A-Level 学习图谱 ALevel Atlas

← 易错与冲刺

数学

S1 核心易错点

在一组学生中，学习艺术、音乐和戏剧的男生和女生的人数如下表所示。这160名学生每人只学习其中一门课程。

表格系

表格系

在一组学生中，学习艺术、音乐和戏剧的男生和女生的人数如下表所示。这160名学生每人只学习其中一门课程。

ArtMusicDrama
Boys244032
Girls151237

随机选择三名学生，求恰好有1人学习音乐且恰好有2人是男生的概率。

【非常值得做的表格分类讨论题】

Case 1: music-boy + non-music-boy + non-music-girl $ \frac{40C1 \times 56 \times 52}{160C3} $

Case 2: non-music-boy 2 + music-girl $ \frac{56C2 \times 12}{160C3} $

将两个情况相加得到： \frac{1687}{8374} = 0.201

Binomial + Geometric

Binomial + Geometric

假设成功概率为 p

  • ✅ 第一次成功在第五次 $ (1 - p)^4 p $
  • ✅ 第一次成功在第五次之后 $ (1 - p)^5 $
  • ✅ 第一次成功在第五次之前 $ 1 - (1 - p)^4 $
  • ✅ 第二次成功在第五次 $ (1 - p)^3 p \times (4C1) \times p $
  • ✅ 第二次成功在第五次之后【有点难】 $ (1 - p)^4 p \times (5C1) + (1 - p)^5 $
  • ✅ 前七次成功了 3 次或以上 $ 1 - (1 - p)^7 - 7C1 p^1 (1 - p)^6 - 7C2 p^2 (1 - p)^5 $

剩余技巧

  • ✅ 注意表格时候比如 1-5，6-10，画 histogram，要 0.5-5.5
  • ✅ Cumulative 的时候，注意 33\% 大于的时候，你对应要找 67\% 的 n 的值。
  • ✅ 条件概率 independent，有两种检测
  • \diamondsuit\ P(A \cap B) = P(A) \times P(B)； P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)
  • ✅ Normal approximation 时候，注意大于 x，就是对于 z 而言，大于 x + 0.5
  • ✅ 查表注意使用小表
  • ✅ 加油仔细，S1 一定可以拿下！

排列组合

排列组合

选择系

从单词 SHOPKEEPER 中选出四个字母。 求包含恰好一个 P 的不同选择数。

SOL: 这里要分类讨论，因为如果直接8选3，考虑E的数量，会有重复！

  • P _ _ _：5C3 = 10 种
  • PE _ _：5C2 = 10 种
  • PEE _：5C1 = 5 种
  • PEEE：1 种

→ 总共：26 种

分组系

Raman 和 Sanjay 是一个由9名成员组成的问答团队的成员。需要拍摄两张照片。

(d) 对于随机分成一个5人组和一个4人组的情况，求 Raman 和 Sanjay 在同一组的概率。

SOL: 算概率时，分子是几 C 几，分母也是几 C 几 此处简单分类两人在不同组：

$\begin{aligned}&= \frac{7C3 + 7C2}{9C5} \ &= \frac{35 + 21}{126} \ &= \frac{56}{126} \ &= 0.444\end{aligned}$

求将单词 CROCODILE 中的9个字母分成三个组，每组包含三个字母，且两个 C 必须在不同组中的方法数。

SOL: 经典鳄鱼！注意讨论 OO 分组，因为 OO 重复不能直接选。 同时注意类似 COX 和 COX 的重复！！

最后答案 65，注意标签错误！

分类情况计算
COX COX XXX5C1 \times 4C1 \div 2
CXX COO XXX5C2
CXX CXX OOX5C2 \times 3C2 \div 2
COX CXX OXX5C1 \times 4C2

注：最终结果为 65，但需注意题目中可能存在的标签错误。

插空/排列系

插空/排列系

ALLIGATOR 排列问题

单词 ALLIGATOR 中的9个字母随机排列。 求两个 L 相邻且两个 A 之间恰好有6个字母的概率。

注意： A _ _ _ _ _ _ A 整体8个一快的排列位置，有两种 然后这里注意，LL在一起就必须在里面了，所以LL当一种。外面剩下5种选择，里面就捆绑后还有5种选择排序。 【多限制条件就多分析】

接下来分子是排序，分母必须也是排序。

$\begin{aligned}&= \frac{2 \times 5 \times 5!}{9!} \ &= \frac{2 \times 5 \times 120}{362880} \ &= \frac{1200}{362880} \approx 0.0132\end{aligned}$

CASABLANCA 排列问题

求单词 CASABLANCA 中的10个字母的不同排列数，使得第一个字母是 A，最后一个字母是 A，并且两个 C 之间恰好有3个字母。

这里和上面不同在于，因为C和C之间和外面没有什么限制，所以可以无视C和C 【无限制条件就可以忽略 CC 内外差距】 所以直接剩下6个排序，然后 C _ _ _ C 是5个，相当于4个地方可以放。

$\begin{aligned}&= \frac{6!}{2!} \times 4 \ &= 720 / 2 \times 4 \ &= 360 \times 4 \ &= 1440\end{aligned}$

数字排列问题（1,2,2,3,4,4,4,5）

八个数字 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5 排成一行。

(b) 求这些数字的不同排列数，使得第一个和最后一个数字都是2，并且三个4不全在一起。

注意： 【not all together 和 not close to each other 的区别】

  • 一个用“1减”，一个用“插空”

前者（not all together）： $\begin{aligned}&= \frac{6!}{3!} - 4! \ &= 120 - 24 \ &= 96\end{aligned}$

后者（not close to each other）： 实际上就是 1_3_5 四个空插3个4，即： $\begin{aligned}&= 3! \times \binom{4}{3} \ &= 6 \times 4 \ &= 24\end{aligned}$

REGENERATE 排列概率问题

求单词 REGENERATE 中的10个字母随机排列时，辅音（G, N, R, R, T）和元音（A, E, E, E）交替排列，使得没有两个辅音相邻且没有两个元音相邻的概率。

注意： alternate 代表 ABABAB 形式，那么先元后辅和先辅后元有个区别，然后就是元、辅本身的排序即可

  • 元音：A, E, E, E → 排列数：\frac{4!}{3!} = 4
  • 辅音：G, N, R, R, T → 排列数：\frac{5!}{2!} = 60

两种交替方式：先元后辅 或 先辅后元 → 2 种

总有利情况数： $\begin{aligned}&= 2 \times \frac{5!}{2!} \times \frac{4!}{3!} \ &= 2 \times 60 \times 4 \ &= 480\end{aligned}$

但原题中写的是： $\begin{aligned}&= 2 \times \frac{5!}{2!} \times \frac{5!}{4!} \ &= 2 \times 60 \times 5 \ &= 600\end{aligned}$

→ 可能是笔误或理解差异，但按标准计算应为：

$\begin{aligned}&= P \ &= \frac{600}{\frac{10!}{4! \cdot 2!}} \ &= \frac{600}{\frac{3628800}{24 \cdot 2}} \ &= \frac{600}{75600} \approx 0.0079\end{aligned}$

总结要点

  • 多限制条件 → 分步分析
  • 无限制 → 可简化处理（如CC内外无差）
  • “not all together” vs “not close to each other” 区别明显
  • 交替排列需考虑顺序类型（ABAB vs BABA）及内部重复字母排列

查看来源 ↗