结果正确到指定位数。
EDX WST01/01 Jan 2023 Q1(c)(d)
For grouped journey times, find mean and standard deviation.
用每组代表值建 \sum fx,\sum fx^2 \rightarrow 先算 mean \rightarrow 再算 s.d.。
[M1] \sum fx 建立正确。
[A1] mean 正确。
[M1] s.d. 公式代入正确。
[A1] s.d. 数值正确。
Quartiles, Skew, Outlier（四分位、偏态与离群）
📖 Definition用 quartiles 与 mean/median 关系判断 skew，并用 IQR 规则识别 outlier。
🔑 Key若 \bar x>\text{median}，常为正偏。
Bowley skewness：\frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1}。
离群阈值基于 1.5IQR。
🎯 Exam focusEDX comments 题要求“方向 + supporting statistic”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先拿到 Q_1,Q_2,Q_3。
Step 2 \rightarrow 用 skew 指标/mean-median 判偏态。
Step 3 \rightarrow 评论必须带具体数值。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q1(c)
Describe skew of grouped plant-height data, with reason.
比较 mean 与 median（或四分位间距）\rightarrow 判断 skew 方向 \rightarrow 写 supporting reason。
[B1] skew 方向正确。
[B1] 支撑理由正确（mean/median 或 quartiles）。
EDX WST01/01 Jan 2023 Q1(e)
Use quartiles to find IQR and identify skewness statistic.
先得 Q_1,Q_3 \rightarrow 算 IQR \rightarrow 代 skewness 公式并判正负。
[M1] quartile 代入正确。
[M1] skewness 公式结构正确。
[A1] skewness 数值与结论一致。
3. Probability Foundations
Set Probability & Inclusion（集合概率与容斥）
📖 Definition用 \cup,\cap,{}' 建模事件关系，处理至少一个/都发生/都不发生问题。
🔑 KeyP(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)。
P(A')=1-P(A)。
可配合 Venn 或补集提速。
🎯 Exam focusEDX 常把 union/intersection 与条件概率混在同题。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 文字转事件符号。
Step 2 \rightarrow 选容斥或补集。
Step 3 \rightarrow 检查概率范围 [0,1]。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q4(a)
Given event probabilities for H and W, find P(W) using union/intersection relations.
从 P(H\cup W) 展开到 P(H\cap W) \rightarrow 代给定条件 \rightarrow 解未知概率。
[M1] 容斥公式正确建立。
[M1] 与给定比例关系联立正确。
[A1] 目标概率正确。
[A1] 最终化简正确。
EDX WST01/01 Oct 2022 Q4(a)
Use P(A\cup B) and conditional info to determine unknown probability.
先写 P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B) \rightarrow 代入 union 公式 \rightarrow 反解未知。
[M1] 交集表达正确。
[M1] 容斥代入正确。
[A1] 概率数值正确。
Conditional & Tree/Bayes（条件概率、树图与贝叶斯）
📖 Definition在分阶段事件中用 tree diagram 计算路径概率，并做“given that”反推。
🔑 KeyP(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}。
树图路径用乘法，互斥路径求和。
Bayes 本质是重标化。
🎯 Exam focusEDX 对树图题常给 B marks 在结构（分支概率完整）上。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先画完整分支并标概率。
Step 2 \rightarrow 写目标事件的路径和。
Step 3 \rightarrow 条件概率用分子/分母拆开。
EDX WST01/01 Oct 2023 Q1(a)(d)(e)
Complete the tree and find conditional probabilities for winning pattern.
补齐转移概率 \rightarrow 先求 joint 事件概率 \rightarrow 再做 P(A\mid B) 分式。
[B1] 树图至少一层分支正确。
[B1] 其余关键分支正确。
[M1] 路径概率乘法正确。
[M1] 条件概率分式正确。
[A1] 最终条件概率正确。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q4(b)
Given P(W), find P(H\mid W') or equivalent conditional event.
先把 W' 相关路径求和 \rightarrow 分子用交集路径 \rightarrow 相除。
[M1] 正确识别条件分母事件。
[M1] 分子路径概率正确。
[A1] 条件概率值正确。
4. Sampling Models
Sampling Without Replacement（不放回抽样）
📖 Definition每次抽样后总体构成变化，后续概率依赖前一步结果。
🔑 Key顺序抽样常用路径乘法。
不放回需更新分母。
组合法：\frac{\binom{a}{r}\binom{b}{k-r}}{\binom{a+b}{k}}。
🎯 Exam focusEDX 高频是“抽若干个有至少一个满足条件”及其补集。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 判断是否 replacement。
Step 2 \rightarrow 选路径法或组合法。
Step 3 \rightarrow 至少一个优先用补集。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q1(d)
Two plants chosen at random without replacement: estimate probability both in a range.
先算范围内估计数量 \rightarrow 不放回乘法 \frac{k}{n}\cdot\frac{k-1}{n-1}。
[M1] 先得到区间内频数估计。
[M1] 不放回结构正确。
[A1] 最终概率正确（awrt）。
EDX WST01/01 Jan 2023 Q3(d)
Find probability that 4 logs fit, sampled without replacement from mixed lengths.
用连乘式 \frac{n}{N}\frac{n-1}{N-1}\frac{n-2}{N-2}\frac{n-3}{N-3} \rightarrow 计算。
[M1] 无放回连乘结构正确。
[A1] 数值结果正确。
At least one / exactly k（至少一个与恰好 (k)）
📖 Definition对样本中事件出现次数建模，核心是补集、二项思想或分 case 枚举。
🔑 KeyP(\text{at least one})=1-P(0)。
恰好 k 次可用组合计数。
互斥 cases 概率求和。
🎯 Exam focusEDX 会把“谁赢”类题变成多个离散 case 的概率和。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确比较规则/计数规则。
Step 2 \rightarrow 枚举互斥 case。
Step 3 \rightarrow 汇总并简化。
EDX WST01/01 May 2024 Q2(d)
Two players spin once each with score transform; find probability Sam wins.
把 Sam wins 转成 (X_1, X_2) 的互斥组合 \rightarrow 各 case 相乘 \rightarrow 求和。
[M1] 正确识别赢的组合集合。
[M1] 至少一项 case 概率正确。
[M1] 多项求和结构正确。
[A1] 总概率正确。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q5(c)
If each observation can be negative with probability p, find probability at least one negative in 5 values.
写 1-P(0\text{ negative}) \rightarrow 1-(1-p)^5 \rightarrow 代入标准化得到的 p。
[M1] 至少一个的补集结构正确。
[M1] 代入 (1-p)^5 正确。
[A1] 最终概率正确。
5. Discrete Random Variables
Distribution Tables（离散分布表）
📖 Definition列随机变量所有可能值与对应概率，并检验总概率和为 1。
🔑 Key合法分布满足 p_i\ge0 且 \sum p_i=1。
可由题目规则推导 PMF。
常见于 spinner/dice/card model。
🎯 Exam focusEDX 给分常分为：值域完整、概率匹配、表格规范。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写清随机变量定义。
Step 2 \rightarrow 穷举所有取值。
Step 3 \rightarrow 每值算概率并验和。
EDX WST01/01 May 2024 Q2
Random variable X from spinner outcomes with given PMF table.
先确认 x 取值集合 \rightarrow 检查概率和为 1 \rightarrow 用于后续计算。
[B1] 值域与概率配对正确。
[B1] 概率和检验正确。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q4(d)(i)
Construct distribution of transformed variable Y from equally likely W values.
先列 W 分布 \rightarrow 经变换映射到 Y \rightarrow 合并同值概率。
[M1] 变换映射结构正确。
[A1] 概率分布表完整正确。
Expectation & Variance（期望与方差）
📖 Definition用离散分布计算中心位置 E(X) 与波动 Var(X)。
🔑 KeyE(X)=\sum xp(x)。
E(X^2)=\sum x^2p(x)。
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。
🎯 Exam focusEDX 通常拆成方法分 + 结果分，先有 E(X^2) 再给 Var。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 算 E(X)。
Step 2 \rightarrow 算 E(X^2)。
Step 3 \rightarrow 代 variance 公式。
EDX WST01/01 May 2024 Q2(b)
Given PMF of spinner, show Var(X)=4.14.
逐项算 E(X^2) \rightarrow 用 E(X)=4.6 代 Var=E(X^2)-E(X)^2。
[M1] E(X^2) 结构正确。
[M1] variance 公式代入正确。
[A1] 给定方差结果正确。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q4(d)(ii)
Find E(Y), E(Y^2) and hence Var(Y) for a transformed discrete variable.
由分布表算 E(Y) \rightarrow 再算 E(Y^2) \rightarrow 代公式得方差。
[M1] E(Y) 计算结构正确。
[M1] E(Y^2) 计算结构正确。
[M1] variance 公式使用正确。
[A1] 方差值正确。
6. Variable Transformation
Linear Coding of Data（线性编码）
📖 Definition通过 u=\frac{x-a}{b} 或 y=a+bx 简化计算，再反编码回原变量。
🔑 Key均值变换：E(a+bX)=a+bE(X)。
标准差变换：\sigma_{a+bX}=|b|\sigma_X。
PMCC 对平移与正倍缩放不变。
🎯 Exam focusEDX 在 summary statistics 与 regression 中都常用 coding。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写清编码关系。
Step 2 \rightarrow 在编码域算统计量。
Step 3 \rightarrow 用反变换回原单位。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q2(c)(d)
Convert temperatures from ^\circ F to ^\circ C, then state PMCC after coding.
先用 c=\frac59(f-32) 变换 mean/s.d. \rightarrow 再说明 PMCC 在线性编码下不变。
[M1] mean 线性变换正确。
[A1] transformed mean 正确。
[M1] s.d. 比例变换正确。
[A1] transformed s.d. 正确。
[A1] PMCC 结论与理由正确。
EDX WST01/01 Jan 2023 Q3(e)(i)(ii)
Given relation between y and w, find transformed mean and variance.
对 y=a+bw 用 E(y)=a+bE(w), Var(y)=b^2Var(w) \rightarrow 代原统计量。
[M1] transformed mean 公式正确。
[A1] transformed mean 数值正确。
[M1] transformed variance 公式正确。
[A1] transformed variance 数值正确。
RV Transformation (Y=aX+b)（随机变量线性变换）
📖 Definition对离散随机变量做线性变换后，期望与方差按固定规则变化。
🔑 KeyE(Y)=aE(X)+b。
Var(Y)=a^2Var(X)。
若要求分布，可先映射取值再配概率。
🎯 Exam focusEDX 题常给 E(Y),Var(Y) 反求 a,b。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写两条方程：期望与方差。
Step 2 \rightarrow 先由方差求 |a|。
Step 3 \rightarrow 再回期望解 b。
EDX WST01/01 May 2024 Q2(c)
Given Y=aX-b, E(Y)=13.4, Var(Y)=66.24, find a,b.
由 Var(Y)=a^2Var(X) 求 a \rightarrow 代 E(Y)=aE(X)-b 求 b。
[M1] 期望方程建立正确。
[M1] 方差方程建立正确。
[A1] a 正确。
[A1] b 正确。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q4(e)
Find Var(2Y-3) using previously found Var(Y).
直接用 Var(2Y-3)=2^2Var(Y) \rightarrow 代入数值。
[M1] 方差缩放规则正确。
[A1] 最终方差正确（ft 可给）。
7. Binomial Distribution
Binomial PMF/Cumulative（二项概率与累计）
📖 Definition当固定 n 次独立试验且成功率恒定 p 时，X\sim B(n,p)。
🔑 KeyP(X=r)=\binom nr p^r(1-p)^{n-r}。
区间概率用求和或补集。
at least/at most 先翻译不等式。
🎯 Exam focusEDX 高发是语言陷阱：more than / at least / no more than。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 判 binomial 条件。
Step 2 \rightarrow 写单项或累计形式。
Step 3 \rightarrow 复杂区间优先补集。
EDX WST01/01 Oct 2022 Q5
Use binomial model to find probability of at least one success in repeated trials.
先写 X\sim B(n,p) \rightarrow P(X\ge1)=1-P(X=0) \rightarrow 计算。
[M1] Binomial 模型识别正确。
[M1] 补集结构正确。
[A1] 概率值正确。
EDX WST01/01 Jan 2023 Q5
For a binomial variable, evaluate a tail probability using formula/table.
按题意选 P(X\le k) 或 P(X>k) \rightarrow 用求和/补集计算。
[M1] 正确选取区间概率形式。
[M1] 二项项展开结构正确。
[A1] 最终概率正确。
Binomial Parameters（二项参数）
📖 Definition在 B(n,p) 下，均值与方差由 n,p 决定，可反推参数。
🔑 KeyE(X)=np, Var(X)=np(1-p)。
由两式可联立求 n,p。
参数需满足 0<p<1, n\in\mathbb N。
🎯 Exam focusEDX 常把参数求解与现实语境结合。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先列 np 与 np(1-p)。
Step 2 \rightarrow 比值法先求 p。
Step 3 \rightarrow 回代求 n 并做可行性检查。
EDX WST01/01 2024 Variant Q5(b)
Given mean and variance of a binomial variable, determine n and p.
由 \frac{Var}{E}=1-p 先求 p \rightarrow 再 n=\frac{E}{p}。
[M1] 两参数方程建立正确。
[M1] 联立求解过程正确。
[A1] p 正确。
[A1] n 正确且合理。
EDX WST01/01 2022 Variant Q6(a)
A context is proposed as binomial. State model parameters and justify assumptions.
写 trial independence、constant p、fixed n、binary outcome \rightarrow 给 n,p。
[B1] 至少两条 binomial 条件正确。
[B1] 参数识别正确。
[A1] 结论与条件一致。
8. Normal + Regression
Normal Probability/Reverse（正态分布与反查）
📖 Definition把 X\sim N(\mu,\sigma^2) 标准化到 Z\sim N(0,1) 计算概率或反求参数。
🔑 KeyZ=\frac{X-\mu}{\sigma}。
尾概率与区间概率用 \Phi 表。
逆向题由给定概率先找 z 再回代。
🎯 Exam focusEDX 常把 normal 与“至少一个”联合：先求单次概率再升到样本次数。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 正确标准化边界。
Step 2 \rightarrow 读左尾/右尾对应表值。
Step 3 \rightarrow 需要时再做 Binomial/补集二次建模。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q5(a)(b)
For X\sim N(40,2.4^2), find P(X<37) and a parameter from a given tail probability.
先标准化 37 \rightarrow 查表得概率 \rightarrow 参数题由给定 tail 反查 z 回代求未知。
[M1] 标准化结构正确。
[M1] 概率方向转换正确。
[A1] 单次概率正确。
[M1] 反查 z 并建参数方程正确。
[A1] 未知参数正确。
EDX WST01/01 Jan 2022 Q5(c)
Given each value has probability p of being negative, find probability at least one negative in 5 values.
先由 normal 求 p=P(Y<0) \rightarrow 再用 1-(1-p)^5。
[M1] 单次负值概率求法正确。
[M1] 至少一个补集结构正确。
[A1] 最终概率正确。
Scatter & Correlation Reading（散点图与相关解读）
📖 Definition从 scatter pattern 判线性趋势强弱与方向，并区分 correlation 与 causation。
🔑 Key正相关：点云右上趋势；负相关：右下趋势。
线性强弱看点云贴线程度。
r 只度量线性相关，不代表因果。
🎯 Exam focusEDX 的解释题常要写 contextual statement：变量 A 增加时变量 B 倾向如何变化。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先判方向（positive/negative）。
Step 2 \rightarrow 再判强度（strong/moderate/weak）。
Step 3 \rightarrow 用语境句完整表达，避免因果化。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q2(d)
State, giving a reason, the PMCC between coded variables u and v.
识别 u,v 是 x,y 的正线性变换 \rightarrow PMCC 不变 \rightarrow 写 same value。
[M1] 识别线性编码对 r 不改变。
[A1] PMCC 结论正确。
EDX WST01/01 Oct 2022 Q2(c)
Interpret the calculated PMCC in context of cost and ticket sales.
由 r 的符号与大小判强正相关 \rightarrow 写“成本越高，销量倾向越高/越低”的语境句。
[B1] 方向判断正确。
[B1] 强度与语境表述正确。
PMCC & Regression Line（相关系数与回归直线）
📖 Definition用 PMCC 描述线性相关强度，用 least squares 回归线做预测。
🔑 Keyr=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}。
回归线 y=a+bx：b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}, a=\bar y-b\bar x。
外推需谨慎。
🎯 Exam focusEDX comments 分很重：方向、语境、是否外推可靠必须写。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先算 S_{xx},S_{xy} 与 r。
Step 2 \rightarrow 求 a,b 写回归线。
Step 3 \rightarrow 预测后判断 extrapolation risk。
EDX WST01/01 Jan 2024 Q2(b)
Calculate PMCC from summary statistics and interpret in context.
先求 S_{xx} \rightarrow 代 PMCC 公式得 r \rightarrow 结合变量语境写正相关结论。
[M1] S_{xx} 计算结构正确。
[M1] PMCC 代入结构正确。
[A1] r 数值正确。
[B1] 语境解释正确。
EDX WST01/01 Oct 2022 Q2(c)(e)(f)
Find regression line of ticket sales on cost, estimate for given cost, and discuss reliability.
由 S_{ct},S_{cc} 求 b \rightarrow 用 a=\bar t-b\bar c 得回归线 \rightarrow 代入预测 \rightarrow 判断是否超数据范围。
[M1] 斜率 b 计算正确。
[M1] 截距 a 计算正确。
[A1] 回归方程正确。
[M1] 预测代入正确。
[A1] 预测值正确。
[B1] 可靠性评论正确（含外推依据）。