Edexcel 数学
EDX S2 Statistics 2 Concept Map
18 个知识节点 · S2
1. Poisson Model Core
Poisson PMF & Cumulative（泊松分布与累计概率）
📖 Definition当单位区间独立计数且平均率恒定时，随机变量可建模为 X\sim Po(\lambda)。
🔑 KeyP(X=r)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^r}{r!}。
E(X)=Var(X)=\lambda。
区间概率用补集：P(X\ge a)=1-P(X\le a-1)。
🎯 Exam focusS2 高频是“at least / more than / less than”翻译成正确累计区间。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确 \lambda 与时间单位。
Step 2 \rightarrow 写成单点或补集累计。
Step 3 \rightarrow 最后再统一 rounding。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q1(c)
For W\sim Po(3), find P(W\ge3) and P(4<W<8).
先写 P(W\ge3)=1-P(W\le2) \rightarrow 再写 P(4<W<8)=P(W\le7)-P(W\le4)。
[M1] 至少一个累计补集结构正确。
[A1] 第一概率正确。
[M1] 区间概率结构正确。
[A1] 第二概率正确。
EDX WST02/01 Jan 2023 Q1(a)
Given M\sim Po(2), evaluate P(M\le3) and P(M>5).
P(M\le3) 直接累加 \rightarrow P(M>5)=1-P(M\le5) \rightarrow 得两结果。
[B1] 一个概率正确。
[M1] 另一个概率的补集方法正确。
[A1] 两结果完整正确。
Model Fit: Mean vs Variance（泊松拟合判别）
📖 Definition用 sample mean 与 sample variance 的接近程度判断 Poisson 模型是否合理。
🔑 KeyPoisson 判据核心：\bar x\approx s^2。
若差异很大，通常不支持 Poisson。
也要结合情境中的独立性与稳定率假设。
🎯 Exam focusEDX 常给 1 分解释题：为什么 Poisson 可能合适。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先算 mean 和 variance。
Step 2 \rightarrow 比较二者是否接近。
Step 3 \rightarrow 用一句 contextual 统计解释。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q1(a)(b)
Calculate mean and variance from complaint table and comment on Poisson suitability.
先算 \bar x 与 s^2 \rightarrow 比较两值接近性 \rightarrow 给 Poisson suitability 结论。
[B1] mean 正确。
[M1] variance 计算结构正确。
[A1] variance 数值正确。
[B1] 解释句正确。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q1
Use summary values to justify whether a count model with Poisson assumption is reasonable.
比较 \bar x 和 s^2 \rightarrow 结合“独立且固定率”背景说明。
[M1] 正确比较统计量。
[B1] 判别结论与比较一致。
2. Poisson Process Scaling
Rate and Time Scaling（到达率与时间伸缩）
📖 Definition若单位时间计数为 Po(\lambda)，则 t 个单位时间计数为 Po(t\lambda)。
🔑 KeyX_{t}\sim Po(t\lambda)。
单位换算必须先统一（秒/分钟/周）。
独立非重叠区间可相加。
🎯 Exam focusS2 常考把“每 8 秒”换成“40 秒/一周”等再求概率。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写 base rate。
Step 2 \rightarrow 乘时间系数得新 \lambda。
Step 3 \rightarrow 再套 Poisson 概率。
EDX WST02/01 Jan 2023 Q1(c)
Given process rate \lambda, form the distribution in a longer interval and evaluate a target probability.
单位时间 \lambda \rightarrow 长区间取 k\lambda \rightarrow 写对应 Po(k\lambda) 求概率。
[M1] 率伸缩到新 \lambda 正确。
[M1] 概率结构正确。
[A1] 数值正确。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q5(a)
If X\sim Po(7.5) in one window, find probability statement for a sub-interval or linked event.
根据时间比例调整 \lambda \rightarrow 对新分布求单点/区间概率。
[B1] 正确写出 Poisson 模型。
[M1] 概率表达正确。
[A1] 结果正确。
Combined Time Windows（复合时间窗口计数）
📖 Definition多个独立 Poisson 窗口可叠加，或再进入下一层 binomial/Poisson 建模。
🔑 Key若 X_i 独立且 X_i\sim Po(\lambda_i)，则 \sum X_i\sim Po(\sum\lambda_i)。
“每周成功事件个数”常再建 Bin。
🎯 Exam focusEDX 常见多层题：日投诉 \rightarrow 周总数 \rightarrow 13 周里恰好 5 周。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先聚合到目标时间窗口。
Step 2 \rightarrow 算单窗口成功概率 p。
Step 3 \rightarrow 上层用 Bin(n,p)。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q1(d)(e)
Use normal approximation for weekly total then find probability of exactly 5 such weeks in 13.
周总投诉 \sim Po(21) 近似 N(21,21) 求 p=P(X<19) \rightarrow 再用 Bin(13,p) 求 P(Y=5)。
[B1] 周模型参数正确。
[M1] 连续性修正+标准化正确。
[A1] 单周概率正确。
[M1] 上层二项模型正确。
[A1] 最终概率正确。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q5(c)
A count model over many blocks is approximated by Poisson with parameter in m. Find target probability and solve for m.
先把 block-event 转成小概率 \rightarrow 用 Po(0.15m) \rightarrow 代目标概率反解 m。
[M1] Poisson 近似模型正确。
[M1] 概率方程建立正确。
[A1] 参数解正确。
3. Binomial & Links
Exact Binomial Probabilities（二项分布精确概率）
📖 Definition固定次数重复试验的成功次数建模：X\sim B(n,p)。
🔑 KeyP(X=r)=\binom nr p^r(1-p)^{n-r}。
至少/至多要转累计。
参数来自情境概率。
🎯 Exam focusS2 高频是通过上一问先求 p，下一问代入二项精确式。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 明确 n,p。
Step 2 \rightarrow 写精确式或累计式。
Step 3 \rightarrow 代值并检查范围。
EDX WST02/01 Jan 2023 Q1(b)
Given single-trial probability p, find P(X=10) for X\sim B(15,p).
先写 \binom{15}{10}p^{10}(1-p)^5 \rightarrow 代入 (p) 求值。
[M1] 二项精确式结构正确。
[A1] 代值和结果正确。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q1(b)
From event probability 0.5928, model number of qualifying days in 20 and find exact probability.
建立 B(20,0.5928) \rightarrow 选定 (r) 写精确项 \rightarrow 计算。
[M1] 正确建模 B(20,p)。
[M1] 精确项结构正确。
[A1] 结果正确。
Binomial to Poisson Approx（二项到泊松近似）
📖 Definition当 n 大、p 小时，可用 Po(np) 近似 B(n,p)。
🔑 Key近似参数：\lambda=np。
用于 rare-event 计数。
需先检查 (np) 是否合理。
🎯 Exam focusEDX 常直接提示 suitable approximation，考查你是否快速切模型。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 识别 rare-event 结构。
Step 2 \rightarrow 写 \lambda=np。
Step 3 \rightarrow 用 Poisson 算目标概率。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q7
With n large and small defect probability, approximate binomial by Poisson.
先算 \lambda=np \rightarrow 写 Po(\lambda) \rightarrow 求累计概率。
[M1] 近似选择正确。
[A1] \lambda 正确。
[M1] Poisson 概率结构正确。
[A1] 结果正确。
EDX WST02/01 Jan 2022 Q6
Use Poisson approximation to a binomial context and compare with exact reasoning.
写 B(n,p)\to Po(np) \rightarrow 求概率 \rightarrow 与情境意义核对。
[M1] 模型转换正确。
[A1] 概率值正确。
[B1] 解释合理。
4. Continuous Distributions
Continuous Uniform（连续均匀分布）
📖 Definition若随机变量在区间 [a,b] 等可能，则 X\sim U(a,b)。
🔑 Keypdf：f(x)=\frac1{b-a}（a\le x\le b）。
E(X)=\frac{a+b}2, Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}。
🎯 Exam focusS2 真题常把真实场景先转为 [a,b] 再问均值、方差与区间概率。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先从场景定 a,b。
Step 2 \rightarrow 写完整 pdf 含区间。
Step 3 \rightarrow 用公式求 (E,Var) 或长度比求概率。
EDX WST02/01 Oct 2023 Q3
Journey time T is modelled by U(\alpha,\beta). Show bounds, state pdf, and find E(T),Var(T).
由最短/最长通勤时间得 \alpha,\beta \rightarrow 写 (f(t)) \rightarrow 代 uniform 公式。
[B1] 下界正确。
[B1] 上界正确。
[B1] pdf 形式和区间正确。
[A1] 均值正确。
[A1] 方差正确。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q3(b)
Find probability of a sub-interval for a uniform variable.
把目标区间长度除以总长度 \rightarrow 或直接积分常数 pdf。
[M1] uniform 区间概率方法正确。
[A1] 数值正确。
CDF/PDF Piecewise Model（分段 CDF/PDF）
📖 Definition给定分段 CDF F(x)，可求常数、区间概率，并通过导数得到 PDF。
🔑 Key连续型：P(a<X<b)=F(b)-F(a)。
若可导，f(x)=F'(x)。
合法 CDF 单调且极限 0 到 1。
🎯 Exam focusEDX S2 高频：先由 (F(\infty)=1) 或边界条件求参数，再求复合概率。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先用 CDF 条件解常数。
Step 2 \rightarrow 用差值算区间概率。
Step 3 \rightarrow 对各段求导写完整 pdf。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q2
A continuous variable has piecewise CDF involving constant d. Show equation for d, find a conditional probability, then derive pdf.
由 CDF 端点条件建 (d) 方程 \rightarrow 用 (F) 差求概率 \rightarrow 分段求导得 (f(h))。
[M1] (d) 方程建立正确。
[A1] 方程化简正确。
[M1] CDF 概率差值方法正确。
[A1] 条件概率正确。
[M1] 分段求导结构正确。
[A1] pdf 正确并含区间。
EDX WST02/01 Jan 2022 Q2
Use piecewise cumulative form to find interval probabilities and identify support.
先找 support 区间 \rightarrow 用 (F(b)-F(a)) 求概率 \rightarrow 核查结果在 (0,1)。
[M1] support 识别正确。
[M1] 区间概率结构正确。
[A1] 结果正确。
5. Normal Modelling
Normal Reverse & Percentiles（正态反查与分位）
📖 Definition在 X\sim N(\mu,\sigma^2) 中，由给定尾概率反求 \sigma 或阈值。
🔑 Key标准化：Z=\frac{X-\mu}{\sigma}。
反查：由 P(Z<z)=p 先找 (z)。
再回代求参数。
🎯 Exam focusS2 常考“5% 小于某值”这种单尾反查。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 从概率查 (z)。
Step 2 \rightarrow 写标准化方程。
Step 3 \rightarrow 解未知参数并检验正值。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q2(a)
Given D\sim N(112.4,\sigma^2) and P(D<108)=0.05, find \sigma.
查 (z_{0.05}\approx-1.645\) \rightarrow \frac{108-112.4}{\sigma}=-1.645 \rightarrow 解 \sigma。
[M1] 标准化方程正确。
[M1] 反查 z 值方向正确。
[A1] \sigma 正确。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q4
Find cutoff value for a normal model from a given percentile.
先由 percentile 查 (z) \rightarrow 回代 x=\mu+z\sigma 得阈值。
[M1] 分位 z 使用正确。
[A1] 阈值正确。
Normal Approx to Discrete（离散分布正态近似）
📖 Definition对大参数 binomial/poisson 可近似为正态，配 continuity correction 求概率。
🔑 KeyPoisson Po(\lambda)\approx N(\lambda,\lambda)。
Binomial B(n,p)\approx N(np,np(1-p))。
边界需 \pm0.5 修正。
🎯 Exam focusEDX 明确写“calculator-only not acceptable”时，重点考你的标准化流程。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写近似正态参数。
Step 2 \rightarrow 加 continuity correction。
Step 3 \rightarrow 标准化并查表。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q1(d)
Approximate weekly complaints probability using normal approximation to Poisson.
周总 Po(21) \rightarrow 近似 N(21,21) \rightarrow P(X<19)=P(X<18.5) 标准化。
[B1] 正态参数正确。
[M1] 连续性修正正确。
[M1] 标准化表达正确。
[A1] 概率正确。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q5
For X\sim B(150,0.4), use normal approximation to find a tail probability.
先写 N(60,36) \rightarrow 按不等式加 (0.5) 修正 \rightarrow 标准化查表。
[M1] 近似参数 (\mu,\sigma^2) 正确。
[M1] continuity correction 正确。
[A1] 概率结果正确。
6. Multi-stage Approximation
Poisson -> Binomial Chain（泊松到二项链式建模）
📖 Definition先求单次事件概率，再把“多次独立重复”转为二项分布。
🔑 Key先 Poisson 得 p，再 X\sim B(n,p)。
链式结构在 S2 极高频。
每层随机变量要重新定义。
🎯 Exam focus失分常见于把上一层 \lambda 直接搬到下一层而没转成 (p)。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 求单试验成功概率 p。
Step 2 \rightarrow 写新变量 X\sim B(n,p)。
Step 3 \rightarrow 求目标项。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q1(b)
Use single-block Poisson result to model number of qualifying blocks in 20 using binomial.
先从 Q\sim Po(6) 得 p=P(4\le Q\le7) \rightarrow 再设 X\sim B(20,p) 求 (P(X=15))。
[M1] 单块概率 (p) 求法正确。
[M1] 二项上层模型正确。
[A1] 最终二项概率正确。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q2(c)
From binomial single-sample probability, estimate count over many samples via Poisson approximation.
先算 (p=P(J>3)) \rightarrow 大样本次数 (n) 下用 Po(np) \rightarrow 求 (P(T\ge2))。
[M1] 单样本概率提取正确。
[M1] Poisson 近似参数 (np) 正确。
[A1] 目标概率正确。
Count of Rare Sample Events（稀有样本事件计数）
📖 Definition当样本级事件概率小、样本数多，样本中事件次数可用 Poisson 建模。
🔑 Key若 X\sim B(n,p) 且 (n) 大 (p) 小，则 X\approx Po(np)。
常用于“200 个样本里至少 2 个异常样本”。
🎯 Exam focus题目会把“个体异常”与“样本异常”分两层，必须区分。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先定义样本异常事件 (A)。
Step 2 \rightarrow 求 (p=P(A))。
Step 3 \rightarrow 上层用 (Po(np)) 或 (Bin)。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q2(c)
Estimate probability that at least two out of 200 samples are abnormal.
单样本异常概率 (p\) \rightarrow (T\sim Po(200p)) \rightarrow (P(T\ge2)=1-P(T\le1))。
[M1] 上层计数模型建立正确。
[M1] 至少两个的补集结构正确。
[A1] 概率正确。
EDX WST02/01 Jan 2023 Q1(d)
A small-rate process over many independent periods: model number of periods with one event.
先求单期 (P(H=1)) \rightarrow 多期次数用 (Bin) 或 (Po) 近似。
[M1] 单期概率正确表达。
[M1] 多期模型选择合理。
[A1] 结果正确。
7. Hypothesis Testing
H0/H1 and Critical Region（假设设定与临界域）
📖 Definition在显著性水平下设定 H_0,H_1，用分布求 critical region 并做检验决策。
🔑 Key单尾/双尾由 H_1 决定。
CR 满足 P(\text{CR}\mid H_0)\le\alpha。
结果语言：reject / do not reject H_0。
🎯 Exam focusEDX 标注要求很严：(H_0,H_1) 必须附在参数 (p,\lambda,\mu) 上且方向正确。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 写清 (H_0,H_1) 和 \alpha。
Step 2 \rightarrow 在 (H_0) 下求 CR。
Step 3 \rightarrow 观测值判定并写语境结论。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q1(c)
For arrivals modelled under H_0:\lambda=2, set a 5% upper-tail CR and conclude using observed value.
先 (R\sim Po(5)) \rightarrow 找最小 (c) 使 (P(R\ge c)\le0.05) \rightarrow 与观测比较作结论。
[B1] (H_0,H_1) 设定正确。
[M1] 临界值求法正确。
[A1] CR 正确。
[M1] 决策逻辑正确。
[A1] 语境结论正确。
EDX WST02/01 Jan 2023 Q5
Set a two-tailed Poisson test at 5% and determine both critical tails.
在 (H_0) 下写 (Po(7)) \rightarrow 下尾与上尾分别找 cutoff \rightarrow 合并 CR。
[B1] 假设方向正确。
[M1] 一侧临界值方法正确。
[M1] 另一侧临界值方法正确。
[A1] 双侧 CR 完整正确。
Poisson/Binomial HT Cases（泊松与二项检验案例）
📖 Definition将离散分布与临界域结合，完成单样本显著性检验。
🔑 KeyPoisson HT：在 (H_0) 下用 Po(\lambda_0) 算 tail。
Binomial HT：在 (H_0) 下用 B(n,p_0) 算 tail。
必要时可用正态近似加速。
🎯 Exam focusEDX 常考 proportion test：(H_0:p=p_0) 与 (H_1:p\ne p_0) 或 ()。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 固定 (H_0) 参数。
Step 2 \rightarrow 选 exact 或 approximation。
Step 3 \rightarrow 用 p-value 或 CR 作同一结论。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q3(e)
Test whether proportion of shattered type-B tubes is less than 35%.
设 (H_0:p=0.35, H_1:p<0.35) \rightarrow (F\sim B(40,0.35)) 求下尾或 CR \rightarrow 比较观测值。
[B1] 假设正确。
[M1] 在 (H_0) 下分布建模正确。
[A1] tail/CR 计算正确。
[M1] 决策逻辑正确。
[A1] 语境结论正确。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q4(b)
Perform a two-sided test for a binomial proportion with n=75, p_0=0.08.
先设双侧假设 \rightarrow 用 (B(75,0.08)) 或 (Po(6)) 近似找双侧 CR \rightarrow 判显著性。
[B1] 双侧假设正确。
[M1] 分布模型正确。
[M1] 双侧 CR/概率结构正确。
[A1] 结论正确。
p-value Method（p 值检验法）
📖 Definition在给定 H_0 下，直接计算“至少同样极端”的概率并与 \alpha 比较作决策。
🔑 Key若 p\text{-value}\le\alpha，reject H_0。
尾方向由 H_1 决定（左/右/双尾）。
双尾常需 2\times 单侧尾概率（对称情形）。
🎯 Exam focusEDX 会接受 CR 路线或 p-value 路线，核心是方向与结论一致。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先写 (H_0,H_1) 明确尾部。
Step 2 \rightarrow 在 (H_0) 下算 p-value。
Step 3 \rightarrow 与 \alpha 比较并写语境结论。
EDX WST02/01 Jun 2022 Q4(b)
Perform a test for proportion with H_0:p=0.08, H_1:p\ne0.08, using probability route.
在 (H_0) 下建 (B(75,0.08))（或近似）\rightarrow 求双尾 p-value \rightarrow 与 (0.05) 比较。
[B1] 假设与尾部正确。
[M1] p-value 概率结构正确。
[A1] p-value 数值正确。
[M1] 决策逻辑正确。
[A1] 语境结论正确。
EDX WST02/01 Jan 2023 Q5
Two-tailed Poisson test: use tail probabilities to conclude significance.
先算两侧极端概率和 \rightarrow 得 p-value \rightarrow 与 \alpha 比较后写结论。
[M1] 两侧概率提取正确。
[M1] p-value 合并正确。
[A1] 决策与结论正确。
8. Significance Reasoning
Tail Choice & Conclusion（尾部选择与结论表述）
📖 Definition检验的 one-tailed / two-tailed 由备择假设定义，结论必须与语境一致。
🔑 KeyH_1:> 右尾；H_1:< 左尾；H_1:\ne 双尾。
p-value 与 CR 结论应一致。
语言：evidence to support / insufficient evidence。
🎯 Exam focusS2 常见扣分是“计算对了但结论方向写反”。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先看 (H_1) 决定尾部。
Step 2 \rightarrow 用同一尾部算概率。
Step 3 \rightarrow 用原题语境写结论句。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q1(c)
Given observed count lies in upper CR, state formal and contextual conclusion.
先写 reject (H_0) \rightarrow 再写“arrival rate has increased”的语境句。
[M1] 统计结论方向正确。
[A1] 语境表述完整正确。
EDX WST02/01 Mar 2022 Q3(d)
Observed value is not in CR. State decision and interpret belief statement.
不在 CR \rightarrow do not reject (H_0) \rightarrow 写“no evidence to change belief”。
[B1] 决策语句正确。
[B1] 语境解释正确。
Type I / Type II / Power（第一二类错误与检验力）
📖 Definition在检验中，Type I 是错拒真 H_0（概率 \alpha），Type II 是错收假 H_0（概率 \beta）。
🔑 KeyType I: reject (H_0) though (H_0) true。
Type II: do not reject (H_0) though (H_1) true。
Power = 1-\beta。
🎯 Exam focusS2 可能以定义/解释题出现，或隐含在讨论显著性水平与检验严苛度中。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 先明确真值属于 (H_0) 还是 (H_1)。
Step 2 \rightarrow 再看决策是 reject 还是 not reject。
Step 3 \rightarrow 对应到 Type I/II 与 power 关系。
EDX WST02/01 S2 Theory Extension
State what a Type I error means in the context of a quality-control hypothesis test.
把“(H_0) 真但拒绝了它”翻译成语境句 \rightarrow 说明其概率是 \alpha。
[B1] Type I 定义正确。
[B1] 语境化解释正确。
EDX WST02/01 S2 Theory Extension
Explain the relationship between Type II error and power.
先写 \beta=P(\text{Type II}) \rightarrow power =1-\beta \rightarrow 说明 power 越大越不易漏检。
[B1] \beta 与 Type II 对应正确。
[B1] power 关系式与解释正确。
Assumptions & Validity（模型假设与有效性）
📖 Definition在 S2 中，计算前后都要检验模型假设是否成立，否则结论风险高。
🔑 KeyPoisson 假设：独立、恒定率、单事件发生。
Binomial 假设：固定 (n)、独立、恒定 (p)、二元结果。
连续模型需检查 support 是否合理。
🎯 Exam focusEDX 常给 1 分 reasoning：为什么某模型不合适（如 tyres 不独立购买）。
🛠️ TechniqueStep 1 \rightarrow 逐条映射题目条件到模型假设。
Step 2 \rightarrow 发现不满足时写明确原因。
Step 3 \rightarrow 说明对结论的影响。
EDX WST02/01 Jun 2024 Q1(d)
Explain why modelling tyres bought as independent single events may be inappropriate.
现实里轮胎常成对/成套购买 \rightarrow 不满足单件独立计数假设 \rightarrow Poisson 可能失真。
[B1] 指出关键假设破坏点正确。
EDX WST02/01 Jan 2024 Q3(a)
State assumptions required before using binomial model for shattering tubes.
写独立性与恒定概率 \rightarrow 明确每次仅 shatter/not shatter 两结果。
[B1] 一条核心假设正确。
[B1] 第二条核心假设正确。